黄山市2019届高中毕业班第一次质量检测
数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.
参考公式：球的表面积公式球的体积公式
第Ⅰ卷（选择题满分60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）
1．设集合，，则等于
A. B. C. D.
2．已知复数，则的实部为
A. －1 B. 0 C. 1 D. 3
3．函数) 的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象
A. 向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
4. 直线轴的交点为,点把圆的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 某校高三（6）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，则还有一个同学的学号应为
A. 27 B. 26 C. 25 D. 24
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B.
C. D.
7. 在展开式中，含的项的系数是
A. 36 B. 24 C. －36 D. －24
8. 已知，则的最小值是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 已知实数满足，则的取值范围是
A. B. C. D.
10.已知双曲线的左、右焦点分别，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
11. 定义域为的函数满足，则不等式的解为
A. B. C. D.
12.如图，在中，，,为
上一点，且满足，若的
面积为，则的最小值为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题满分90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）
13.已知，则.
14.已知，则.
15.执行下图的程序框图，则输出的 .
否
是
S >?
输出n
结束
开始
16.已知三棱锥均为等边三角形，二面角的平面角为60°，则三棱锥外接球的表面积是.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）
17.（本小题满分12分）
已知数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）记为数列的前项和，求数列的前项和.
18．（本小题满分12分）
2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会. 黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显.贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一.据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访,其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为
,扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为,帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为.
（Ⅰ）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；
（Ⅱ）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X,求X的分布列；
（Ⅲ）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访”.请问：他说的是真的吗？
19.（本小题满分12分）
如图1，平面四边形中，,,,，将三角形沿翻折到三角形的位置，如图2，平面平面，为中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知点在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为. 直线与抛物线交于两点，且线段的中点为.
（Ⅰ）求直线的方程.
（Ⅱ）点是直线上的动点，求的最小值.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）设是的极值点，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，证明：
考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线
过点，且倾斜角为，圆的极坐标方程为．
（Ⅰ）求圆的普通方程和直线的参数方程；
（Ⅱ）设直线与圆交于M、N两点，求的值．
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）若的解集；
（Ⅱ）若函数有三个零点，求实数的取值范围．
黄山市2019届高中毕业班第一次质量检测
高三数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.C 2.B 3.B 4.A 5. A 6. B 7. D 8. D 9.A 10.A 11.C 12.B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 15. 11 16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
解:（Ⅰ）由，得 所以 …………3分
由累乘法得到，所以数列的通项公式为 ………………6分
（Ⅱ） 由等差数列前n项和公式得： 所以
…………………………………………………………9分
数列的前项和
……12分
18. （本小题满分12分）
解：(Ⅰ)设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为A ;
∴帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为 ……………………………………3分
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3. ………………………………4分
；
； ……8分
随机变量X的分布列为.
X
0
1
2
3
P
…………………………………9分
（Ⅲ） 所以
所以杨老汉说的是真的。 …………………………………………………………………12分
19.（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）由题意为等边三角形，则，
在三角形中，,，由余弦定理可求得，
，即
又平面平面，平面平面，平面
平面 …………………………………………………3分
等边三角形中，为中点，则，且
平面， …………………………………………………5分
（Ⅱ）以为坐标原点，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
， ……………………………………………7分
设是平面的法向量，则，
取 ……………………………………………9分
所以直线与平面所成角的正弦值为. ……………………………12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）抛物线的准线方程为,抛物线方程为 ……2分
设,…4分
直线的方程为即 …………………………………………6分
（Ⅱ）都在直线上，则，设
…8分
又
当时，的最小值为 …………………………………………………12分
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1．
经检验m=1 符合题意 ……………2分
（Ⅱ）由（ Ι）可知，函数f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定义域为（-1，+∞）．
∵ ………………………………………………4分
设g（x）=ex（x+1）-1，则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（-1，+∞）上为增函数，
又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当-1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．
所以f（x）在（-1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；因此，的最小值为
∵0在定义域内恒成立,即 ……………………………………………………………7分
（Ⅲ）证明：要证 ， .
设, 即证
当m≤2，x∈（-m，+∞）时，，故只需证明当m=2时，.
当m=2时，函数在（－2，+∞）上为增函数，且
．
故在（－2，+∞）上有唯一实数根，且∈（－1，0）．
当时，，当时，,
从而当时，取得最小值． …………………………………………………10分
由，得，故．
综上，当m≤2时，即＞m．………………………………………12分
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的方程，得：
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）
(Ⅱ）
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