信阳高中2019届高三上学期期末考试理数试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下图是某企业产值在2008年~2017年的年增量（即当年产值比前一年产值增加的量）统计图（单位：万元），下列说法正确的是（ ）
A．2009年产值比2008年产值少
B．从2011年到2015年，产值年增量逐年减少
C．产值年增量的增量最大的是2017年
D．2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低
5．等比数列的前项和，若对任意正整数等式成立，则的值为（ ）
A．-3 B．1 C．-3或1 D．1或3
6．已知ABC中，，延长BD交AC于E，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是某球面上不共面的四点，且，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为
A． B．2 C． D．3
10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出的值分别为（ ）
（参考数据：）
A． B．
C． D．
11．已知点P（－1，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线
y 2＝2x交于不同的两点A、B，若x轴是∠APB的角平分线，
则直线l一定过点（ ）
A．（，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（-2，0）
12．设函数，其中，若仅存
在两个正整数使得，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．若的展开式中常数项为－12，则a=____．
14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为____．
15．设数列的前n项和为,若且（n≥2）则的通项公式_______．
16．如右图，正方体中，是的中点，是侧面上的动点，且//平面，则与平面所成角的正切值的最大值是_________.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在中，角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，点在线段上， ， ,求的面积.
18．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
（1）求证：平面 ；
（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
19．为了改善市民的生活环境，信阳市决定对信阳市的1
万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施．通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现信阳市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162），分值越低，说明污染越严重；如果分值在［50，60］内，可以认为该企业治污水平基本达标．
（1）如图信阳市的某工业区所有被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；
（2）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在［18，34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元．长沙市决定关停80％的标准分低于18分的化工企业和60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？
（附：若随机变量，则， ，）
20．已知椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．设是在点处的切线．
（1）求证： ；
（2）设，其中．若对恒成立，求的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为，已知直线的参数方程为（为参数），点的直角坐标为.
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）设直线和曲线交于两点，求.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若不等式恒成立，求实数的最大值；
（2）当，函数有零点，求实数的取值范围.
高三上学期期末考试理数参考答案
1．B 2．B 3．A 4．D
对，2009年产值比2008年产值多万元，故错误；
对，从2011年到2015年，产值年增量逐年增加，故错误；
对，产值年增量的增量最大的不是2017年，故错误；
对，因为增长率等于增长量除以上一年产值,由于上一年产值不确定，所以2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低，对，故选D.
5．C设等比数列的公比为，因为，所以，两式相减，有，而，所以，当时，令得，解得；当时，令得，解得，所以或，
6．D取特殊三角形，令，则有，直线BD的方程为，化简得，令，解得，所以，，故选D.
7．D因为，所以为奇函数，不选A,C，
又因为，所以选D.
8．A因为所以
因为，所以为边长为1得正方体四个顶点，外接球半径为，
因此球的体积为，选A.
9．C因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以圆，即，设圆心为,
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则有，选C.
10．C在半径为的圆内作出正边形，分成个小的等腰三角形，
每一个等腰三角形两腰是，顶角是，所以正边形面积是，
当时，；当时，；
当时，；符合，输出，故选C.
11．B根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在x轴上，
设直线的方程为，与抛物线方程联立，消元得，
设，因为x轴是∠APB的角平分线，所以AP、BP的斜率互为相反数，所以，结合根与系数之间的关系，整理得出，
即，，解得，所以过定点，
12．A令 因为仅存在两个正整数使得，即仅有两个整数使得 ，令，解得 且当，；当，所以 且 ， 所以当 时，，另一个满足条件的整数为2所以 ，代入解得 综上， 的取值范围为
13．-1因为的展开式中常数项为，
14．从图中可以发现，对应的圆锥的高是2，底面圆的半径是，
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故剩余部分的底面的面积为，
所以该几何体的体积为，故答案是.
15．
时，由 可得化为 是公差为 ，首项为的等差数列，，时， ，又因为 ，故答案为.
16．设分别为边上的中点,则四点共面，且平面平面，又面，落在线段上，是与平面所成的角，
，设的中点为,则当与重合时最小，此时与平面所成角的正切值有最大值为，故答案为.
17．（1）因为 ，由正弦定理得：
即,
在中， ，所以
，两边平方得：
由， ， 得
解得：
所以的面积
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18． 解法一：（Ⅰ）如图，取的中点，连接，，又G是BE的中点，，
又F是CD中点，，由四边形ABCD是矩形得，，所以．从而四边形是平行四边形，所以，,又，所以．
（Ⅱ）如图，在平面BEC内，过点B作,因为．
又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ
以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0,0,2），B（0,0,0），E（2,0,0），F（2,2,1）．因为AB平面BEC，所以为平面BEC的法向量，
设为平面AEF的法向量.又
由取得.
从而
所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．
解法二：（Ⅰ）如图，取中点，连接，，又是的中点，可知，
又面，面，所以平面．
在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得．
又面，面，所以面．
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又因为，面，面，
所以面平面，因为面，所以平面．
19． （Ⅰ）该工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值：
，
故该工业区的化工企业的治污平均值水平基本达标；
（Ⅱ）化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162）
标准分在［18，34）内的概率，
∴60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失为:
万元，
标准分低于18分的概率，，
∴万元
故信阳市决定关停80％的标准分低于18分的化工企业和60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有
20． （1）由已知得，∴，则的方程为；
（2）假设存在点,使得为定值，
当直线的斜率不为时，可设直线的方程为，
联立, 得
设，则，
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要使上式为定值, 即与无关，应有
解得，此时
当直线的斜率为时，不妨设，当的坐标为时
综上，存在点使得为定值．
21． （1）设 ，则，所以．所以 ．
令． 满足，且．
当时， ，故单调递减；
当时， ，故单调递增．
所以， ．所以 ．
（2）法一： 的定义域是，且 ．
① 当时，由（1）得 ，
所以 ．
所以 在区间 上单调递增， 所以 恒成立，符合题意．
② 当时，由，且的导数，
所以 在区间上单调递增． 因为，
于是存在 ，使得．
所以 在区间 上单调递减，在区间上单调递增，
所以，此时不会恒成立，不符合题意．
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综上， 的取值范围是．
法二：∵
∴
当
当
令=
令,
故,故，
综上.
22． （1）∵ρsin2α﹣2cosα=0，∴ρ2sin2α=4ρcosα，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．
由消去，得.∴直线l的直角坐标方程为．
（2）点M（1，0）在直线l上，
设直线l的参数方程（t为参数），A，B对应的参数为t1，t2．
将l的参数方程代入y2=4x，得.
于是，.
∴.
23． （Ⅰ）．
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∵，
∴恒成立当且仅当，
∴，即实数的最大值为1．
（Ⅱ）当时，
∴，
∴或
∴，∴实数的取值范围是．
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