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海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（文科） 2018.1
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知是虚数单位，若，则实数的值为
A. B. C. D.
（2）已知，若，则
A. B. C. D.
（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为
A.4
B.5
C.6
D.7
（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次
数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：
已知两组数据的平均数相等，则的值分别为
A. B. C. D.
（5）已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为
A. B. C. 或 D. 或
（6）设，则“”是“直线与直线平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,
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（7）在中，是的中点，则的取值范围是
A. B. C. D.
（8）已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点在平面内，点在线段上，若，则长度的最小值为
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为 .
（10）若变量满足约束条件，则的最大值是 .
（11）中， 且的面积为，则 .
（12）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 .
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（13）函数的最大值为 ；若函数的图像与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是 .
（14）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
1
2
3
4
5
得分
甲
C
C
A
B
B
4
乙
C
C
B
B
C
3
丙
B
C
C
B
B
2
则甲同学答错的题目的题号是 ，其正确的选项是 .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
已知等差数列的前项和，且.
（Ⅰ）数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列前项和.
（16）（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的定义域；
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（Ⅱ）求函数的值域.
（17）（本小题14分）
据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS）
测试1
测试2
测试3
测试4
测试5
测试6
测试7
测试8
测试9
测试10
测试11
测试12
品牌A
3
6
9
10
4
1
12
17
4
6
6
14
品牌B
2
8
5
4
2
5
8
15
5
12
10
21
设分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果，记
（Ⅰ）求数据的众数；
（Ⅱ）从满足的测试中随机抽取两次，求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率；
（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.
（18）（本小题13分）
如图，三棱柱侧面底面，
，分别为棱的中点.
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（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求三棱柱的体积；
（Ⅲ）在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
（19）（本小题14分）
已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，与轴交于点，点与点不重合.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）当时，求椭圆的方程；
（Ⅲ）过原点作直线的垂线，垂足为.若，求的值.
（20）（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：“”是“函数有且只有一个零点” 的充分必要条件.
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海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案
数学（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
A
D
B
B
D
C
A
C
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)
9.10.11.或
12.13.114.5 A
三、解答题: 本大题共6小题，共80分.
15（本题共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为
，解得，------------------------3分
由，则------------------------5分
因此，通项公式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，则
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------------------------7分
因为，------------------------8分
所以是首项为8，公比为的等比数列.------------------------9分
记的前项和为，则
------------------------10分
------------------------12分
---------------------13分
16（本题共13分）
解：（Ⅰ），------------------------2分
解得：，------------------------3分
所以，函数的定义域为------------------------4分
（Ⅱ）
------------------------6分
------------------------8分
------------------------9分
因为，所以，
所以，------------------------11分
所以，函数的值域为.------------------------13分
17.（本题共13分）
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解：（Ⅰ）
1
2
4
6
2
4
4
2
1
6
4
7
所以等于1有2次，=2有3次，=4有4次，=6有2次，=7有1次，
则数据的众数为4------------------------5分
（Ⅱ）设事件D=“品牌的测试结果恰有一次大于品牌的测试结果”.
满足的测试共有4次，其中品牌的测试结果大于品牌的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M，N表示.品牌的测试结果小于品牌的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P，Q表示.从中随机抽取两次，共有MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ六种情况，其中事件D发生，指的是MP,MQ,NP,NQ四种情况.
故. ------------------------10分
（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.
给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.
标准1: 分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述
标准2：会用测试结果的平均数进行阐述
------------------------13分
可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：
结论一：，品牌处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些。
理由如下：从前6次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌的测试有两次打开速度比品牌快(数值小），品牌有四次比品牌快，从后6次测试（打开含有文字与图片的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌有四次打开速度比品牌快（数值小）.
结论二：从测试结果看，这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论：品牌打开文件速度快一些
理由如下：品牌处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为，品牌处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为，所以品牌打开文件速度快一些.（且品牌方差较小）
其他答案情况，比照以上情况酌情给分.
18.（本题共14分）
（Ⅰ）证明：三棱柱中，
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侧面底面，，
又因为侧面底面，底面，
所以平面，-----------------------3分
又因为平面，
所以；------------------------4分
（Ⅱ）解：连接 ,因为三棱柱中，所以.
因为，所以.又因为，且.
所以△是边长为2的正三角形.因为是棱的中点，所以，
又因为，，所以.
因为，底面，
所以底面.------------------------6分
所以三棱柱的体积为
； …………………………8分
（Ⅲ）在直线上存在点，使得平面.------------------------9分
证明如下：连接并延长，与的延长线相交，设交点为.连接.
因为，所以，故----------------------10分
由于为棱的中点，所以，故有----------------------11分
又为棱的中点，
故为的中位线，所以.------------------------12分
又平面，平面，
所以平面. ------------------------13分
故在直线上存在点，使得平面.
此时，. -------------------------14分
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19.（本题共14分）
解：（Ⅰ），，，------------------------2分
，故.------------------------4分
（Ⅱ）设，
，得到，
依题意，由得.
且有，------------------------6分
，------------------------7分
原点到直线的距离------------------------8分
所以------------------------9分
解得>1，
故椭圆方程为.------------------------10分
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（Ⅲ）直线的垂线为，------------------------11分
由解得交点，------------------------12分
因为，又
所以=，故的值为1.------------------------14分
20.（本题共13分）
解：（Ⅰ）依题意，-----------------------------1分
所以切线的斜率
又因为，-----------------------------2分
所以切线方程为.-----------------------------3分
（Ⅱ）先证不必要性.
当时，，
令，解得.-----------------------------4分
此时，有且只有一个零点，故“有且只有一个零点则”不成立.
-----------------------------5分
再证充分性.
方法一：
当时，.
令，解得.-----------------------------6分
（i）当，即时，，
所以在上单调增.
又，
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所以有且只有一个零点.-----------------------------7分
（ii）当，即时，
，随的变化情况如下:
0
0
0
极大值
极小值
-----------------------------8分
当时，，，所以-----------------------------9分
又
所以有且只有一个零点.-----------------------------10分
（说明：如果学生直接写出时，要扣1分）
（iii）当，即时，，随的变化情况如下:
0
0
0
极大值
极小值
-----------------------------11分
因为，所以时，-----------------------------12分
令，则.
下面证明当时，.
设，则.
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减
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所以当时，取得极大值.
所以当时，, 即.
所以.
由零点存在定理，有且只有一个零点.
综上，是函数有且只有一个零点的充分不必要条件.-----------------------------13分
（说明：如果学生写出下面过程，，时，有且只有一个零点.要扣1分）
方法二：
当时，注意到时，，，，
因此只需要考察上的函数零点.-----------------------------7分
（i）当，即时，时，，
单调递增.-----------------------------8分
又
有且只有一个零点.-----------------------------10分
（ii）当，即时，以下同方法一.
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