2019年1月海淀区高三数学理期末试卷及答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 海淀区高三年级第一学期期末练习 ‎ 数 学（理科） 2019.01‎ ‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）双曲线的左焦点的坐标为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）已知向量，且，则的夹角大小为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（4）直线被圆截得的弦长为，则的值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）以正六边形的个顶点中的个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）已知函数 ，则“”是“函数在区间 上存在零点”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（7）已知函数是的导函数，则下列结论中错误的是 ‎ ‎（A）函数的值域与的值域相同 ‎ ‎（B）若是函数的极值点，则是函数的零点 ‎（C）把函数的图象向右平移个单位，就可以得到函数的图象 ‎（D）函数和在区间上都是增函数 ‎（8）已知集合. 若，且对任意的 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，均有，则集合中元素个数的最大值为 ‎（A）25 （B）49 （C）75 （D）99 ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）以抛物线的焦点为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 ． ‎ ‎（10）执行如下图所示的程序框图，当输入的值为，值为时，输出的值为 ．‎ 开始 输出 结束 是 否 输入,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（11）某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， . ‎ ‎（12）设关于的不等式组表示的平面区域为，若中有且仅有两个点在平面区域内，则的最大值为 ．‎ ‎（13）在中，，且，则 ．‎ ‎（14）正方体的棱长为1，动点在线段上，‎ 动点在平面上，且平面. ‎ ‎(Ⅰ) 当点与点重合时，线段的长度为 ；‎ ‎ （Ⅱ）线段长度的最小值为 ．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 已知函数，其中. ‎ ‎ (Ⅰ)比较的大小； ‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的最小值.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（16）（本小题满分13分）‎ 为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核. 记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀. 为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；‎ ‎(Ⅱ)从图中考核成绩满足的学生中任取人，设表示这人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；‎ ‎(Ⅲ)根据以往培训数据，规定当时培训有效. 请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（17）（本小题满分14分）‎ 在四棱锥中， 平面平面， 底面为梯形,，,且.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，‎ 与都不平行. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（18）（本小题满分14分）‎ 已知椭圆:, 过点的直线与椭圆交于不同的两点,.‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的离心率；‎ ‎(Ⅱ) 若点关于轴的对称点为，求线段长度的取值范围.‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（19）（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； ‎ ‎（Ⅱ）当时，求证:对任意的成立.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（20）（本小题满分13分）‎ 设为不小于的正整数，集合,对于集合中的任意元素，，记 ‎ . ‎ ‎(Ⅰ) 当时，若，请写出满足的所有元素； ‎ ‎(Ⅱ) 若，且，求的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅲ）设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同元素 ，有成立，求集合中元素个数的最大值.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 ‎ 数 学 （理科） 2019.01‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1. A 2. B 3. D 4. A 5. C 6. C 7.C 8. D ‎ 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 10. 11. 12. ‎ ‎13. 14. ‎ 三、解答题: 本大题共6小题，共80分. ‎ ‎15．解：（Ⅰ）因为 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 因为，所以，所以 ‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎ ‎ ‎ ‎ 设 ，所以 ‎ ‎ 所以 其对称轴为 ‎ 当，即 时，在时函数取得最小值 ‎ 当，即时，在时函数取得最小值 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件 ‎ 由茎叶图中的数据可以知道，名同学中，有名同学考核优秀 ‎ 所以所求概率约为 ‎ ‎（Ⅱ）的所有可能取值为 ‎ 因为成绩的学生共有人，其中满足的学生有人 ‎ 所以， ‎ ‎ ， ‎ 随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有个 ‎ 所以 ‎ 所以可以认为此次冰雪培训活动有效. ‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 17．解：（Ⅰ）在平面中过点作，交于 ‎ 因为平面平面 ‎ 平面 平面平面 ‎ 所以平面 ‎ 因为平面 所以 ‎ 又，且 ‎ 所以平面 ‎ ‎（Ⅱ）因为平面，所以 ‎ 又，‎ 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系 ‎ 所以，‎ 因为平面，所以取平面的法向量为 ‎ 设平面的法向量为 因为，所以 ‎ 所以 ‎ 令 ，则 ，所以 ‎ 所以 ‎ 由题知为锐角，所以的余弦值为 ‎ ‎（Ⅲ）‎ 法一：‎ 假设棱上存在点，使得，显然与点不同 ‎ 所以四点共面于 所以，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以，‎ 所以就是点确定的平面，所以 这与为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 ‎ 法二：‎ 假设棱上存在点，使得 ‎ 连接，取其中点 在中，因为分别为的中点，所以 因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以与重合 所以点在线段上，所以是，的交点，即就是 ‎ 而与相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 ‎ 法三：假设棱上存在点，使得， ‎ 设，所以 因为，所以 所以有，这个方程组无解 所以假设错误，即问题得证 ‎ ‎18．解：（Ⅰ） ‎ 因为，所以 ‎ 所以离心率 ‎ ‎（Ⅱ）法一：‎ 设 ‎ 显然直线存在斜率，设直线的方程为 ‎ 所以，所以 ‎ ‎，所以 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以 ‎ 因为 ‎ 所以 ‎ ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为，所以 ‎ 法二：‎ 设 当直线是轴时， ‎ 当直线不是轴时，设直线的方程为 ‎ 所以，所以， ‎ ‎ ，所以 ‎ 所以 ‎ 因为 ‎ 所以 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为 ‎ 所以 ‎ ‎ 因为，所以 ‎ 综上，的取值范围是. ‎ ‎19．解：（Ⅰ）因为 所以 ‎ 当时，‎ 所以，而 ‎ 曲线在处的切线方程为 ‎ 化简得到 ‎ ‎（Ⅱ）法一：‎ 因为，令 得 ‎ 当时，，，在区间 的变化情况如下表:‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在上的最小值为中较小的值， ‎ 而，所以只需要证明 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为，所以 ‎ 设，其中，所以 ‎ 令，得，‎ 当时，，，在区间 的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在上的最小值为，而 ‎ 注意到， 所以，问题得证 ‎ 法二：‎ 因为“对任意的，”等价于“对任意的，”‎ ‎ 即“，”，故只需证“，”‎ 设 ，所以 ‎ 设， ‎ 令，得 ‎ 当时，，，在区间 的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以上的最小值为，而 ‎ 所以时，，所以在上单调递增 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以 而，所以，问题得证 ‎ 法三：‎ ‎“对任意的，”等价于“在上的最小值大于”‎ 因为，令 得 ‎ 当时，，，在在上的变化情况如下表:‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在上的最小值为 中较小的值， ‎ 而，所以只需要证明 ‎ 因为，所以 ‎ ‎ 注意到和，所以 ‎ 设，其中 ‎ 所以 ‎ ‎ 当时，，所以单调递增，所以 ‎ ‎ 而 所以，问题得证 ‎ 法四：‎ 因为，所以当时， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 设，其中 ‎ 所以 ‎ ‎ 所以，，的变化情况如下表: ‎ ‎0‎ 极小值 ‎ ‎ 所以在时取得最小值，而 ‎ ‎ 所以时， ‎ ‎ 所以 ‎ ‎20. 解：(Ⅰ) 满足的元素为 ‎ ‎（Ⅱ）记，，‎ 注意到，所以，‎ 所以 ‎ ‎ 因为，所以 ‎ 所以中有个量的值为1，个量的值为0.‎ 显然 ‎，‎ 当，时，‎ 满足，.所以的最大值为 ‎ 又 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ 注意到只有时，，否则 而中个量的值为1，个量的值为0‎ 所以满足这样的元素至多有个，‎ 当为偶数时，. ‎ ‎ 当时，满足，且.‎ 所以的最小值为 ‎ 当为奇数时，且，这样的元素至多有个，‎ 所以 .‎ ‎ 当，时，满足，.‎ 所以的最小值为 ‎ 综上：的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，.‎ ‎（Ⅲ）中的元素个数最大值为 ‎ 设集合是满足条件的集合中元素个数最多的一个 ‎ 记，‎ ‎ 显然 ‎ 集合中元素个数不超过个，下面我们证明集合中元素个数不超过个 ‎ ，则 ‎ 则中至少存在两个元素 ‎ ‎ ，‎ ‎ 因为 ，所以 不能同时为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 所以对中的一组数而言，‎ 在集合中至多有一个元素满足同时为 所以集合中元素个数不超过个 所以集合中的元素个数为至多为 ‎ 记，则中共个元素，‎ ‎ 对于任意的，，.‎ 对，记 其中，，‎ 记，‎ 显然，，均有.‎ 记，中的元素个数为，且满足，，均有.‎ 综上所述，中的元素个数最大值为. ‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费