2019年1月海淀区高三数学文期末试卷及答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 海淀区高三年级第一学期期末练习 ‎ 数 学（文科） 2019.01‎ ‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）双曲线的左焦点的坐标为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）已知等比数列满足，且成等差数列，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）若，则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）已知向量，且，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）直线被圆截得的弦长为，则的值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）已知函数 ，则“”是“函数在区间上存在零点”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（7）已知函数为的导函数，则下列结论中正确的是 ‎ ‎ （A）函数的值域与的值域不同 ‎ ‎（B）存在，使得函数和都在处取得最值 ‎ （C）把函数的图象向左平移个单位，就可以得到函数的图象 ‎ （D）函数和在区间上都是增函数 ‎（8）已知集合，. 若，且对任意的 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，均有，则集合中元素个数的最大值为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（ 9 ）抛物线的准线方程为 ． ‎ ‎（10）执行如图所示的程序框图，当输入的值为，值为时，输出的值为 ．‎ 开始 输出 结束 是 否 输入,‎ ‎（11）某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥的体积是 ． ‎ ‎（12）在中，，，且，则 ， ．‎ ‎（13）设关于的不等式组表示的平面区域为，若中有且仅有两个点在内，则的最大值为 ．‎ ‎（14）已知函数， ，，其中表示中最大的数. ‎ ‎ (Ⅰ) 若，则 ；‎ ‎（Ⅱ）若对恒成立，则的取值范围是_________.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 已知数列满足，.‎ ‎(Ⅰ) 求的值和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和. ‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ 已知函数. ‎ ‎ (Ⅰ) 比较的大小； ‎ ‎(Ⅱ) 当时，求函数的最小值.‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ 为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核. 记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎(Ⅰ) 从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核成绩为优秀的概率；‎ ‎(Ⅱ)从图中考核成绩满足的学生中任取人，求至少有一人考核优秀的概率；‎ ‎(Ⅲ)记表示学生的考核成绩在区间内的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 请你根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.‎ ‎（18）（本小题满分14分）‎ 在四棱锥中，平面平面， 底面为梯形, ，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，‎ 与都不平行.‎ ‎ ‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 已知点和椭圆. 直线与椭圆交于不同的两点. ‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的离心率；‎ ‎(Ⅱ) 当时，求的面积；‎ ‎（Ⅲ）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值 .‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（20）（本小题满分13分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； ‎ ‎（Ⅱ）求证: 当时，.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 ‎ 数 学 （文科） 2019.01‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. ‎ ‎1. A 2. C 3. D 4.B 5. A 6. C 7.C 8.B 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 10. 11. ‎ ‎12. 13. 14. ‎ 说明:第11，14题第一空3分，第二空2分 ‎ 三、解答题: 本大题共6小题，共80分. ‎ ‎15．解：（Ⅰ）因为，‎ 所以，， ‎ 因为 ‎……‎ 把上面个等式叠加，得到 ‎ ‎ 所以 ‎ 又时，符合上式，所以 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）因为 ‎ 所以 ‎ 所以是首项为，公差为的等差数列 ‎ 所以 ‎ ‎ 16. 解：（Ⅰ）因为 ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 当时， ‎ ‎ 当时， ‎ ‎ 当时， ‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ ‎ ‎ ‎ 设所以 ‎ ‎ 所以，其对称轴为 ‎ 因为，‎ 所以当时，函数取得最小值. ‎ ‎17. 解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件 ‎ 由茎叶图中的数据可以知道，名同学中，有名同学考核优秀 ‎ 所以所求概率约为 ‎ ‎（Ⅱ）设从图中考核成绩满足的学生中任取人，至少有一人考核成绩优秀为事件 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为表中成绩在的人中有个人考核为优 ‎ 所以基本事件空间包含个基本事件，事件包含 个基本事件 ‎ 所以 ‎ ‎（Ⅲ）根据表格中的数据，满足 的成绩有个， ‎ 所以 ‎ 所以可以认为此次冰雪培训活动有效 ‎ ‎18．证明：‎ ‎（Ⅰ）因为 ‎ 平面 ‎ 平面 ‎ 所以平面 ‎ ‎（Ⅱ）法一：‎ 因为平面平面 平面平面 ‎ ‎,平面 ‎ 所以平面 ‎ 法二：‎ 在平面中过点作，交于 因为平面平面 平面平面 平面 所以平面 ‎ 因为平面 所以 又，‎ 所以平面 ‎ ‎（Ⅲ）法一：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 假设存在棱上点，使得 ‎ 连接，取其中点 在中，因为分别为的中点，所以 ‎ 因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以与重合 所以点在线段上，所以是，的交点 即就是 而与相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 ‎ 法二：‎ 假设存在棱上点，使得，显然与点不同 ‎ 所以四点在同一个平面中 ‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以就是点确定的平面 ，且 这与为四棱锥矛盾，所以假设错误，问题得证 ‎ ‎19．解：（Ⅰ）‎ 因为，所以 ‎ 所以离心率 ‎ ‎（Ⅱ）设 ‎ 若，则直线的方程为 ‎ 由，得 ‎ 解得 ‎ 设，则 ‎ ‎（Ⅲ）法一：‎ 设点，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为，，所以 ‎ 又点，都在椭圆上，‎ 所以 ‎ 解得或 ‎ 所以 或 ‎ 法二：‎ 设 显然直线有斜率，设直线的方程为 ‎ 由， 得 ‎ 所以 ‎ ‎ 又 ‎ 解得 或 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以 或 ‎ 所以 或 ‎ ‎ ‎ ‎20．解：（Ⅰ）因为 ‎ 所以 ‎ 当时，‎ 所以，而 ‎ 曲线在处的切线方程为 ‎ ‎（Ⅱ）法一：‎ 因为，令 得 ‎ 显然当时，‎ 所以，，在区间上的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在区间上单调递减，在单调递增，‎ 所以在上的最小值为，所以只需证明 ‎ 因为，所以 ‎ 设，其中 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以 ‎ 当时，，所以在区间单调递增，‎ 因为 ，所以，问题得证 ‎ 法二：‎ 因为，所以当时， ‎ ‎ 设，其中 ‎ 所以 ‎ 所以，，的变化情况如下表: ‎ ‎0‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在区间上单调递减，在上单调递增，‎ 所以函数在时取得最小值，而 ‎ 所以时 ‎ 所以，问题得证 ‎ 法三：‎ ‎ 因为“对任意的，”等价于“对任意的，”‎ ‎ 即“，”，故只需证“时，” ‎ 设，其中 ‎ 所以 ‎ 设，,‎ 令，得 所以，，的变化情况如下表: ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎0‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在处取得极小值，而 ‎ 所以 ‎ 所以时，，所以在上单调递增，得 ‎ 而，所以 问题得证 ‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费