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东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学 （文科） 2019.1
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）下列复数为纯虚数的是
（A） （B） （C） （D）
（3）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在射线上，则的值是
（A） （B） （C） （D）
（4）若满足 则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（5）执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的
值为
（A） （B）
（C） （D）
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（6）设 为实数，则“ ”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度
为
（A）2 （B）
（C） （D）3
（8）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量. 地震释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之
间的关系为. 已知两次地震里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为和，则的值所在的区间为
（A） （B） （C） （D）
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第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（ 9 ）已知向量，，若，则 .
（10）在中，已知，，，则 .
（11）若等差数列和等比数列满足，，试写出一组满足条件的数列和的通项公式: ， .
（12）过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线，交双曲线于两点，为坐标原点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率_________.
（13）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，
为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了
随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合
了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：
某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：
① 随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；
② 9天后，小菲的单词记忆保持量低于 ；
③ 26天后，小菲的单词记忆保持量不足.
其中正确的结论序号有 . （注：请写出所有正确结论的序号）
（14）已知函数，.若，都有，则a的最大值为______；此时ω=_______.
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三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
已知等差数列满足
DXXXD的通项公式；
(Ⅱ) 若 ,求数列的前n项和.
（16）（本小题13分）
已知函数.
(Ⅰ) 求的最小正周期；
(Ⅱ) 求证：对于任意的，都有．
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（17）（本小题13分）
某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；
（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在，现从课外阅读时间在的样
本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；
（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间
的平均数.
（18）（本小题14分）
如图，三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， ， ，为中点.
（I） 求证：平面 ；
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(II) 求三棱锥 的体积；
（III） 设平面与直线交于点，求线段的长.
（19）（本小题13分）
已知函数，a∈R．
(Ⅰ) 当时，求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ) 求的单调区间．
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（20）（本小题14分）
已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点，直线与椭圆的另一个交点为.
（I）求椭圆的方程；
（II）当时，求的面积；
（III）证明：直线与轴垂直.
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高三数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）D （3）A （4）B
（5）B （6）A （7）D （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）
（11）,（答案不唯一） （12）
（13）①② （14）4，
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（I）设的公差为,
因为， 所以.
所以
解得.
所以 ……………………………..7分
（Ⅱ）由（I）知，，
所以的前n项和为
=
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=. ……………………..13分
（16）（共13分）
解:（Ⅰ）
. ……………………………..5分
所以 的最小正周期. ……………………………..7分
（Ⅱ）因为，所以.
所以.
所以
所以.
所以对于任意的，都有． ……………………………..13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ），
即课外阅读时间不小于小时的样本的频率为.
因为，
所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于小时的学生人数为
. …………………………………………………………………………………………….5分
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（Ⅱ）阅读时间在的样本的频率为.
因为，即课外阅读时间在的样本对应的学生人数为.
这名学生中有名女生，名男生，设女生为，，男生为，，，
从中抽取人的所有可能结果是：
，，，，，
，，，，.
其中至少抽到名女生的结果有个，
所以从课外阅读时间在的样本对应的学生中随机抽取人，至少抽到名女生的所求概率为. ……………………………..11分
（Ⅲ）根据题意， （小时）.
由此估计该校学生年10月课外阅读时间的平均数为 小时 …………….13分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）因为三棱柱 中，侧棱垂直于底面，
所以平面.
因为平面，
所以.
又因为，，
所以平面 .
因为平面，
所以.
因为，所以四边形为菱形.
所以.
因为，
所以平面. ……………………………..5分
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（Ⅱ） 由已知，平面，平面，
所以 .
因为， ，
所以 平面.
又，故 到平面的距离为.
因为为中点，所以点到平面距离为.
所以．……..9分
（Ⅲ）在三棱柱中，
因为，为平面与平面的公共点，
所以平面平面.
因为平面平面，平面，
所以平面.
又平面平面,
所以.
又，所以.
因为为中点, 所以为中点 .
所以．………………………..14分
（19）（共13分）
解：（Ⅰ）的定义域为,
．
当时，，，
所以曲线在点处的切线方程为．………………………..7分
(Ⅱ) .
(1) 当时，，
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所以当时，；当时，.
所以的单调递增区间为(–∞，–1)，单调递减区间为(–1，+∞).
(2) 当时，令，得，.
①当，即时，，
所以的单调递增区间为(–∞，+∞)，无单调递减区间；
②当，即时，
当时，；当时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；
③当，即时，
当时，；当时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，. …………………………………………………………………………………………13分
（20）（共14分）
解：（I） 由已知有解得
所以椭圆的方程为. ……………………………………5分
（II）由消去，整理得.
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由已知，，解得.
设，则
直线的方程为，到直线的距离.
所以的面积为. …………………………………10分
（III）当时，.
此时直线的斜率为，由（II）知不符合题意，所以.
设直线的斜率为.
则直线的方程为.
由消去，整理得.
设，则有.
由得，代入上式整理得，
解得.
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因为，
将，代入，整理得，
所以. 所以直线与轴垂直. ……………………………………14分
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