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丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习
高三数学（理科） 2019.01
第一部分 （选择题 共40分）
一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，，那么
（A）
（B）
（C）
（D）
2．若复数的实部与虚部互为相反数，则实数
（A）3
（B）
（C）
（D）
3．执行如图所示的程序框图，输出的的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
4．已知等差数列中，，.
若，则数列的前5项和等于
（A）30
（B）45
（C）90
（D）186
5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的
棱中，最长的棱的长度为
（A）2
（B）
（C）
（D）
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6．设，是非零向量，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆通过处的铰链与固定好的短杆连接，取一条定长的细绳，一端固定在点，另一端固定在点，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆，拉紧绳子，移动笔尖（长杆绕转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若，，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
8．如图，在棱长为2的正方体中，分
别是棱的中点，是底面内一动点，若直线
与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值
为
（A）
（B）1
（C）
（D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．在极坐标系中，圆C：的圆心到点的距离为____．
10．展开式中的系数为____．
11．能够说明“设是任意非零实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为____．
12．若满足 则的最大值为____．
13．动点在圆上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间
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时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的值域为____．
14．已知函数
① 若，则函数的零点有____个；
② 若存在实数，使得函数总有三个不同的零点，则实数的取值范围是____．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15．（本小题13分）
在中，角的对边分别为，，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积.
16．（本小题14分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱的中点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
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17．（本小题13分）
2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：
展区类型
智能及高端装备
消费电子及家电
汽车
服装服饰及日用消费品
食品及农产品
医疗器械及医药保健
服务贸易
展区的企业数(家)
400
60
70
650
1670
300
450
备受关注百分比
25％
20％
10％
23％
18％
8％
24％
备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．
（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；
（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访.
（i）记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量的分布列；
（ii）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10％.记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量的均值和的大小.（只需写出结论）
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18．（本小题14分）
已知椭圆C:的右焦点为，离心率为，直线与椭圆C交于不同两点，直线分别交轴于两点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：.
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19．（本小题13分）
设函数．
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）如果恒成立，求实数的最小值．
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20．（本小题13分）
将阶数阵记作（其中，当且仅当时，）.如果对于任意的，当时，都有，那么称数阵具有性质.
（Ⅰ）写出一个具有性质的数阵，满足以下三个条件：①，②数列是公差为2的等差数列，③数列是公比为的等比数列；
（Ⅱ）将一个具有性质A的数阵的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作数阵.试判断数阵是否具有性质A，并说明理由.
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高三数学（理科）参考答案及评分参考
2019．01
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
B
C
D
A
D
C
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空3分，第二空2分）
9． 10． 11． 满足且即可
12．1 13． 14．2；且
三、解答题（共6小题，共80分）
15.（共13分）
解：（Ⅰ）在△中，因为，，，
由余弦定理， ……………….2分
可得， ……………….4分
所以，或（舍）． ……………….6分
（Ⅱ）因为，
所以.
所以的面积. …………….13分
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16.（共14分）
解：（Ⅰ）因为底面，底面，
所以，
正方形中，
又因为，
所以平面，
因为平面，
所以． …………….4分
（Ⅱ）正方形中，侧棱底面.
如图建立空间直角坐标系，不妨设.
依题意，则，
所以.
设平面的法向量，
因为，
所以.
令，得，即，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为； ………………11分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，所以为平面的法向量，
因为， 且二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为
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． …………………14分
17．（共13分）
解：（Ⅰ）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450=3600家，
其中备受关注的智能及高端装备企业共家，
设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A,
所以. ………………4分
（Ⅱ）消费电子及家电备受关注的企业有家，
医疗器械及医药保健备受关注的企业有家，共36家.
的可能取值为0，1，2.
；
；
；
所以随机变量的分布列为：
0
1
2
………………11分
（Ⅲ） ………………13分
18.（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得解得
所以椭圆C的方程为 ………………5分
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（Ⅱ）设.
由 得
依题意，即.
则 ………………8分
因为
.
所以直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，即.
因为，所以. …………………14分
19．（共13分）
解：（Ⅰ）因为，所以 .
当时，恒成立，
所以 在区间上单调递增，
所以. . .. …… …….5分
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（Ⅱ）因为，
所以.
①当时，由（Ⅰ）知，对恒成立；
②当时，因为，所以.
因此在区间上单调递增，
所以对恒成立；
③当时，令，则，
因为，所以恒成立，
因此在区间上单调递增，
且，
所以存在唯一使得，即.
所以任意时，，所以在上单调递减.
所以，不合题意. . .. …… …….12分
综上可知，的最小值为1. . .. …… …….13分
20．（共13分）
解：（Ⅰ）（答案不唯一）. . .. …… …….4分
（Ⅱ）数阵具有性质A.
只需证明，对于任意的，都有，其中.
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下面用反证明法证明：
假设存在，则都大于，即在第列中，至少有个数大于，且.
根据题意，对于每一个，都至少存在一个，使得，即在第列中，至少有个数小于.
所以，第列中至少有个数，这与第列中只有个数矛盾.
所以假设不成立.
所以数阵具有性质A. . .. …… …….13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效
）
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