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丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习 2019.01
高三数学（文科）
第一部分 （选择题 共40分）
一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，，那么
（A）
（B）
（C）
（D）
2．复数在复平面内对应的点位于
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
3．执行如图所示的程序框图，输出的的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
4．若满足 则的最大值是
（A）
（B）
（C）1
（D）4
5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的
棱中，最长的棱的长度为
（A）2
（B）
（C）
（D）
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6．设是非零向量，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
7．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
8．如图，在平面直角坐标系中，是正六边形
的中心，若，则点的纵坐标
为
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知函数的图象过点，那么____．
10．在△中，角的对边分别为.若，且，则____．
11．能够说明“设是任意非零实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为____．
12．已知双曲线的一个焦点是，那么双曲线的渐近线方程为____．
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13．已知两点，，动点满足.若为直线上一动点，则的最小值为____．
14．已知函数
① 若，则函数的零点有____个；
② 若对任意的实数x都成立，则实数的取值范围是____．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15．（本小题13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求证：当时，．
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16．（本小题13分）
已知等差数列和等比数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求和：．
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17．（本小题14分）
如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面， 为棱的中点，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
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18．（本小题13分）
2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：
展区类型
智能及高端装备
消费电子及家电
汽车
服装服饰及日用消费品
食品及农产品
医疗器械及医药保健
服务贸易
展区的企业数（家）
400
60
70
650
1670
300
450
备受关注百分比
25％
20％
10％
23％
18％
8％
24％
备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．
（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；
（Ⅱ）某电视台采用分层抽样的方法，在“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中抽取6家进行了采访，若从受访企业中随机抽取2家进行产品展示，求恰有1家来自于“医疗器械及医药保健”展区的概率.
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19．（本小题14分）
已知椭圆C:的右焦点为，离心率为，直线与椭圆C交于不同两点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：直线的倾斜角与直线的倾斜角互补.
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20．（本小题13分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，.
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（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2018~2019学年度第一学期期末练习
高三数学（文科）参考答案及评分参考 2019．01
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
D
A
D
C
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空3分，第二空2分）
9． 10． 11．满足且即可
12． 13． 14．2；
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（共13分）
解：（Ⅰ）因为
所以 . ……………….6分
（Ⅱ）证明：因为，
所以.
当时，
即时，取得最小值.
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所以当时，． ……………….13分
16．（共13分）
解：（Ⅰ）因为 ……………….2分
所以 ……………….4分
从而 . ………………6分
（Ⅱ）因为 ………………8分
所以 ………………10分
所以 ， ………………11分
所以. ………………13分
17．（共14分）
解：（Ⅰ）设， 连接，
因为 中，，分别为，的中点，
所以 为的中位线，即， ………………2分
因为 平面，平面，
所以 平面． ………………4分
（Ⅱ）因为 侧棱底面，底面，
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所以 ， ………………5分
因为 底面为正方形，
所以 ， ………………6分
因为 ，
所以 平面， ……………… 8分
因为 平面，
所以 ． ………………10分
（Ⅲ）因为 侧棱底面于，为棱的中点，
所以为三棱锥的高.
因为，
所以.
因为，
所以.
所以， ………………14分
18．（共13分）
解：（Ⅰ）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450=3600家，
其中备受关注的智能及高端装备企业共家，
设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A，
所以 . ………………5分
（Ⅱ）消费电子及家电展区备受关注的企业有家，医疗器械及医药保健展区备受关注的企业有家，共36家.
所以抽取的6家企业中，来自消费电子及家电展区企业有家，记为，；来自医疗器械及医药保健展区企业有家，记为，，，.
抽取两家进行产品展示的企业所有可能为：
，，，，，，，，，，，，，，共15种；
其中满足恰有1家来自于医疗器械及医药保健展区的有，，，
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，，，，，共8种；
设恰有1家来自于医疗器械及医药保健展区为事件，
所以 . ………………13分
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得解得
所以椭圆C的方程为 …………………5分
（Ⅱ）设.
由 得
依题意，即.
则 …………………8分
当或时，得，不符合题意.
因为
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.
所以直线的倾斜角与直线的倾斜角互补. …………………14分
20．（共13分）
解：（Ⅰ）因为.
所以，，
所以曲线在点处的切线方程.
整理得： ………………5分
（Ⅱ）先证.
因为，，
所以.
所以函数在上单调递增，
所以，
即.① ………………8分
再证.
设，
则，
设，
则，由①可知，
所以在上单调递减， .
所以时，.
所以在上单调递减，.
即.②
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综合①②可知:当时，. ………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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