2019届高三第一学期第二次月考理科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合M={x|0≤x≤6}，N={x|2x≤32}，则M∪N=（ ）
A．（﹣∞，6] B．（﹣∞，5] C．[0，6] D．[0，5]
2.复数=（ ）
A.﹣1+i B.1+i C.1﹣i D.﹣1﹣i
3.设x，y∈R，则“|x|≤1且|y|≤1“是“x2+y2≤2“的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知， 则的值是（ ）
A． B． C． D．
5.若实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C． D．
6.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（ ）
A．49 B．91 C．98 D．182
7.已知随机变量服从正态分布, 且, 则（ ）
A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16
8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
9.函数y=xcosx﹣sinx的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10. 设P是双曲线上的点， 是其焦点，且，若的面积是1, 且，则双曲线的离心率为（ ）
A.. B. C. D.
11.函数，满足，且对任意，都有，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C. D．
12.设函数存在零点，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C. D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. .
14. 已知 若，则=____________.
15. 已知等比数列的第项是二项式展开式中的常数项，则的值为 .
16．若函数的图象上存在不同的两点，，其中使得的最大值为0，则称函数是“柯西函数”．给出下列函数：
①； ②；
③； ④.
其中是“柯西函数”的为 （填上所有正确答案的序号）
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本题满分12分)在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．
（1）求∠A；
（2）求AC边上的高．
18. (本题满分12分)如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）若∠CBA=60°，求直线AF与平面BEF所成角的正弦值．
19. (本题满分12分)电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）.
（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？
（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列，并计算其数学期望和方差.
20. (本题满分12分) 已知椭圆C的中心在原点，其中一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，点（1，）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G（），求实数k的取值范围．
21. (本题满分12分)已知函数有最大值，，且是的导数.
（1）求的值；
（2）证明：当，时，.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. (本题满分10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；
（2）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．
23. (本题满分10分)已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣1|．
（1）若a=1，解不等式f（x）＜4；
（2）对任意满足m+n=1的正实数m，n，若总存在实数x0，使得成立，求实数a的取值范围．
2019届高三第一学期第二次月考理科数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
A
A
C
B
B
D
C
C
A
D
二、填空题
13. -1 14. 15. 36 16. ① ④
三、解答题
17. 解：（1）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，
∵cosB=﹣，∴sinB===，………3分
由正弦定理得=得sinA===，则A=．………6分
（2）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，
即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，……9分
得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），……10分
则AC边上的高h=csinA=3×=．………12分
18.（1）证明：取线段BC的中点O,连结EO.
∵BCE为正三角形，∴EO⊥BC，且EO=，
∵面EBC⊥面ABCD，且面EBC面ABCD=BC,EO面EBC ∴EO⊥面ABCD, ………3分
∵FD⊥平面ABCD，且FD=，∴FDEO， ∴四边形EODF是平行四边形，∴EF∥DO，………5分
∵EF⊄平面ABCD，OD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．………6分
（2）解：∵∠CBA=60°，∴OA⊥OB，以O为原点，OB为x轴，OA为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，，0），B（1，0，0），E（0，0，），
F（﹣2，，），=（﹣2，0，），=（﹣1，0，），
=（﹣3，）， ……8分
设平面BEF的法向量为S，
则，取x=，得=（，2，1），………10分
设直线AF与平面BEF所成角为θ，则sinθ===．
∴直线AF与平面BEF所成角的正弦值为．…12分
19.解：（1）若三瓶口味均不一样，有
若其中两瓶口味不一样，有，若三瓶口味一样，有8种，
所以小王共有56+56+8=120种选择方式. ………4分
（2）可能的取值为0,1,2,3 ……5分
由于各种口味的高级口香糖均不超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味，所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率为
故随机变量服从二项分布，即 ……7分
，
， ……9分
所以的分布列为
0
1
2
3
………10分
期数学期望 ……11分
方差 ………12分
20. 解：（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），故（1，0）为椭圆的右焦点，
设椭圆方程为=1（a＞b＞0），则，
∴a=2，b=，∴椭圆C的标准方程为+=1．………4分
（2）线段MN的垂直平分线方程为：y=﹣（x﹣），
设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程组，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，………6分
∴△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即m2＜4k2+3．
由根与系数的关系可得：x1+x2=﹣，∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=， 8分
设线段MN的中点为P，则P（﹣，），
代入y=﹣（x﹣）得：4k2+8km+3=0，即m=﹣（4k2+3）， ………10分
∴＜4k2+3，即k2＞，解得k＜﹣或k＞．
∴k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）． ………12分
21. 解：（1）的定义域为，．
当时，，在上为单调递增函数，无最大值，
不合题意，舍去； ………2分
当时，令，得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
,,． ………5分
（2）由（1）可知，,．
，,在上单调递增．
又，且,．
,当时，，单调递增,
要证，即，只要证，即．
，,
所以只要证（*）, ……9分
设（其中）,
,
在（0，1）上为增函数, ，故（*）式成立，从而．…12分
22. 解：（1）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），
∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7．
∵曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，
得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，化简，得ρ=2cosθ． ………5分
（2）依题意设A（），B（），
∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，
将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，
解得ρ1=3，同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，
∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣． ………10分
23. 解：（1）f（x）=|x+1|+|x﹣1|，
当x≤﹣1时，由f（x）=﹣2x＜4，得x＞﹣2，则﹣2＜x≤﹣1；
当﹣1＜x≤1时，f（x）=2＜4恒成立；
当x＞1时，由f（x）=2x＜4，得x＜2，则1＜x＜2．
综上，不等式f（x）＜4的解集为{x|﹣2＜x＜2}； ………5分
（2）由题意+=（+）（m+n）=2++≥4，
由绝对值不等式得f（x）=|x+a|+|x﹣1|≥|a+1|，
当且仅当（x+a）（x﹣1）≤0时取等号，故f（x）的最小值为|a+1|，
由题意得4≥|a+1|，解得：﹣5≤a≤3． ………10分
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