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由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 石景山区2018—2019学年第一学期高三期末试卷 数 学（理）‎ 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1.‎ 已知集合，，则＝‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎2.‎ 设是虚数单位，复数，则的共轭复数为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎3.‎ 是 否 开始 结束 输出n出fdnjfnnn 阅读右边的程序框图，运行相应的程 序，则输出的值为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎4.‎ 下列函数中为偶函数的是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎5.‎ 某四面体的三视图如图所示，该四面 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 体的体积为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎6.‎ 已知平面向量，则下列关系正确的是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎7.‎ 在中，，则的面积为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎8.‎ 已知函数则下列关于函数的零点个数的判断正确的是 A. 当时，有4个零点；当时，有1个零点 B. 当时，有3个零点；当时，有2个零点 C. 无论为何值，均有2个零点 D. 无论为何值，均有4个零点 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9.‎ 在的展开式中，的系数为____________．（用数字作答）‎ ‎10.‎ 设为等差数列的前项和，，则其通项公式______ ．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11.‎ 若变量满足约束条件，则的最小值等于______．‎ ‎12.‎ 写出“”的一个充分不必要条件__________________．‎ ‎13.‎ 已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段 的中点坐标为，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎14.‎ ‎2018年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于2019年全面施行．不过，为了 让老百姓尽早享受到减税红利，自2018年10月至2018年12月，先将工资所得税起征额由3500元/月提高至5000元/月，并按新的税率表（见附录）计算纳税．‎ 按照税法规定，小王2018年9月和10月税款计算情况分别如下:‎ 月份 ‎……‎ 纳税 所得额 起征额 应纳 税额 适用 税率 速算 扣除数 税款 税后 工资 ‎9‎ ‎……‎ ‎6000‎ ‎3500‎ ‎2500‎ ‎10%‎ ‎105‎ ‎145‎ ‎5855‎ ‎10‎ ‎……‎ ‎6000‎ ‎5000‎ ‎1000‎ ‎3%‎ ‎0‎ ‎30‎ ‎5970‎ ‎（相关计算公式为：应纳税额=纳税所得额–起征额，‎ 税款=应纳税额适用税率–速算扣除数，‎ 税后工资=纳税所得额–税款 ）‎ ‎（1）某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，那么他9月份的税款为___元；‎ ‎（2）某职工乙2018年10月税后工资为14660元，则他享受减税红利为____元．‎ 附录：‎ 原税率表（执行至2018年9月）‎ 新税率表（2018年10月起执行）‎ 应纳税额 税率 速算 扣除数 应纳税额 税率 速算 扣除数 不超过1500元 ‎3%‎ ‎0元 不超过3000元 ‎3%‎ ‎0元 ‎1500元至4500元 ‎10%‎ ‎105元 ‎3000元至12000元 ‎10%‎ ‎210元 ‎4500元至9000元 ‎20%‎ ‎555元 ‎12000元至25000元 ‎20%‎ ‎1410元 ‎9000元至35000元 ‎25%‎ ‎1005元 ‎25000元至35000元 ‎25%‎ ‎2660元 ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15. （本小题13分）‎ 函数的部分图象如图所示. ‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；‎ ‎（Ⅱ）设，求函数在区间上的最小值.‎ ‎16. （本小题13分）‎ 年月，某校高一年级新入学有名学生，其中名男生，名女生．学校计划为家远的高一新生提供间男生宿舍和间女生宿舍，每间宿舍可住2名同学．‎ 该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层抽样，其中共抽取40名男生家庭居住地与学校的距离数据（单位：）如下：‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎7.5‎ ‎8‎ ‎8.4‎ ‎4‎ ‎3.5‎ ‎4.5‎ ‎4.3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ ‎4‎ ‎1.6‎ ‎6‎ ‎6.5‎ ‎5.5‎ ‎5.7‎ ‎3.1‎ ‎5.2‎ ‎4.4‎ ‎5‎ ‎6.4‎ ‎3.5‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3.4‎ ‎6.9‎ ‎4.8‎ ‎5.6‎ ‎5‎ ‎5.6‎ ‎6.5‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎6.6‎ ‎（Ⅰ）根据以上样本数据推断，若男生甲家庭居住地与学校距离为，他是否能住宿？说明理由；‎ ‎（Ⅱ）通过计算得到男生样本数据平均值为，女生样本数据平均值为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，求所有样本数据的平均值；‎ ‎（Ⅲ）已知能够住宿的女生中有一对双胞胎，如果随机分配宿舍，求双胞胎姐妹被分到 同一宿舍的概率．‎ ‎17. （本小题14分）‎ 如图，在中，．可以通过以直线为轴旋转得到，且，动点在斜边上．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当为的中点时，求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）求与平面所成的角中最大角的正弦值．‎ ‎18. （本小题14分）‎ 已知抛物线经过点，其焦点为．为抛物线上除了原点外的任一点，过的直线与轴，轴分别交于．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程以及焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）若与的面积相等，求证：直线是抛物线的切线．‎ ‎19. （本小题13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，若有极小值，求实数的取值范围．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎20.（本小题13分）‎ 将1至这个自然数随机填入方格的个方格中，每个方格恰填一个数（）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．‎ ‎（Ⅰ）若，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；‎ ‎（Ⅱ）当时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为；‎ ‎（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 石景山区2018-2019学年第一学期高三期末 数学（理）试卷答案及评分参考 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D C B B A C D A 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． ‎ ‎9．； 10．； 11． ； ‎ ‎12．；（答案不唯一） 13. ； 14. ，．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）由图可得 ‎ ‎ ，所以. ‎ 当时，，可得， ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ . ‎ ‎. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当，即时，有最小值为. ‎ ‎16.（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）能住宿.‎ ‎ 因为200名男生中有10名男生能住宿，‎ 所以40名男生样本中有2名男生能住宿。 ‎ 样本数据中距离为8.4km和8km的男生可以住宿，距离为7.5km以下的男生不可以住宿，‎ 由于8.3 >8，所以男生甲能住宿。 ‎ ‎（Ⅱ）根据分层抽样的原则，抽取女生样本数为32人. ‎ 所有样本数据平均值为. ‎ ‎（Ⅲ）解法一：记住宿的双胞胎为，其他住宿女生为. ‎ ‎ 考虑的室友，共有七种情况，‎ ‎ 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为. ‎ ‎ 解法二：设“双胞胎姐妹被分到同一宿舍”为事件，‎ ‎ 则.‎ ‎ 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为. ‎ ‎17.（本小题14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：在中，，‎ ‎ ∵，且，‎ ‎ ∴ 平面， ‎ ‎ 又平面，‎ ‎ ∴平面平面． ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系， ‎ ‎ ∵为的中点，‎ ‎ ∴，，，，，‎ ‎ ∴，，，‎ 设为平面的法向量，‎ ‎∴即 ‎ 令，则，‎ ‎∴是平面的一个法向量， ‎ 设为平面的法向量，‎ ‎∴即 令，则，，‎ ‎∴是平面的一个法向量， ‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角的余弦值为． ‎ ‎（Ⅲ）解法一:∵平面，‎ ‎∴为与平面所成的角，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵，‎ ‎∴点到直线的距离最小时，的正弦值最大，‎ 即当时，的正弦值最大，‎ 此时，∴，‎ ‎∴．‎ 解法二：设，所以． ‎ ‎．‎ 平面的法向量，‎ 所以 ‎ 所以当时，与平面所成的角最大，． ‎ ‎18.（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）因为抛物线经过点，‎ 所以，．‎ 所以抛物线的方程为，焦点点坐标为． ‎ ‎（Ⅱ）因为与的面积相等，‎ 所以，所以为的中点． ‎ ‎ 设，则． ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 所以直线的方程为， ‎ ‎ 与抛物线联立得：‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 所以直线是抛物线的切线． ‎ ‎19.（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）当时，，. ‎ ‎ ， ‎ ‎ 所以在处的切线方程为. ‎ ‎ （Ⅱ）有极小值函数有左负右正的变号零点. ‎ ‎ ‎ 令，则 令，解得.‎ 的变化情况如下表：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 ‎ ‎ ① 若，即，则，所以不存在变号零点，不合题意. ‎ ② 若，即时，，.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以，使得；‎ 且当时，，当时，.‎ 所以当时，的变化情况如下表：‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 所以. ‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ 此填数法的“特征值”为.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 此填数法的“特征值”为.‎ ‎20.（本题13分）‎ 或 解：（Ⅰ） ‎ ‎…3分 ‎7‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎（前两问答案不唯一，请酌情给分）‎ ‎（Ⅲ）不妨设A为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为,‎ 考虑含n+1个元素的集合 ，‎ 易知其中必有至少两个数处于同一行，设为 也必有至少两个数处于同一列，设为.‎ ‎①若 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则有（因为）.‎ ‎②若，即，‎ 则， ．‎ 所以.‎ 即不论何种情况，总有. …13分 ‎【若有不同解法，请酌情给分】‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费