2018-2019学年莆田一中高三上学期期末理科数学考试2019-1-27
命题人：钱剑华 审核人：曾献峰
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若(为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 已知，，则 ( )
A. B. C. D.
3.下列叙述中正确的是( )
A.命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b都是奇数”
B.“方程表示椭圆”的充要条件是“”
C.命题“”的否定是“”
D. “m=2”是“：与： 平行”的充分条件
4．已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6＝( )
A．80 B．85 C．90 D．95
5.《九章算术》一书中，第九章“勾股”中有如下问题:今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何?其意思是,今有直角三角形，短的直角边长为8步，长的直角边长为15步，问该直角三角形能容纳圆的直径最大是多少？通过上述问题我们可以知道，当圆的直径最大时，该圆为直角三角形的内切圆，则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率为( )
A. B. C. D
6．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．8－ B．8－π
C．8－ D．8－
7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，若将f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为( )
A.，k∈Z B.，k∈Z
C.，k∈Z D.，k∈Z
8．函数f(x)＝的图象大致为( )
9．平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠BAD＝120°，P是平行四边形ABCD内一点，且AP＝1，若＝x＋y，则3x＋2y的最大值为( )
A．4 B．5 C．2 D．13
10．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为，若对于任意实数x，有f(x)＞，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)＜ex的解集为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，e4) D．(e4，＋∞)
11．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，－1) B. C. D．(－1,1)
12.抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝|AB|，则∠AFB的最大值为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.若，则目标函数的取值范围是 .
14. 的展开式中的系数为 .
15．2016年9月3日，二十国集团(G20)工商峰会在杭州开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，杭州市决定举办大型歌舞晚会．现从A、B、C、D、E 5名歌手中任选3人出席演唱活动，当3名歌手中有A和B时，A需排在B的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有 .
16．已知函数f(x)＝(3x＋1)ex＋1＋mx，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0，则实数m的取值范围是 .
三．解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. （本小题满分12分）在等比数列中，首项，数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，又设数列的前项和为，求证：.
18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面SAD⊥平面ABCD，P为AD的中点，SA＝SD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.
(1)求证：SP⊥AB； (2)求直线BS与平面SCD所成角的正弦值；
(3)设M为SC的中点，求二面角S—PB—M的余弦值．
19.（本小题满分12分）
某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.
(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1—50名和951—1000名的学生进行了调查，得到表格中的数据，试问：能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取9人，进一步调查他们良好的养眼习惯，并且在这9人中任抽取3人，记名次在1—50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.
20. (本小题满分12分)
已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，.（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点,是坐标原点，且时，求的取值范围.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln x－x＋，其中a＞0. (1)若f(x)在(2，＋∞)上存在极值点，求a的取值范围； (2)设x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，若f(x2)－f(x1)存在最大值，记为M(a)，则 当a≤e＋时，M(a)是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
22.选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)
已知曲线（为参数）和定点，、是此曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线的极坐标方程.
（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值．
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋m|(x∈R)． (1)当m＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；
(2)若不等式f(x)≤5的解集不是空集，求参数m的取值范围．
2018-2019学年莆田一中高三上学期期末理科数学考试答案
一． 选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
D
C
A
D
A
D
C
B
D
D
二． 填空题
13. 14. 320 15. 51 16.
三．解答题
17.解：（1）由和得，所以，
设等比数列的公比为q， ， ，
解得． ……6分
（2）由（1）得，证明为等差数列，,则，
，． ………12分
18． (1)证明：∵在△SAD中，SA＝SD，P为AD的中点，∴SP⊥AD，∵平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD.
∴SP⊥平面ABCD.(3分) ∵AB⊂平面ABCD，∴SP⊥AB.(4分)
(2)∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，P为AD的中点，∴BC∥PD，且BC＝PD.∴四边形BCDP为平行四边形．∵AD⊥DC，∴AD⊥PB.(6分) 由(1)可知SP⊥平面ABCD，故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系P—xyz
，如图．
则P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，S(0,0，)，C(－1，，0)，D(－1,0,0)．
∴＝(0，－，)，＝(0，－，0)，＝(－1,0，－)．
设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)，
∵n⊥，n⊥，∴令z＝1，则x＝－，y＝0，∴n＝(－，0,1)为平面SCD的一个法向量．(8分)
设直线BS与平面SCD所成角为α.
sinα＝|cos〈n，〉|＝＝＝，
∴直线BS与平面SCD所成角的正弦值为.(9分)
(3)∵AP⊥SP，AP⊥BP，SP∩BP＝P，∴AP⊥平面SPB.
即＝(1,0,0)为平面SPB的法向量．∵M为SC的中点．
∴点M的坐标为，而＝(0，，0)，＝.设平面MPB的法向量为m＝(x，y，z)．
∵m⊥，m⊥，∴
令z＝1，则x＝，y＝0，∴m＝(，0,1)，(11分)
∴cos〈m，〉＝＝＝.(12分)易知，二面角S—PB—M为锐角，∴二面角S—PB—M的余弦值为.(13分)
19.（本小题满分12分）
解：（1）由图可知，第一组3 人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，且它们的和为90，所以后四组的频数依次为27，24，21，18，所以视力在5.0以下的人数为3+7+27+24+21=82（或者100-18=82）人，全年级视力在5.0以下的人数约为
.
（2）
因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.
（3）依题意9人中年级名次在1—50名和951—1000名分别有3人和6人，X所有可能取值有0，1，2, 3.
X
0
1
2
3
P
X的分布列为
X的数学期望E(X)=
20.解：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以
所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，
，， ,故点的轨迹方程是
（2）设直线，
直线与圆相切
联立
所以
为所求.
21．解：(1) ，x∈(0，＋∞)．
由题意，得＝0在(2，＋∞)上有根(且不为重根)，即a＝x＋在x∈(2，＋∞)上有解．∵y＝x＋在(2，＋∞)上单调递增，∴x＋∈ . ∴当a＞时，f(x)在(2，＋∞)上存在极值点．∴a的取值范围是.(4分)
(2)当0＜a≤2时，易知≥0，∴在(0，＋∞)上满足≤0， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x2)－f(x1)不存在最大值，故a＞2. (5分)
易知当a＞2时，方程＝0有两个不相等的正实数根，设为m，n，且0＜m＜1＜n，此时，当0＜x＜m或x＞n时，＜0，当m＜x＜n时，＞0，∴f
(x)在(0，m)上单调递减，在(m，n)上单调递增，在(n，＋∞)上单调递减．
对∀x1∈(0,1)，有f(x1)≥f(m)，对∀x2∈(1，＋∞)，有f(x2)≤f(n)，∴[f(x2)－f(x1)]max＝f(n)－f(m)．(6分)
∴M(a)＝f(n)－f(m)＝－＝aln＋(m－n)＋，又a＝m＋n，mn＝1，
∴M(a)＝＋2＝2ln n＋2.(8分)
∵2＜a≤e＋，∴m＋n＝＋n≤e＋，n＞1.又y＝x＋在(1，＋∞)上单调递增，∴ n∈(1，e]．(9分)
设h(x)＝2ln x＋2，x∈(1，e]，则
＝2ln x＋2＋2＝2ln x，x∈(1，e]．
∴＞0，即h(x)在(1，e]上单调递增． ∴h(x)max＝h(e)＝2 ln e＋2＝. ∴M(a)存在最大值，最大值为. (12分)
22.解：（1）曲线C：可化为，其轨迹为椭圆，
焦点为和。经过和的直线方程为，即极坐标方程为.
（2）由（1）知，直线AF2的斜率为，因为⊥AF2，所以的斜率为，倾斜角为30°，所以的参数方程为（t为参数），
代入椭圆C的方程中，得．
因为M，N在点F1的两侧，所以
23．解：(1)当m＝1时，f(x)≥6等价于，或，或，(3分)
解得x≤－2或x≥4，
所以不等式f(x)≥6的解集为{x|x≤－2或x≥4}．(5分)
(2)解法一：化简f(x)得，当－m≤3时，
f(x)＝，(6分)
当－m＞3时，f(x)＝(7分)
根据题意得：，即－3≤m≤2，(8分)
或，即－8≤m＜－3，(9分)
∴参数m的取值范围为{m|－8≤m≤2}．(10分)
解法二：∵|x－3|＋|x＋m|≥|(x－3)－(x＋m)|＝|m＋3|，∴f(x)min＝|3＋m|，(7分)
∴|m＋3|≤5，(8分)
∴－8≤m≤2，∴参数m的取值范围为{m|－8≤m≤2}．(10分)
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