2019届高三模拟考试试卷
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
2019.1
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1. 已知集合A＝{1，3，5}，B＝{3，4}，则集合A∩B＝ Ｗ.
2. 复数z＝(i为虚数单位)的虚部是 Ｗ.
3. 某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在60～80分的学生人数是 Ｗ.
4. 连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为 Ｗ.
5. 已知3sin(α－π)＝cos α，则tan(π－α)的值是 Ｗ.
6. 如图所示的流程图中，若输入的a，b分别为4，3，则输出n的值为 Ｗ.
7. 在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为 Ｗ.
8. 曲线y＝x＋2ex在x＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 Ｗ.
9. 如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 Ｗ.
10. 在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－1＝0上的圆的标准方程为 Ｗ.
11. 设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝，则＝ Ｗ.
12. 设函数f(x)＝若方程f(x)－kx＝3有三个相异的实根，则实数k的取值范围是 Ｗ.
13. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则·的最小值是 Ｗ.
14. 设函数f(x)＝，若对任意x1∈(－∞，0)，总存在x2∈[2，＋∞)，使得f(x2)≤f(x1)，则实数a的取值范围是 Ｗ.
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点.求证：
(1) 平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2) C1F∥平面ABE.
16. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知2bccos A＝2c－a.
(1) 求角B的大小；
(2) 设函数f(x)＝cos x·sin(x＋－)，求f(A)的最大值.
17. (本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为的椭圆E的左顶点为A，点A到右准线的距离为6.
(1) 求椭圆E的标准方程；
(2) 过点A且斜率为的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于点M，求点M的坐标.
18. (本小题满分16分)
如图，长途车站P与地铁站O的距离为 千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量，l1，l2的夹角为45°，OP与l1的夹角θ满足tan θ＝(其中00，且>0，所以k1，
此时y＝OA＋2OB＝2－＋，
y′＝＋＝.(12分)
当k10.
综上，要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点千米处.(16分)
(解法2)如图，作PM∥OA交OB于点M，交y轴于点Q，作PN∥OB交OA于点N，因为P(2，1)，所以OQ＝1.
因为∠BOQ＝45°，所以QM＝1，OM＝，
所以PM＝1，PN＝OM＝.
由PM∥OA，PN∥OB，得＝，＝，(8分)
所以＋＝＋＝1.(10分)
设总造价为S，则S＝n·OA＋2n·OB＝(OA＋2OB)·n，
设y＝OA＋2OB，要使S最小，只要y最小.
y＝OA＋2OB＝(OA＋2OB)(＋)＝5＋(＋)≥9，(14分)
当且仅当OA＝OB时取等号，此时OA＝3，OB＝.
答：要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点千米处.(16分)
19. 解：(1) 当a＝b＝1时，f(x)＝x3＋x2－4，f′(x)＝3x2＋2x.(2分)
令f′(x)>0，解得x>0或x0，h(x)单调递增.
当x>0时，h(x)的值域为R，
故不论取何值，方程＝＝－x有且仅有一个根；(8分)
当x0时，令g′(x)＝＝0，得x＝，
所以g(x)在(0，)上递增，在(，＋∞)上递减，
所以g(x)max＝g()＝ln－.
要使g(x)>0有解，首先要满足ln－>0，解得b
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