第五章 相交线与平行线
5．1 相交线
5.1.1 相交线
关键问答
①邻补角的特征是什么？
②对顶角的特征是什么？
③在两直线相交的图中，常用的求角的推理依据是什么？
1．①下列选项中，∠1与∠2是邻补角的是( )
图5－1－1
2．②下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
图5－1－2
3．③如图5－1－3，直线AB与CD相交于点O，∠AOC∶∠AOD＝1∶2.求∠BOD的
度数．
图5－1－3
命题点 1 邻补角的识别与计算 [热度：86%]
4．④如图5－1－4所示，∠1的邻补角是( )
图5－1－4
A．∠BOC B．∠BOE或∠AOF
C．∠AOF D．∠BOE或∠AOF或∠DOF＋∠BOC
易错警示
④邻补角是有一定位置关系和数量关系的两个角．
5．⑤下列说法正确的是( )
A．直角没有邻补角
B．互补的两个角一定是邻补角
第五章 相交线与平行线
5．1 相交线
5.1.1 相交线
关键问答
①邻补角的特征是什么？
②对顶角的特征是什么？
③在两直线相交的图中，常用的求角的推理依据是什么？
1．①下列选项中，∠1与∠2是邻补角的是( )
图5－1－1
2．②下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
图5－1－2
3．③如图5－1－3，直线AB与CD相交于点O，∠AOC∶∠AOD＝1∶2.求∠BOD的
度数．
图5－1－3
命题点 1 邻补角的识别与计算 [热度：86%]
4．④如图5－1－4所示，∠1的邻补角是( )
图5－1－4
A．∠BOC B．∠BOE或∠AOF
C．∠AOF D．∠BOE或∠AOF或∠DOF＋∠BOC
易错警示
④邻补角是有一定位置关系和数量关系的两个角．
5．⑤下列说法正确的是( )
A．直角没有邻补角
B．互补的两个角一定是邻补角
C．一个角的邻补角大于这个角
D．一个角的邻补角可能是锐角、钝角或直角
易错警示
⑤互为邻补角的两个角一定互补，而互补的两个角不一定是邻补角．
6．⑥若∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB比∠BOC大18°，则∠AOB的度数是( )
A．54° B．81°
C．99° D．162°
方法点拨
⑥本题可以通过列一元一次方程解决．
7.如图5－1－5，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝∠2，则∠2＝________°.
图5－1－5
命题点 2 对顶角的识别与计算 [热度：88%]
8.⑦如图5－1－6，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于( )
图5－1－6
A．90° B．150°
C．180° D．210°
解题突破
⑦本题利用“对顶角相等”把三个角的和转化成一个平角．
9．⑧如图5－1－7，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝3x°，∠BOC＝2x°＋40°，则∠BOC＝________°.
图5－1－7
易错警示
⑧解出x后，还需求2x＋40.
10．图5－1－8是一个对顶角量角器，用它测量角的原理是______________．
图5－1－8
命题点 3 邻补角与对顶角的综合 [热度：90%]
11.⑨如图5－1－9，直线AB，CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，∠BOC＝130°，
∠BOF＝140°，则∠EOF的度数为( )
图5－1－9
A．95° B．65°
C．50° D．40°
解题突破
⑨求∠EOF的度数可以转化成求两个角的和或差，再利用对顶角相等或邻补角互补进行求解.
12．如图5－1－10，∠AOC和∠BOC互为邻补角，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，则∠DOE＝________°.
图5－1－10
13.⑩如图5－1－11，直线AB，CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE.若∠AOC＝28°，则∠EOF＝__________°.
图5－1－11
模型建立
⑩互为邻补角的两个角的平分线的夹角是直角.
14．如图5－1－12，直线AB，CD相交于点O，∠EOB＝90°，OC平分∠AOF，∠AOF＝40°，求∠EOD的度数．
图5－1－12
15.⑪已知：如图5－1－13，直线AB，CD相交于点O，∠1＝40°，∠BOE与∠BOC互补，OM平分∠BOE，且∠CON∶∠NOM＝2∶3.求∠COM和∠NOE的度数．
图5－1－13
方法点拨
⑪求角时，常用到：
1．将未知角转化成两个已知角的和或差；
2．对顶角相等或邻补角互补；
3．等角(或同角)的余角(或补角)相等；
4．角平分线的性质；
5．有关比例问题常用方程解决.
16．图5－1－14是某墙角的示意图，为了测量底面内角∠ABC的大小，采用了在院外画线，测量后得到其大小的方法．请你设计两种测量方案．
图5－1－14
17.⑫观察图5－1－15中的图形，寻找对顶角(不含平角)：
(1)两条直线相交(如图①)，图中共有________对对顶角；
(2)三条直线相交于一点(如图②)，图中共有________对对顶角；
(3)四条直线相交于一点(如图③)，图中共有________对对顶角；
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可构成________对对顶角；
(5)若有2019条直线相交于一点，则可构成________对对顶角．
图5－1－15
解题突破
⑫本题可通过平移的方法，把n条直线相交于一点构成的对顶角问题转化为n条直线相交最多有多少个交点的问题(即n条直线两两相交)．因为每个交点处有两对对顶角，所以对顶角的对数是交点个数的2倍.
18.⑬两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”(如图5－1－16)．现在平面上有若干条直线，它们两两相交并且“夹角”只能是30°，60°或90°，问：平面上最多有多少条直线？当直线条数最多时，所有的“夹角”的和是多少？
图5－1－16
解题突破
⑬将若干条直线两两相交的图形先转化成若干条直线交于一点的图形，按“夹角”
定义看能画出多少条直线.
典题讲评与答案详析
1．D 2.C
3．解：由邻补角的性质，得∠AOC＋∠AOD＝180°.
由∠AOC∶∠AOD＝1∶2，得∠AOD＝2∠AOC，∠AOC＋2∠AOC＝180°，解得∠AOC＝60°.由对顶角相等，得∠BOD＝∠AOC＝60°.
4．B [解析]∠1是直线AB，EF相交于点O形成的角，所以它的邻补角与直线CD无关，即它的邻补角是∠BOE或∠AOF.
5．D [解析] 把直角的一边反向延长，可得这个直角的邻补角．互补的两个角不一定是邻补角，但邻补角一定互补．若一个角是锐角，则它的邻补角是钝角且大于这个锐角；若一个角是直角，则它的邻补角等于它本身；若一个角是钝角，则它的邻补角是锐角且小于这个钝角．
6．C [解析] 设∠AOB＝x°，则∠BOC＝180°－x°.又因为∠AOB比∠BOC大18°，所以∠AOB－∠BOC＝18°，即x°－(180°－x°)＝18°，解得x＝99.
7．140 [解析] 由题意，得∠2＋∠2＝180°，解得∠2＝140°.
8．C [解析] 由对顶角相等，可知∠1＋∠2＋∠3正好是一个平角的度数．
9．120 [解析] 由对顶角相等，可得2x＋40＝3x，解得x＝40，所以∠BOC＝120°.
10．对顶角相等
11．B [解析] 因为∠BOF＝140°，所以∠AOF＝180°－140°＝40°.
因为∠BOC＝130°，所以∠AOC＝50°.
因为OE是∠AOC的平分线，
所以∠AOE＝∠EOC＝25°，
所以∠EOF＝∠AOE＋∠AOF＝65°.
12．90 [解析] 因为OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，所以∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC.因为∠BOC＋∠AOC＝180°，所以∠COE＋∠COD＝(∠BOC＋∠AOC)＝90°.
13．62 [解析] 由∠AOE＋∠BOE＝180°，OF平分∠AOE，∠DOE＝∠BOD，可得∠DOF＝∠COF＝90°.又因为∠AOC＝28°，所以∠BOD＝∠DOE＝∠AOC＝28°，所以∠EOF＝∠AOF＝62°.
14．解：因为OC平分∠AOF，∠AOF＝40°，
所以∠AOC＝∠AOF＝20°，所以∠BOD＝90°.
因为∠EOB＝90°，所以∠EOD＝∠EOB－∠BOD＝70°.
15．解：如图，
因为∠1＝40°，所以∠6＝40°.
因为∠6＋∠BOC＝180°，∠BOE与∠BOC互补，
所以∠6＝∠BOE＝40°，
所以∠BOC＝140°，
所以∠COE＝100°.
因为OM平分∠BOE，所以∠2＝∠3＝20°，
所以∠COM＝120°.
因为∠CON∶∠NOM＝2∶3，
所以∠NOM＝120°×＝72°，
所以∠NOE＝72°－20°＝52°.
16．解：方案一：如图①所示，延长AB，量出∠CBD的度数．由邻补角的定义，可得∠ABC＝180°－∠CBD(也可延长CB)．
方案二：如图②所示，分别延长AB，CB，量出∠DBE的度数，由对顶角相等，可得∠ABC＝∠DBE.
17．(1)2 (2)6 (3)12 (4)n(n－1) (5)4074342
[解析] 图①中有两条直线，共有2对对顶角；图②中有三条直线，我们可以把直线通过平移，得到右图，三条直线相交最多有3个交点，故共有6对对顶角；以此类推，图③中有四条直线相交，最多有＝6(个)交点，故共有12对对顶角……n条直线相交，最多有个交点，故共有n(n－1)对对顶角．故若有2019条直线相交于一点，则可构成2019×2018＝4074342(对)对顶角．
18．解：因为“夹角”只能是30°，60°或90°，其均为30°的倍数，所以每画一条直线后，逆时针旋转30°画下一条直线，这样就能够保证每两条直线的“夹角”为30°的倍数，即为30°，60°或90°.
因为该平面上的直线两两相交，也就是说不会出现两条直线平行的情况，在画出6条直线时，直线旋转了5次，5×30°＝150°，若再画出第7条直线，则旋转6次，6×30°＝180°，这样第7条直线就与第1条直线平行或重合．如图：
所以平面上最多有六条直线．
第2条至第6条直线与第1条直线的“夹角”的和是30°＋60°＋90°＋60°＋30°＝270°，
第3条至第6条直线与第2条直线的“夹角”的和是270°－30°＝240°；
第4条至第6条直线与第3条直线的“夹角”的和是270°－30°－60°＝180°；
第5条和第6条直线与第4条直线的“夹角”的和是60°＋30°＝90°；
第6条直线与第5条直线的“夹角”的和是30°，则270°＋240°＋180°＋90°＋30°＝810°.
即当直线条数最多时，所有的“夹角”的和是810°.
【关键问答】
①(1)有公共顶点；(2)其中一边为公共边，另一边互为反向延长线；(3)两个邻补角的和为180°.
②(1)有公共顶点；(2)角的两边分别互为反向延长线；(3)对顶角相等．
③(1)互为邻补角的两个角的和为180°；(2)对顶角相等．
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