《解直角三角形》训练.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎《解直角三角形》基础训练 知识点1已知两边解直角三角形 ‎1.在Rt△ABC中，AB=4，AC=2，∠C=90°，则∠A的度数为( )‎ A.30° B.40° C.45° D.60°‎ ‎2.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C=90°，a=5，c=5，则∠B=____，b=____.‎ ‎3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=4，a=4，求这个三角形的其他元素.‎ 知识点2已知一边及一锐角解直角三角形 ‎4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是( )‎ A. B.4 C.8 D.4‎ ‎5.[2018河南信阳羊山中学期中]如图，三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )‎ A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.6.5‎ ‎6.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.求下列直角三角形中的未知量.‎ ‎(1)∠B=60°，c=25；‎ ‎(2)∠A=30°，b=.‎ 知识点3解直角三角形的综合运用 ‎7.[2018黑龙江哈尔滨香坊区期末]在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 sinA=，cosB=，AC=40，则△ABC的面积是( )‎ A.800 B.800 C.400 D.400‎ ‎8.如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的高，BC=14，AD=12，sinB=，则线段DC的长为( )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎9.如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD，B(0，)，∠BA0=60°，那么点C的坐标为____.‎ ‎10.在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=，∠A，∠B为锐角，求tanB的值.‎ ‎11.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E ‎(1)若∠A=60°，求BC的长；‎ 若sinA=，求AD的长.‎ ‎(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 参考答案 ‎1.C【解析】在Rt△ABC中，∵AB=4，AC=2，∠C=90°，∴cosA===，∴∠A=45°.故选C.‎ ‎2.45° 5【解析】因为sinA===，所以∠A=45°，所以∠B=90°－∠A=45°，所以∠B=∠A，所以b=a=5.‎ 归纳总结：(1)解直角三角形要注意每个三角形都有6个元素，即3个角和3条边.(2)解直角三角形时要注意发现已知和未知之间的联系，充分利用三角函数的定义来列式求值，正弦、余弦、正切三种函数都涉及两边一角，要正确选择，不能将它们弄混.(3)直角三角形中两锐角互余，三边之间满足勾股定理.‎ ‎3.【解析】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，b=4，a=4，∴tanA===，∴∠A=60°，∴∠B=90°－∠A=30°，∴c=2b=8.‎ 故c=8，∠A=60°，∠B=30°.‎ ‎4.D【解析】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，AB=8，∴BC=ABcosB=8×=4.故选D.‎ ‎5.D【解析】根据垂线段最短，可知AP的长不可能小于3.在三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP的长不可能大于6.故选D.‎ ‎6.【解析】(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴sinA==， ∵c=25，∴a=.‎ ‎∵cosA==，c=25，∴b=.‎ 综上a=， b=，∠A=30°.‎ ‎(2)∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在Rt△ABC中，cosA==，∵b=，∴c=2，∴a=c=1.‎ 综上，a=l，c=2，∠B=60°.‎ 名师点睛：解直角三角形的过程，就是把所有未知元素求出来的过程，不是只求单独的一条未知边或一个未知角.‎ ‎7.D【解析】∴sinA=，cosB=，∴∠A=∠B=30°，∴BC=AC.‎ 如图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD=AC=20，AD=20，∴AB=2AD=40，∴S△ABC=AB·CD=400.‎ 故选D.‎ ‎8.C【解析】∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC.在Rt△BDA中，∠BDA=90°，AD=12，sinB==，∴AB=15，∴BD===9，DC=BC－BD=14－9=5.故选C.‎ ‎9.(－， ＋1)【解析】过点C作CE⊥y轴于点E，则易证Rt△CEB≌Rt△BOA，∴CE=BO=，BE=AO==l，所以OE=OB＋BE=＋1因此点C的坐标为(－，＋1) .‎ ‎10.【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，则sinA==，∴CD=AC=4.‎ 在Rt△BCD，BC=5，CD=4，∴BD=3，∴tanB==.‎ ‎11.【解析】(1)∵∠A=60o，∠ABE=90°，∴∠E=30°.‎ 在Rt△ABE中，∵AB=6，tanA=，∴BE=AB·tanA=6×tan60°=6.‎ ‎∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∴CE===8，BC=BE－CE=6－8.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x，AE=5x，则AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得DE=，∴AD=AE－DE=lO－=.‎ 归纳总结：本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答.‎ ‎《解直角三角形》提升训练 ‎1.[2018陕西延安市实验中学课时作业]如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 EC=4，sinB=，则菱形ABCD的周长是( )‎ A.10 B.20 C.40 D.28‎ ‎2.[2018河南省第二实验中学课时作业]如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为( )‎ A.4 B.8 C.2 D.4‎ ‎3.[2017贵州安顺中考]如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙0于点B，OC平行于弦AD，0C=5，则AD的长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.[2017贵州铜仁中考]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E.设∠A=a，且tana=，则tan2a=____.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5.[2018河北邯郸二十三中课时作]如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是____.‎ ‎6.[2017上海中考]如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米.其中D是BC的中点，且AD⊥BC.‎ ‎(1)求sinB的值；‎ ‎(2)现需要加装支架DE，EF，点E在AB上，BE=2AE.且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长.‎ ‎7.[2018吉林九中课时作业]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点0，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC，若CD=3，BD=2，sin∠DBC=，求对角线AC的长.‎ ‎8.[2018广东深圳中学课时作业]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2，求CD的长和四边形ABCD的面积.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 参考答案 ‎1.C【解析】由sinB=，易知cosB=.∵在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，cosB===，∴BC=10，则菱形ABCD的周长为4BC=40.故选C.‎ ‎2.D【解析】∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠ABC=∠ADE=30°，∵AF⊥BC，∴∠AFB=90°.‎ 在Rt△AFB中，∵DF是斜边AB上的中线，∴AB=2DF=8，∵∠ABC=30°，∴BF=Abcos∠ABC=8×=4.故选D.‎ ‎3.B【解析】如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC.‎ ‎∵BC切⊙0于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC==，∴cos∠A= cos∠BOC=.‎ 又cos∠A=，AB=4，∴AD=.故选B.‎ ‎4.【解析】如图，连接BE，∵点D是AB的中点，ED⊥AB，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB=EA，∴∠EBA=∠A=a，∴∠BEC=2a.∴tana==，∴设DE=a，AD=3a，则AE=a，AB=6a.设BC=x，CE=y，则，∴BC=x=，CE=y=，∴tan2a==.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5.2【解析】过点D作DE⊥AB于点E，∵tan∠DBA==，∴BE=5DE.∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠A=45°，∴AE=DE，∴BE=5AE.∵AC=6，∴AB=6.∴AE＋BE=AE＋5AE=6，∴AE=.在等腰直角三角形ADE中，由勾股定理，得AD==2.‎ ‎6.【解析】(1)∵点D是BC的中点，∴BD=BC=9米.‎ ‎∵AD⊥BC，∴△ABD是直角三角形，∴AB===3 (米)，∴sinB===.‎ ‎(2)∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴，∴EF=AD=4米，BF=BD=6米，则DF=BD－BF=9－6=3(米).‎ 在Rt△DEF中，DE===5(米).‎ ‎7.【解析】如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠E=90°，∵sin∠DBC==，BD=2，∴DE=2.‎ 在Rt△CDE中，∵CD=3，DE=2，∴CE=CD2－DE2=1，‎ 在Rt△BDE中，∵BD=2，DE=2，∴BE==4，∴BC=3，BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，‎ ‎∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD.‎ 同理AD∥BC，∴四边形ABCD是菱形.‎ ‎∴AC⊥BD，A0=CO，BO=D0=，OC===，∴AC=2.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎8.【解析】如图，过点D作DH∥⊥AC于点H.‎ ‎∵∠CED=45°，DE=，∴EH=DEcos45°=×=1，∴DH=1.‎ 又∠DCE=30°，∴HC==，CD==2.‎ ‎∵∠AEB=∠CED=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=AE＋EH＋HC=2＋1＋=3＋.‎ ‎∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ADC=×2×(3＋)＋×1×(3＋)=.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费