江西省红色七校2019届高三第二次联考数学（理）试卷Word版含答案.doc

www.ks5u.com 江西省红色七校2019届高三第二次联考理科数学试题 ‎（分宜中学、会昌中学、莲花中学、南城一中、永新中学、瑞金一中、遂川中学）‎ 命题人：永新中学 文建华 莲花中学 徐 敏 ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则真子集的个数（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数在复平面内对应的点在第三象限,其中，为虚数单位，则实数取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数（CPI）数据折线图，（注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）‎ 下列说法错误的是（ ）‎ A 2018年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9%‎ B 2018年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨2.1%‎ C 2018年2月CPI环比上涨0.6%，同比上涨1.4%‎ D 2018年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点 ‎5．的展开式中，常数项为( )‎ A．－15 B．16 C．15 D．－16‎ ‎6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）‎ A B ‎ C D ‎ ‎7．函数的部分图像如图所示，则（ ）‎ A． B． C． D ‎ ‎8.有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是 A． B． C． D．‎ ‎9．已知点双曲线右焦点，直线与双曲C交于两点，且，则该双曲线的离心率为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1…….记作数列，若数列的前项和为，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.如图，单位正方体的对角面上存在一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于两点.则的面积最大值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知若有最小值，则实数的取值范围是 （ ）‎ A B C D ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知向量满足,且,则向量与的夹角为 .‎ ‎14.已知实数x，y满足，则的取值范围为_____．‎ ‎15.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．‎ ‎16.在中，角所对的边分别是，若，且，则的周长取值范围为__________________。‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知数列为等差数列，为的前项和，.数列为等比数列且.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）记，其前项和为，求证：.‎ ‎18.如图，多面体为正三棱柱沿平面切除部分所得，为的中点，且.‎ ‎(1)若为中点,求证；‎ ‎(2)若二面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某地区 2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：‎ 每分钟 跳绳个数 ‎[155，165）‎ ‎[165，175）‎ ‎[175，185）‎ ‎[185，+∞）‎ 得分 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；‎ ‎（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N（μ，σ2），用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差S2‎ ‎≈169（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：‎ ‎（ⅰ）预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）‎ ‎（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．‎ 附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974‎ ‎20.已知椭圆的离心率，且椭圆过点.‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）已知点为椭圆的下顶点，为椭圆上与不重合的两点，若直线与直线的斜率之和为，试判断是否存在定点，使得直线恒过点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）已知函数区间上的最小值为1，求实数的值.‎ 请考生在第22，23两题中任选一题做答.只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.‎ 选修4-4：极坐标与参数方程 ‎22.已知在极坐标系中，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线：与曲线交于两点，，求的值.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.‎ 江西省红色七校2019届高三第二次联考理科数学试题答案 一、选择题： ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B B C C B A D C A B A C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13 14 15 60 16 ‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.解析：（1）设公差为，则由得，解得所以……3‎ 设的公比， 所以，，…………………………….6‎ ‎（2）………………………………………………8‎ ‎，………………………………………11‎ 易知随着的增大而增大，所以…………………………………12‎ ‎18.解析：（1）取中点N，连接MN，则MN为的中位线 ‎ ………………………………………………2‎ ‎………………………………………………4‎ ‎ ………………………………………………6‎ ‎(2) 由可得二面角 平面角，二面角大小为可得………………………………………………8‎ 如图建立空间直角坐标系 ‎，,,‎ ‎ ‎ 设平面的法向量为 ‎…………………………………………10……‎ ‎………………………………………………11‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.………………………………………………12‎ ‎19．解析：（Ⅰ）两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分，‎ ‎ ………………3‎ ‎（Ⅱ）＝160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.1+210×0.08＝185（个）…………5‎ 又σ2≈169，σ＝13，所以正式测试时，μ＝195，σ＝13，∴μ﹣σ＝182．‎ ‎（ⅰ）∴P（ξ＞182）＝1﹣＝0.8413，∴0.8413×2000＝1682.6≈1683．（人） ………………7‎ ‎（ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，‎ 即ξ～B（3，0.5），∴P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，………………10‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.125‎ ‎0.375‎ ‎0.375‎ ‎0.125‎ E（ξ）＝3×0.5＝1.5 ………………（12分）‎ ‎20.解析：（I）∵椭圆的离心率，∴，即，‎ ‎∵点在椭圆上，∴，由解得，‎ ‎∴椭圆的标准方程为．………………………………………………4‎ ‎（II）由（I）知，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 代入得，，∴，即．设，则，………………………………………………6‎ ‎∵直线与直线的斜率之和为，‎ ‎∴ ，整理得，………………………………………………8‎ ‎∴直线的方程为，显然直线经过定点．‎ 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，‎ ‎∵直线与直线的斜率之和为，设，则，‎ ‎∴，解得，………………………………………………10‎ 此时直线的方程为，显然直线经过定点．‎ 综上，存在定点，使得直线恒过点．………………………………………………12‎ ‎21.解析（1），则函数在点处的切线方程为；……………4分 ‎(2)，，‎ 在区间上单调递增，在区间上单调递减，存在唯一的，使得，即 （*），……………7分 函数在上单调递增，，单调递减；，单调递增，，由（*）式得，……………9分 ‎，显然是方程的解，又是单调减函数，方程有且仅有唯一的解，把代入（*）式得，‎ ‎，，所求实数的值为. …………………………12分 解法2：，，‎ 在区间上单调递增，在区间上单调递减，存在唯一的，使得，即 （*），……………7分 函数在上单调递增，，单调递减；，单调递增，，由式得，‎ ‎=‎ ‎,‎ ‎（当且仅当时），由得,此时，把代入（*）也成立，‎ ‎∴实数的值为.…………………………12分 选修4-4：极坐标与参数方程 ‎22.解析：（1）因为直线：，故，‎ 即直线的直角坐标方程：；………………………………………………3‎ 因为曲线：，则曲线直角坐标方程：.…………………………………5‎ ‎（2）设直线参数方程为 将其带入曲线的直角坐标系方程得，‎ 设对应的参数分别为则………………………………………………8‎ ‎.………………………………………………10‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．解析：（1）时，不等式为，等价于 或或，………………………………3‎ 解得，或或，‎ ‎∴，‎ ‎∴不等式的解集是.………………………………………………5‎ ‎（2）由绝对值的三角不等式得，‎ ‎∵对于恒成立，………………………………………………7‎ ‎∴，解得或.‎ ‎∴实数的取值范围为．………………………………………………10‎