2017-2018学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设全集，集合， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题 ，则.故选B
2.若直线l与直线x+y+1=0垂直，则l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出直线x+y+1=0的斜率，利用两条直线的垂直关系，求出直线l的倾斜角α的值．
【详解】直线x+y+1=0的斜率为，
因为直线l与直线x+y+1=0垂直，
所以直线l的斜率为，
设l的倾斜角为为α，
则tanα=，
所以α=30°
故选：A．
【点睛】本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．
3.圆O1：（x-2）2+（y+3）2=4与圆O2：（x+1）2+（y-1）2=9的公切线有（ ）
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出两圆的圆心距为5，再分别求出两圆的半径，可知两圆外切，即可求出公切线的条数。
【详解】两圆O1：（x-2）2+（y+3）2=4与圆O2：（x+1）2+（y-1）2=9的圆心距为：
两个圆的半径和为：5，
∴两个圆外切．
公切线有3条．
故选：B．
【点睛】本题考查圆的公切线的条数，判断两个圆的位置关系是解题的关键。
4.在x轴、y轴上的截距分别是2，-3的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为
即
故选：B
5.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
对A:定义域为 ，函数为非奇非偶函数，排除A；
对B:为奇函数, 排除B；
对C:在上单调递减, 排除C；故选D
6.函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：因为，，，，，故有，所以函数的零点所在的一个区间是．故选D．
考点：零点存在性定理（函数零点的判定）．
7.若两平行直线与之间的距离是，则
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意首先求得m,n的值，然后求解m+n的值即可.
【详解】两直线平行则：，解得：，
则两直线方程为：，，
由平行线之间距离公式有：，
解得：或(不合题意，舍去)
据此可知：.
本题选择C选项.
【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
8.若，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性可知，又由对数的性质可知，从而得到答案。
【详解】因为，
而，
所以a，b，c大小关系为b＞a＞c．
故选：D．
【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.已知f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），若f（3）•g（3）＜0，那么f（x）与g（x
）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由指数函数和对数函数的单调性知，f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），在（0，+∞）上单调性相同，再由关系式f（3）•g（3）＜0即可选出答案．
【详解】由指数函数和对数函数的单调性知，
f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），在（0，+∞）上单调性相同，可排除B、D，再由关系式f（3）•g（3）＜0可排除A.
故选：C．
【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，考查识图能力．
10.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】
结合空间中的线面关系，对4个选项逐个讨论，即可得出结论．
【详解】A．，，利用线面垂直的性质定理即可得出，因此正确；
B．由于，，则α与β平行或相交，不正确；
C．由于，，则m与n平行或相交或为异面直线，因此不正确；
D．由于，，则m与β相交或者平行或者m⊂β，因此不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了空间位置关系、线面垂直与平行的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是
A. 与是异面直线
B. 平面
C. AE，为异面直线，且
D. 平面
【答案】C
【解析】
试题分析：A不正确，因为与在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面；C正确，因为AE，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为所在的平面与平面AB1E相交，且与交线有公共点，故∥平面不正确；故选C．
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
12.已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用分段函数的定义作出函数f（x）的图象，然后可令f（a）=f（b）=f（c）=k则可得a，b，c即为函数y=f（x）与y=k的交点的横坐标，根据图象可得出a，b，c的范围同时a，b还满足-log2a=log2b，即可得答案．
【详解】根据已知画出函数f（x）的图象（如下图）：
不妨设a＜b＜c，
∵f（a）=f（b）=f（c），
∴-log2a=log2b=-c2+4c-3，
∴log2（ab）=0，
解得ab=1，2＜c＜3，
∴2＜abc＜3．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用分段函数的图象结合数形结合的思想求方程根的积得取值范围，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：要使函数的解析式有意义，自变量须满足：，解得，且，故函数的定义域是，故答案为：.
考点：函数的定义域及其求法.
【思路点晴】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围，高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域.
14.两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．
【答案】
【解析】
试题分析：设两球半径分别为，由可得，所以．即两球的表面积之比为．
考点：球的表面积，体积公式．
15.设函数f（x）=，（a∈R），若f（f（4））=1，则a=______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用分段函数，由里及外，逐步求解即可．
【详解】函数f（x）=，（a∈R），若f（f（4））=1，
可得f（4）=log24=2，
f（f（4））=1，即f（2）=1，可得a•22=1，
解得a．
故答案为：．
【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
16.若圆锥的侧面展开图是半径为、圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为______．
【答案】
【解析】
∵圆锥侧面展开图的半径为5，
∴圆锥的母线长为5．
设圆锥的底面半径为r，
则 ，解得r=3，
∴圆锥的高为4．
∴圆锥的体积 .
点睛：旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．
（1）求图中阴影部分表示的集合C；
（2）若非空集合D={x|4-a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．
【答案】（1）{x|1≤x≤2}（2）{a|2＜a≤3}
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分析可得C=A∩（∁UB），进而由补集的定义求出∁UB，再由交集的定义可得A∩（∁UB），即可得出答案；（2）根据题意，先求出集合A∪B，结合集合子集的定义可得，解出的范围，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，分析可得：C=A∩（∁UB），
B={x|2＜x＜4}，则∁UB={x|x≤2或x≥4}，而A={x|1≤x≤3}，
则C=A∩（∁UB）={x|1≤x≤2}；
（2）集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．则A∪B={x|1≤x＜4}，
若非空集合D={x|4-a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），
则有，解可得2＜a≤3，
即实数a的取值范围是{a|2＜a≤3}．
【点睛】本题考查集合间包含关系的运用，涉及venn图表示集合的关系，（2）中注意D为非空集合．
18.已知直线l经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P．
（Ⅰ）求过点O、P的直线的倾斜角；
（Ⅱ）若直线l与经过点A（8，-6），B（2，2）的直线平行，求直线l的方程．
【答案】（I）（II）4x+3y+2=0
【解析】
【分析】
（I）联立，解得P坐标．设过点O、P的直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．则tanθ=kOP．
（II）kl=kAB，利用点斜式即可得出直线l的方程．
【详解】（I）联立，解得，可得P（-2，2）．
设过点O、P的直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．
∴kOP==-1=tanθ．
解得θ=．
（II）kl=kAB==-，
∴直线l的方程为：y-2=（x+2），化为：4x+3y+2=0．
【点睛】本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系、直线交点、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为CC1，A1B1的中点，CA=CB1，BA=BB1．
（Ⅰ）求证：直线MN∥平面CAB1；
（Ⅱ）求证：平面A1BC⊥平面CAB1．
【答案】（I）详见解析（II）详见解析
【解析】
【分析】
（I）取AA1中点D，连结MD，ND，则MD∥AC，ND∥AB1，从而平面MND∥平面CAB1，由此能证明直线MN∥平面CAB1．
（Ⅱ）连结CO，推导出CO⊥AB1，A1B⊥AB1，从而AB1⊥平面A1BC，由此能证明平面A1BC⊥平面CAB1．
【详解】证明：（I）取AA1中点D，连结MD，ND，
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为CC1，A1B1的中点，CA=CB1，BA=BB1．
∴MD∥AC，ND∥AB1，
∵MD∩ND=D，AC∩AB1=A，
∴平面MND∥平面CAB1，
∵MN⊂平面MND，∴直线MN∥平面CAB1．
（II）连结CO，∵M，N分别为CC1，A1B1的中点，CA=CB1，BA=BB1．
∴CO⊥AB1，A1B⊥AB1，
∵CO∩A1B=O，∴AB1⊥平面A1BC，
∵AB1⊂平面CAB1，
∴平面A1BC⊥平面CAB1．
【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．
20.已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点，且圆心M在x+y-2=0上．
（1）求圆M的方程；
（2）设点P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆M的两条切线，A,B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）2．
【解析】
试题分析：（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；
（2）四边形PAMB的面积为S＝2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．
试题解析：
(1) 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根据题意得
解得a＝b＝1，r＝2.
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2) 由题知，四边形PA′MB′的面积为S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.
又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，
所以S＝2|PA′|.
而|PA′|＝.
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝，
所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2＝2＝2.
21.已知函数（x≠0）．
（1）当m=2时，判断在（-∞，0）的单调性，并用定义证明；
（2）讨论零点的个数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）先判断函数是单调递减的，然后根据函数单调性的定义证明即可；（2）由f（x）=0可得x|x|-2x+m=0（x≠0），则m=-x|x|+2x（x≠0），数形结合并讨论m的范围，即可判断函数的零点个数．
【详解】（1）当m=2时，且＜0时，是单调递减的．
证明：设x1＜x2＜0，则===，
又x1＜x2＜0，所以x2-x1＞0，x1x2＞0，
所以，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故当m=2时，在（-∞，0）上单调递减．
（2）由f（x）=0可得x|x|-2x+m=0（x≠0），
则m=-x|x|+2x（x≠0），
令
结合函数的图象知，
当m＞1或m＜-1时，f（x）有1个零点．
当m=1或m=0或m=-1时，f（x）有2个零点；
当0＜m＜1或-1＜m＜0时，f（x）有3个零点．
【点睛】本题考查了函数的单调性的证明，考查函数的零点问题以及分类讨论思想，是一道中档题．
22. 某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：
时间
第4天
第32天
第60天
第90天
价格（千元）
23
30
22
7
（1）写出价格关于时间的函数关系式；（表示投放市场的第天）；
（2）销售量与时间的函数关系：
，则该产品投放市场第几天销售额最高？最高为多少千元？
【答案】（1）；（2）第天和第天，最高销售额为（千元）.
【解析】
试题分析：（1）直线上升或直线下降都是直线方程，利用直线方程两点式求出两段函数的解析式；（2）价格乘以销售量等于销售额，销售额是二次函数，利用二次函数的对称轴求出最大值.
试题解析：
（1）由题意，设
同样设
(2)
设该产品的日销售额为
此时当
此时
综上，销售额最高在第10天和第11天，最高销售额为808.5（千元）
考点：函数应用问题.
【方法点晴】对函数应用问题的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现.对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数.应用问题首要问题是阅读问题，将实际问题转化为函数问题来求最优解.
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