高三理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本道题计算集合A的范围,结合集合交集运算性质,即可.
【详解】,所以,故选D.
【点睛】本道题考查了集合交集运算性质,难度较小.
2.已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题结合奇函数满足,计算结果,即可.
【详解】,故选C.
【点睛】本道题考查了奇函数的性质,难度较小.
3.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题化简式子,计算出,结合,即可.
【详解】,得到,所以
,故选C.
【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.
4.双曲线：，当变化时，以下说法正确的是（ ）
A. 焦点坐标不变 B. 顶点坐标不变 C. 渐近线不变 D. 离心率不变
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题结合双曲线的基本性质，即可。
【详解】当由正数变成复数,则焦点由x轴转入y轴，故A错误。顶点坐标和离心率都会随改变而变，故B,D错误。该双曲线渐近线方程为，不会随改变而改变，故选C。
【点睛】本道题考查了双曲线基本性质，可通过代入特殊值计算，即可。难度中等。
5.若实数，满足，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合不等式，绘制可行域，平移目标函数，计算最值，即可。
【详解】结合不等式组，建立可行域，如图
图中围成的封闭三角形即为可行域，将转化成从虚线处平移，要计算z的最大值，即可计算该直线截距最小值，当该直线平移到A(-1,-1)点时候，z最小，计算出
z=1,故选B。
【点睛】本道题考查了线性规划计算最优解问题，难度中等。
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
主视图 左视图
俯视图
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。
【详解】结合三视图，还原直观图，得到是一个四棱柱去掉了一个角，如图
该几何体体积，故选C.
【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度较大。
7.若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合左加右减，得到新函数解析式，结合正弦函数的性质，计算单调区间，即可。
【详解】结合左加右减原则单调增区间满足
，故选A。
【点睛】本道题考查了正弦函数平移及其性质，难度中等。
8.已知函数,则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将的解析式代入不等式，计算x的范围，即可。
【详解】当，满足条件，解不等式，解得
解得，所以解集为，故选D。
【点睛】本道题考查了对数函数不等式计算方法，难度中等。
9.四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用，，，四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线围城的各区域上分别标有数字，，，的四色地图符合四色定理，区域和区域标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为
的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令B为1，结合古典概型计算公式，得到概率值，即可。
【详解】A,B只能有一个可能为1，题目求最大，令B为1，则总数有30个，1号有10个，则概率为，故选C。
【点睛】本道题考查了古典概型计算公式，难度较小。
10.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可。
【详解】结合题意，绘制图像
要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为，所以斜率为，故选A。
【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等。
11.由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T19522-2010）》于2011年7月1日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表示的函数模型，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：，）
驾驶行为类型
阀值
饮酒后驾车
，
醉酒后驾车
车辆驾车人员血液酒精含量阀值
喝1瓶啤酒的情况
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本道题结合题意,建立不等式,即可.
【详解】当酒精含量低于20时才可以开车,故结合分段函数建立不等式,
,解得,取整数,故为6个小时,故选B.
【点睛】本道题考查了函数不等式的建立与解法,较容易.
12.已知偶函数的定义域为，且满足，当时，，.
①方程有个不等实根；
②方程只有个实根；
③当时，方程有个不等实根；
④存在使.
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】
本道题一个一个分析，结合换元思想和二次函数单调性，即可。
【详解】1号得到:.令,代入原式,得到或
,解得两个方程各有一个根,故正确;2号建立方程,解得
,所以为偶函数,而,,故不
止一个实根,故错误.3号解得x=2，0,-2.-4,…..而令，故的范围
为，因而，一共有七个根，故正确。4选项
当，，而当，根本就不存在这样的点，故错误。
【点睛】本道题考查了二次函数的性质和偶函数的性质，难度较大。
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设向量，，若，则实数__________．
【答案】
【解析】
【分析】
结合向量垂直满足数量积为0，计算的值，即可。
【详解】因而，则
【点睛】本道题考查了向量垂直的坐标表示，难度较小。
14.二项式的展开式中，的系数为__________．（用数字填写答案）
【答案】
【解析】
【分析】
本道题利用二项式系数,代入,计算,即可.
【详解】利用二项式系数公式,故的系数为
,所以为
【点睛】本道题考查了二项式系数公式,难度较小.
15.已知圆台的上、下底面都是球的截面，若圆台的高为，上、下底面的半径分别为，，则球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。
【详解】设球半径为R，球心O到上表面距离为x，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式，解得，所以半径
因而表面积
【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。
16.锐角的内角，，的对边分别为，，.若，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本道题结合余弦定理处理,结合锐角这一条件,计算出角A的大小,化简
,计算范围,即可.
【详解】运用余弦定理,,代入,得到
,结合正弦定理,可得
所以,而,所以,
而,解得,所以
,而
所以
【点睛】本道题考查了余弦定理和三角值化简,难度较大.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列的前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)利用,计算通项,即可.(2)将数列通项代入,利用裂项相消法,即可.
【详解】解：（1）因为，，成等差数列，
所以，
当时，，所以，
当时，，，
两式相减得，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（2）
，
所以 ，
所以
.
【点睛】本道题考查了等比数列通项计算方法以及裂项相消法,难度中等.
18.如图，正方形所在平面与等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)分别证明BD垂直DE和AD,结合直线与平面垂直判定,即可.(2)建立坐标系,分别计算两个平面的法向量,结合向量数量积公式,即可.
【详解】证明：（1）因为平面平面，平面平面，
，所以平面，
所以.
在中，，，
由余弦定理可得，所以，
所以，即，
又因为平面，平面，，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）因为四边形是等腰梯形，，
又由（1）知，所以，所以.
以为坐标原点，分别以，，所在直线作为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，
设，则，可得，，
由，，可得，，
由此可得，，，
设平面的法向量为，则，
可得，
令，则，，所以，
由（1）知，，，所以是平面的一个法向量.
.
所以所求锐二面角的余弦值为.
【点睛】本道题考查了直线与平面垂直判定和二面角计算方法,难度中等.
19.已知椭圆： 的左、右焦点分别为，，椭圆的长轴长与焦距之比为，过的直线与交于，两点.
（1）当的斜率为时，求的面积；
（2）当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时，求直线的方程.
【答案】（1）12（2）
【解析】
【分析】
（1）结合椭圆性质，得到椭圆方程，联解直线与椭圆方程，结合，计算面积，即可。（2）设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用，建立关于k，m的式子，计算最值，即可。
【详解】解：（1）依题意，因，又，得，
所以椭圆的方程为，
设、，当时，直线：
将直线与椭圆方程联立，
消去得，，解得，，，
所以 .
（2）设直线的斜率为，由题意可知，
由，消去得，
恒成立，，
设线段的中点，
设线段的中点，
则，，
设线段的垂直平分线与轴的交点为，则，得.
，
整理得：， ，等号成立时.
故当截距最小为时，，此时直线的方程为.
【点睛】本道题注意考查了直线与椭圆位置关系等综合性问题，难度较大。
20.某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：
分组
频数
频率
合计
（1）求，；
（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于或小于为不合格，钢管内径尺寸在或为合格，钢管内径尺寸在为优等.钢管的检测费用为元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布.
（i）若从这批钢管中随机抽取根，求内径尺寸为优等钢管根数的分布列和数学期望；
（ii）已知这批钢管共有根，若有两种销售方案：
第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以元/根售出；
第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失元，合格等级的钢管元/根，优等钢管元/根.
请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由.
【答案】（1）,（2）（i）分布列见解析，期望为0.9（ii）当时，按第一种方案，
时，第一、二种方案均可， 时，按第二种方案.
【解析】
【分析】
（1）结合列联表和频率直方图运用，计算b、a值，即可。（2）（i）分别计算X=0,1,2,3对应的概率，列出分布列，计算期望，即可。（ii）分别计算每种方案对应的利润，然后相减，计算出m的范围，即可。
【详解】（1）由题意知：，
所以 ，
所以.
（2）（i）由（1）知，钢管内径尺寸为优等的概率为，所有可能的取值为，，，，
，
，
，
，
故的分布列为
（ii）按第一种方案： ，
按第二种方案： ，
，
若时，，则按第一种方案，
若时，，则第一、第二方案均可，
若时，，则按第二种方案，
故当时，按第一种方案，
时，第一、二种方案均可，
时，按第二种方案.
【点睛】本道题考查了离散型随机变量分布列，难度中等。
21.已知，.
（1）若，判断函数在的单调性；
（2）证明： ，；
（3）设 ，对，，有恒成立，求的最小值.
【答案】（1）在单调递增（2）见解析（3）2
【解析】
【分析】
(1)计算导函数,结合导函数与原函数单调性关系,即可.(2)利用,得到
,采用裂项相消法,求和,即可.(3)计算导函数,构造新函数,判断最小值,构造函数,计算范围,得到k的最小值，即可。
【详解】解：（1）.
又，因此，而，
所以，故在单调递增.
（2）由（1）可知时，，
即，
设，则
因此
即
.
即结论成立.
（3）由题意知，
，
设，
则，
由于，故，
时，单调递增，又，，
因此在存在唯一零点，使，即，
且当，，，单调递减；
，，，单调递增；
故 ，
故
，
设
，又设
故在上单调递增，因此，
即，在单调递增，
，
又，
所以，
故所求的最小值为.
【点睛】本道题考查了导数与原函数单调性关系，以及裂项相消法，利用导函数研究最值，难度较大。
22.已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以轴的非负半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线和 分别与曲线相交于、两点（，两点异于坐标原点）.
（1）求曲线的普通方程与、两点的极坐标；
（2）求直线的极坐标方程及的面积.
【答案】（1），.（2）
【解析】
【分析】
（1）消参，即可得到曲线C的普通方程，结合，，得到曲线C的极坐标方程，计算A,B坐标，即可。（2）结合，，即可得到直线AB的极坐标方程，分别计算OA,OB的长，结合三角形面积计算公式，即可。
【详解】解：（1）曲线的参数方程为（为参数），
所以消去参数得曲线的普通方程为，
因为，，
代入曲线可得的极坐标方程：.
将直线，代入圆的极坐标方程可知:，，
故、两点的极坐标为，.
（2）由，得：，，根据两点式可知直线的方程为：，
所以的极坐标方程为：.
所以的极坐标方程为.
可知直线恰好经过圆的圆心，故为直角三角形，且，，
故.
【点睛】本道题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程互相转化，难度中等。
23.设函数 .
（1）证明：；
（2）若不等式的解集为，求实数的值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)利用,同时结合基本不等式,即可.(2)针对a取不同范围讨论，去绝对值，即可。
【详解】（1）证明：
，
所以.
（2）由可得，
当时，，，
这与矛盾，故不成立，
当时，，，
又不等式的解集为，
所以， 故.
【点睛】本道题考查了基本不等式以及不等式证明，难度偏难。
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