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成都外国语学校18-19下高2016级高三入学考试试题
数学（理工类）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则A∩B的元素有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知复数 (为虚数单位)，则的虚部为( )
A．－1 B．0 C．1 D．i
3.已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的方程为( )
A. B. ,C. D.
4．函数有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
A． B． C. D．
5.已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是( )
A． B． C． D．
6．某几何体的正视图和侧视图如图①所示，它的俯视图的直观图是 ，如图②所示，其中，则该几何体的表面积为( )
A． B．
C． D．
7．已知圆和两点．
若圆上存在点，使得 ，则的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
8.如果执行右边框图，，则输出的数与输入的的关系是（ ）
A. B.
C. D.
9．如图所示，已知点是的重心，过点
作直线与两边分别交于两点，且，则的值为( )
A．3 B. C．2 D.
10.已知函数，其在区间上单调递增，则的取值范围为( )
A． B． C． D.
11． 如图，抛物线的一条弦经过焦点，取线段的中点，延长至点，使 ，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为( )．
A． B． C． D.
12. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.
13．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．
14、若 ，则________.
15.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为
16.中，角，，所对边分别为，，.是边的中点，且，，，则面积为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知数列的前项和为，且，，成等差数列，．
（l）求数列的通项公式；
（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．
18.如图，点是菱形所在平面外一点，平面，，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
19.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（1,2，…，6），如表所示：
试销单价（元）
4
5
6
7
8
9
产品销量（件）
84
83
80
75
68
已知．
（Ⅰ）求出的值；
（Ⅱ）已知变量，具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价
（元）的线性回归方程；
（Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值．当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望．
（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为,)
20. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线与椭圆交于A,B两点，在平面上是否存在定点P，使得当直线PA与直线PB的斜率均存在时，斜率之和是与无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21. （本小题满分12分）设函数，其中a∈R．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得
试判断与的大小关系并给出证明．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（），且曲线与直线有且仅有一个公共点．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设、为曲线上的两点，且，求的最大值．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数的最大值（）．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若（，），试比较与的大小．
成都外国语学校高2016级高三下入学考试答案
数学（理工类）
第Ⅰ卷
一、选择题
1-5 BCAAA 6-10 CBABC 11-12 DA
二、填空题：
13、37 14、 15、 16、
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．【解析】（1）因为，，成等差数列，所以，①·····2分
所以．②
①－②，得，所以．·····4分
又当时，，所以，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即．·····6分
（2）根据（1）求解知，，，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．·····7分
又因为，，，，，，，，
，，，·····9分
所以
．·····12分
18.（Ⅰ）证明：取中点，连交于，连，．
在菱形中，，
∵平面，平面，∴，
又，，平面，∴平面，
∵，分别是，的中点，∴，，
又，，∴，，
∴四边形是平行四边形，则，∴平面，
又平面，∴平面平面．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得平面，则，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，则即
取，得，，∴，
设是平面的一个法向量，
同理得，．
∴，
∴二面角的余弦值为．
19.解：（Ⅰ），可求得．
（Ⅱ），
，
所以所求的线性回归方程为．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的线性回归方程可得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当
时，．
与销售数据对比可知满足（1,2，…，6）的共有3个“好数据”：、、．
于是的所有可能取值为，，，．
；；；，
∴的分布列为：
0
1
2
3
于是．
20. 解：(1) 设椭圆的半焦距为c，则，且．由解得．……2分
依题意，，于是椭圆的方程为．……………………………4分
(2)设，设，与椭圆方程联立得
则有………………………………………6分
直线PA,PB的斜率之和
………9分
当时斜率的和恒为0，解得…………………………………11分
综上所述，所有满足条件的定点P的坐标为或．………………12分
21. 解：（1）函数f(x)的导函数…………2分
情形一 a⩽0．此时，于是f(x)在上单调递增；………………3分
情形二 a>0．此时f(x)在上单调递增，在上单调递减．……………4分
（2）函数f(x)存在极值，因此a>0．根据题意，有
………5分
而…………6分
故只需要比较与的大小．
令，则．当时，，故在(1,＋∞)上单调递增．因此，当时，．
于是，，即
．………………………………………………9分
于是…………………………………10分
又在上单调递减，因此进而．……
22.解：（Ⅰ）直线的普通方程是，
曲线的直角坐标方程是，
依题意直线与圆相切，则，解得或，
因为，所以．
（Ⅱ）如图，不妨设，，则，，
，
所以，即，时，最大值是．
23.解：（Ⅰ）由于
的最大值为，故.
（Ⅱ）∵，且，，
∴，
当且仅当，即，等号成立．
所以.
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