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2017-2018学年广西贵港市港南区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选、或多选均得零分）
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． x2﹣y＝3 B． xy＝5 C．8x﹣2x＝1 D．3x+2y＝4
2．多项式8x2n﹣4xn的公因式是（ ）
A．4xn B．2xn﹣1 C．4xn﹣1 D．2xn﹣1
3．化简（﹣3x2）•2x3的结果是（ ）
A．﹣6x5 B．﹣3x5 C．2x5 D．6x5
4．2101×0.5100的计算结果正确的是（ ）
A．1 B．2 C．0.5 D．10
5．若a2﹣b2＝，a﹣b＝，则a+b的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
6．下列运算中正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2
C．2a2•a3＝2a6 D．（2a+b）2＝4a2+b2
7．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（ ）
A．被8整除 B．被m整除
C．被（m﹣1）整除 D．被（2m﹣1）整除
8．若（x+1）（x+n）＝x2+mx﹣2，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
9．如果3a7xby+7和﹣7a2﹣4yb2x是同类项，则x，y的值是（ ）
A．x＝﹣3，y＝2 B．x＝2，y＝﹣3 C．x＝﹣2，y＝3 D．x＝3，y＝﹣2
10．若方程组的解x与y相等，则a的值等于（ ）
A．4 B．10 C．11 D．12
11．某班有36人参加义务植树劳动，他们分为植树和挑水两组，要求挑水人数是植树人数的2倍，设有x人挑水，y人植树，则下列方程组中正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
12．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算：103×104＝ ．
14．当a＝2时，代数式a2+2a+1的值为 ．
15．把多项式9a3﹣ab2因式分解的结果是 ．
16．已知a+＝2，求a2+＝ ．
17．已知|5x﹣y+9|与|3x+y﹣1|互为相反数，则x+y＝ ．
18．观察以下等式：32﹣12＝8，52﹣12＝24，72﹣12＝48，92﹣12＝80，…由以上规律可以得出第n个等式为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分）
19．（10分）分解因式：
（1）3x2﹣6x．
（2）（x2+16y2）2﹣64x2y2．
20．（5分）先化简，再求值：[（a+b）2﹣（a﹣b）2]•a，其中a＝﹣1，b＝3．
21．（7分）已知：a+b＝3，ab＝2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2；
（2）a2+b2．
22．（8分）解下列二元一次方程组：
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（1）
（2）
23．（8分）某市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3km，超过3km的部分每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了9km，付了14元．”乙说：“我乘这种出租车走了13千米，付了20元”．请你算出这种出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？
24．（8分）已知12+22+32+…+n2＝n（n+1）•（2n+1）（n为正整数）．
求22+42+62+…+502的值．
25．（10分）先阅读，再因式分解：
x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把下列多项式因式分解．
（1）x4+64
（2）x4+x2y2+y4
26．（10分）如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（t•km），铁路运价为1.2元/（t•km），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．
求：（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选、或多选均得零分）
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． x2﹣y＝3 B． xy＝5 C．8x﹣2x＝1 D．3x+2y＝4
【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程可得答案．
【解答】解：A、未知数的次数是2，错误；
B、不符合二元一次方程的条件，错误；
C、只有一个未知数，错误；
D、符合二元一次方程的条件，正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
2．多项式8x2n﹣4xn的公因式是（ ）
A．4xn B．2xn﹣1 C．4xn﹣1 D．2xn﹣1
【分析】本题考查公因式的定义．找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
【解答】解：8x2n﹣4xn＝4xn（2xn﹣1），
∴4xn是公因式．
故选：A．
【点评】本题考查公因式的定义，难度不大，要根据找公因式的要点进行．
3．化简（﹣3x2）•2x3的结果是（ ）
A．﹣6x5 B．﹣3x5 C．2x5 D．6x5
【分析】根据单项式的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质计算即可．
【解答】解：（﹣3x2）•2x3，
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＝﹣3×2x2•x3，
＝﹣6x2+3，
＝﹣6x5．
故选：A．
【点评】本题主要考查单项式的乘法法则，同底数的幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
4．2101×0.5100的计算结果正确的是（ ）
A．1 B．2 C．0.5 D．10
【分析】根据（ab）m＝am•bm得到2×（2×0.5）100，即可得到答案．
【解答】解：原式＝2×2100×0.5100＝2×（2×0.5）100＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的运算：（ab）m＝am•bm；am•an＝am+n；（am）n＝amn；a＞0，b＞0，m、n为正整数．
5．若a2﹣b2＝，a﹣b＝，则a+b的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】由a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）与a2﹣b2＝，a﹣b＝，即可得（a+b）＝，继而求得a+b的值．
【解答】解：∵a2﹣b2＝，a﹣b＝，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（a+b）＝，
∴a+b＝．
故选：B．
【点评】此题考查了平方差公式的应用．此题比较简单，注意掌握公式变形与整体思想的应用．
6．下列运算中正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2
C．2a2•a3＝2a6 D．（2a+b）2＝4a2+b2
【分析】分别根据合并同类项、平方差公式、同底数幂的乘法及完全平方公式进行逐一计算即可．
【解答】解：A、错误，应该为3a+2a＝5a；
B、（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，正确；
C、错误，应该为2a2•a3＝2a5；
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D、错误，应该为（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．
故选：B．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知以下概念：
（1）同类项：所含字母相同，并且所含字母指数也相同的项叫同类项；
（2）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；
（3）平方差公式：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．
（4）完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，叫做完全平方公式．
7．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（ ）
A．被8整除 B．被m整除
C．被（m﹣1）整除 D．被（2m﹣1）整除
【分析】将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除．
【解答】解：（4m+5）2﹣9＝（4m+5）2﹣32，
＝（4m+8）（4m+2），
＝8（m+2）（2m+1），
∵m是整数，而（m+2）和（2m+1）都是随着m的变化而变化的数，
∴该多项式肯定能被8整除．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的应用，难度一般．
8．若（x+1）（x+n）＝x2+mx﹣2，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可．
【解答】解：∵（x+1）（x+n）＝x2+（1+n）x+n＝x2+mx﹣2，
∴1+n＝m，n＝﹣2，
解得：m＝1﹣2＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据对应项系数相等列式是求解的关键，明白乘法运算和分解因式是互逆运算．
9．如果3a7xby+7和﹣7a2﹣4yb2x是同类项，则x，y的值是（ ）
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A．x＝﹣3，y＝2 B．x＝2，y＝﹣3 C．x＝﹣2，y＝3 D．x＝3，y＝﹣2
【分析】本题根据同类项的定义，即相同字母的指数相同，可以列出方程组，然后求出方程组的解即可．
【解答】解：由同类项的定义，得
，
解这个方程组，得
．
故选：B．
【点评】根据同类项的定义列出方程组，是解本题的关键．
10．若方程组的解x与y相等，则a的值等于（ ）
A．4 B．10 C．11 D．12
【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出a的数值．
【解答】解：根据题意得：，
把（3）代入（1）解得：x＝y＝，
代入（2）得： a+（a﹣1）＝3，
解得：a＝11．
故选：C．
【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
11．某班有36人参加义务植树劳动，他们分为植树和挑水两组，要求挑水人数是植树人数的2倍，设有x人挑水，y人植树，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据此题的等量关系：①共36人；②挑水人数是植树人数的2倍列出方程解答即可．
【解答】解：设有x人挑水，y人植树，可得：，
故选：C．
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【点评】此题考查方程组的应用问题，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
12．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
【分析】根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．
【解答】解：大正方形的面积＝（a﹣b）2，
还可以表示为a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
故选：B．
【点评】正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算：103×104＝ 107 ．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：103×104＝107．
故答案为：107．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
14．当a＝2时，代数式a2+2a+1的值为 9 ．
【分析】把a的值代入原式计算即可求出值．
【解答】解：当a＝2时，原式＝4+4+1＝9，
故答案为：9
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．把多项式9a3﹣ab2因式分解的结果是 a（3a+b）（3a﹣b） ．
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【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（9a2﹣b2）＝a（3a+b）（3a﹣b），
故答案为：a（3a+b）（3a﹣b）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．已知a+＝2，求a2+＝ 2 ．
【分析】根据完全平方公式把已知条件两边平方，然后整理即可．
【解答】解：∵（a+）2＝a2+2+＝4，
∴a2+＝4﹣2＝2．
【点评】本题主要考查完全平方公式，根据题目特点，利用乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键．
17．已知|5x﹣y+9|与|3x+y﹣1|互为相反数，则x+y＝ 3 ．
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出x+y的值．
【解答】解：根据题意得：|5x﹣y+9|+|3x+y﹣1|＝0，
可得，
①+②得：8x＝﹣8，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①得：y＝4，
则x+y＝﹣1+4＝3，
故答案为：3
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．观察以下等式：32﹣12＝8，52﹣12＝24，72﹣12＝48，92﹣12＝80，…由以上规律可以得出第n个等式为 （2n+1）2﹣12＝4n（n+1） ．
【分析】通过观察可发现两个连续奇数的平方差是4的倍数，第n个等式为：（2n+1）2﹣12＝4n（n+1）．
【解答】解：通过观察可发现两个连续奇数的平方差是4的倍数，
第n个等式为：（2n+1）2﹣12＝4n（n+1）．
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故答案为：（2n+1）2﹣12＝4n（n+1）．
【点评】此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分）
19．（10分）分解因式：
（1）3x2﹣6x．
（2）（x2+16y2）2﹣64x2y2．
【分析】（1）直接提取公因式3x，进而分解因式得出答案；
（2）直接利用平方差公式以及结合完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）3x2﹣6x＝3x（x﹣2）；
（2）（x2+16y2）2﹣64x2y2
＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）
＝（x+4y）2（x﹣4y）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
20．（5分）先化简，再求值：[（a+b）2﹣（a﹣b）2]•a，其中a＝﹣1，b＝3．
【分析】根据完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：[（a+b）2﹣（a﹣b）2]•a
＝（a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2）•a
＝4a2b，
当a＝﹣1，b＝3时，原式＝4×（﹣1）2×3＝12．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
21．（7分）已知：a+b＝3，ab＝2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2；
（2）a2+b2．
【分析】（1）把代数式提取公因式ab后把a+b＝3，ab＝2整体代入求解；
（2）利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解．
【解答】解：（1）a2b+ab2＝ab（a+b）＝2×3＝6；
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（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
＝32﹣2×2，
＝5．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，关键是将原式整理成已知条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将a+b＝3，ab＝2整体代入解答．
22．（8分）解下列二元一次方程组：
（1）
（2）
【分析】各方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）①+②得：3x＝15，
解得：x＝5，
把x＝5代入①得：y＝1，
则方程组的解为；
（2）①×3+②×2得：11x＝11，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
23．（8分）某市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3km，超过3km的部分每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了9km，付了14元．”乙说：“我乘这种出租车走了13千米，付了20元”．请你算出这种出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？
【分析】设这种出租车的起步价是x元，超过3km后，每千米的车费是y元，根据“乘坐这种出租车走了9km，付了14元；乘坐这种出租车走了13千米，付了20元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设这种出租车的起步价是x元，超过3km后，每千米的车费是y元，
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根据题意得：，
解得：．
答：这种出租车的起步价是5元，超过3km后，每千米的车费是1.5元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24．（8分）已知12+22+32+…+n2＝n（n+1）•（2n+1）（n为正整数）．
求22+42+62+…+502的值．
【分析】先找出规律22＝（2×1）2＝22×12，42＝（2×2）2＝22×22，62＝（2×3）2＝22×32，…，502＝（2×25）2＝22×252，进而22+42+62+…+502＝22×（12+22+32+…+252即可得出结论．
【解答】解：∵22＝（2×1）2＝22×12，
42＝（2×2）2＝22×22，
62＝（2×3）2＝22×32，
…，
502＝（2×25）2＝22×252，
∴22+42+62+…+502＝22×12+22×22+22×32+…+22×252＝22×（12+22+32+…+252）＝4××25×26×51＝22100．
【点评】此题主要考查了数字的变化类，公式的应用，将22+42+62+…+502转化成22×（12+22+32+…+252是解本题的关键．
25．（10分）先阅读，再因式分解：
x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把下列多项式因式分解．
（1）x4+64
（2）x4+x2y2+y4
【分析】（1）代数式加16x2再减去，先用完全平方公式再用平方差公式因式分解；
（2）代数式加上x2y2，先用完全平方公式再用平方差公式因式分解．
【解答】解：（1）原式＝x4+16x2+64﹣16x2
＝（x2+8）2﹣16x2
＝（x2+8+4x）（x2+8﹣4x）；
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（2）原式＝x4+2x2y2+y4﹣x2y2
＝（x2+y2）2﹣x2y2
＝（x2+y2+xy）（x2+y2﹣xy）
【点评】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解决本题的关键是看懂题目给出的例子．
26．（10分）如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（t•km），铁路运价为1.2元/（t•km），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．
求：（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
【分析】（1）设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，根据共支出公路运输费15000元、铁路运输费97200元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据利润＝销售收入﹣成本﹣运费，即可求出结论．
【解答】解：（1）设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，
根据题意得：，
解得：．
答：工厂从A地购买了400吨原料，制成运往B地的产品300吨．
（2）300×8000﹣400×1000﹣15000﹣97200＝1887800（元）．
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据利润＝销售收入﹣成本﹣运费，列式计算．
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