（理科数学解答题）2019年泉州市普通高中毕业班质量检查（3月）试题及答案解析.pdf

市质检数学（理科）试题答题分析 第 1 页（共 17 页） 准考证号________________ 姓名________________ （在此卷上答题无效） 保密★启用前 泉州市 2019 届普通高中毕业班第一次质量检查 理 科 数 学 本试卷共 23 题，满分 150 分，共 5 页．考试用时 120 分钟． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（ 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足 12nnS a a，且 1a ， 2S ， 2 成等差数列． （1）求 na 的通项公式； （2）若 22 lognnba ，数列 nb 的前 n 项和为 nT ，比较 nS 与 nT 的大小． 【命题意图】本小题主要考查数列的递推关系、等比数列的定义、等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和等基础知识，考查运算求解、逻辑推理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等， 体现基础性和综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注． 【试题简析】（1）法一：因为 12nnS a a ① 所以 1 1 12nnS a a ② ·································································· 1 分 由②-①，可得 11n n na a a   即 1 1 2 n n a a   ， ·············································· 2 分 所以 na 是公比为 1 2 的等比数列， ································· 2 分（这步跳过不扣分） 又 1a ， 2S ， 2 成等差数列，所以 2122Sa，······························ （概念分）3 分 即 1 1 1 1222a a a   ，解得 1 1a  ， ························································ 4 分 故数列 na 的通项公式 1 1 2n na  ． ··························································· 6 分 法二： ， ， 成等差数列，所以 ， ······································ 1 分 市质检数学（理科）试题答题分析 第 2 页（共 17 页） 即 1 1 1 1222a a a   ，解得 1 1a  ， ························································ 2 分 由 12nnS a a，得 12 2 ( 2)nnS S n   ， ················································· 3 分 进而求得 12(1 ( ) )2 n nS  , ········································································· 5 分 再由 （或由 ），求得 1 1 2n na  . ···························· 6 分 法三（参考给分意见）：求得 ， ··························································· 2 分 再求 2 1 2a  ， 3 1 4a  ， ······························································································· 3 分 所以数列 na 的通项公式 ． ··································· （归纳猜想分）4 分 再进行证明，可再得 2 分. （2）因为  221 12 log 2 log 2 1 12nn nb a n n         ， ············ （对数运算分）7 分 所以    2 1 3 22n n n n nT   ， ········································· （求和公式分）9 分 又 1 1 1222nnnS a a     ， ········································································ 10 分 因为 *nN ，所以 2nT  ， 2nS  ， ···························································· 11 分 因此 nnTS ． ··························································································· 12 分 18．（ 12 分） 如图，四棱锥 A BCDE 中，BE 平面 ABC ，BE CD∥ ， 2AB AC BC CD BE    ，F 为 AD 的中点． （1）证明： EF  平面 ACD ； （2）求二面角 A DE C的余弦值． 市质检数学（理科）试题答题分析 第 3 页（共 17 页） 【命题意图】本题考查线面垂直的定义及判定、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识；考查空 间想象能力、推理论证及运算求解能力；考查数形结合 思想、化归与转化思想、函数与方程思想等；体现基础 性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、 数学运算、直观想象等核心素养的关注． 【试题简析】 解法一： （1）如图，取 AB 的中点为O ，连结CO ， 因为 ABC△ 为正三角形，所以CO AB ， ····························································· 1 分 取 AE 中点G ，连结OG ，则OG BE∥ ， 已知 BE 平面 ABC ，所以OG  平面 ， ························································ 2 分 ,CO AB  平面 ，所以 ,OG CO OG AB， ·················································· 3 分 以 为坐标原点， ,,OA OG OC 的方向分别为 ,,x y z 轴的正方向建系， 设 22AB AC BC CD BE     ， 则 (1,0,0), ( 1,0,0), (0,0, 3), (0,2, 3), ( 1,1,0),A B C D E 由 1 2AF AD 得 13( ,1, )22F ，所以 33( ,0, )22EF  ， ················································ 4 分 ( 1,2, 3)AD  ， (0,2,0)CD  ， 0, 0EF AD EF CD    ，又CD AD D （相交未写暂不扣分）， ···························· 5 分 所以 EF  平面 ACD ． ··························································································· 6 分 （2）（用（1）的方法的，此处补给建系分 1 分） ··································································· 7 分 在（1）的基础上，计算可得 0, 0CF AD CF EF    ， 市质检数学（理科）试题答题分析 第 4 页（共 17 页） 所以CF 为平面 ADE 的一个法向量， ········································································· 9 分 设平面CDE 的法向量为 =( , , )x y zm ，则 0 0 CD ED    m m ， 20 30 y x y z     ，令 1x  ， 得 3=(1,0, )3m 为平面 的一个法向量， ······················································ 11 分 110 622cos , 442 3 CF      m ， 所以二面角 A DE C的余弦值为 6 4 ． ···························································· 12 分 解法二： （1）取 AC 的中点为 H ，连结 ,BH FH ， 在 Rt ACD△ 中，中位线 HF CD∥ ，且 1 2HF CD ， 由已知 BE CD∥ ，且 1 2BE CD ， 所以， //HF BE ，且 HF BE ，即 EFHB 为平行四边形，故 EF BH∥ . ······················ 1 分 因为 ABC△ 为正三角形，所以 BH AC ,故 EF AC . ············································· 2 分 由 BE 平面 ABC ，得 AB ， BE BC ， ······················································ 3 分 所以 ABE 为直角三角形，且四边形 EBCD 为直角梯形， 设 22AB AC BC CD BE     ， 计算得 5AE ED，所以 EF AD ， ······························································· 4 分 又由于 AC AD A ， ························································································ 5 分 所以 EF  平面 ACD ． ························································································ 6 分 市质检数学（理科）试题答题分析 第 5 页（共 17 页） （2）如图，取 AB 的中点为O ，连结CO ， 因为 ABC△ 为正三角形，所以CO AB ， 已知 BE 平面 ABC ，CO  平面 ，所以 BE CO ， AB BE B ，所以CO  平面 ABE ， 取 AE 中点G ，连结OG ，则OG BE∥ ，所以OG CO ， 以 为坐标原点， ,,OA OG OC 的方向分别为 ,,x y z 轴的正方向建系， ··························· 7 分 则 (1,0,0), ( 1,0,0), (0,0, 3), (0,2, 3), ( 1,1,0),A B C D E 由 1 2AF AD ，得 13( ,1, )22F ， 0, 0CF AD CF EF    ， 所以CF 为平面 ADE 的一个法向量（也可用几何法证CF AD ，CF EF ）， ············ 9 分 设平面CDE 的法向量为 =( , , )x y zm ，则 0 0 CD ED    m m ， 20 30 y x y z     ，令 1x  ， 得 3=(1,0, )3m 为平面CDE 的一个法向量， ························································· 11 分 110 622cos , 442 3 CF      m ， 所以二面角 A DE C的余弦值为 6 4 ．··································································· 12 分 解法三：（1）设 22AB AC BC CD BE     ， 由 BE 平面 ABC ，得 AB ， BE BC ， ·········································· 1 分 所以 ABE 为直角三角形，且四边形 EBCD 为直角梯形， 市质检数学（理科）试题答题分析 第 6 页（共 17 页） 计算得 5AE ED，所以 EF AD ， ··················································· 2 分 在△ AED 中， ，所以 3EF  ， 在直角梯形 EBCD 中计算得 5CE  ， 在△ ACD 中，计算得 2CF  ， 根据勾股定理证得 EF CF ，··································································· 4 分 又由于CF AD F ， ············································································ 5 分 所以 EF  平面 ACD ． ············································································ 6 分 （2）同解法一、二． 19．（ 12 分） 平面直角坐标系 xOy 中， ,AF分别是椭圆 22 22: 1( 0)xyE a bab    的顶点和焦点， OAF△ 为等腰 三角形， (2,1)P 在 E 上． （1）求 E 的方程； （2）若直线 :l y x m 与 交于 ,AB两点，直线 ,PA PB 分别与 x 轴交于 ,CD两点，证明： PCD△ 是等腰三角形． 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解、逻辑 推理能力；考查数形结合思想、转化化归思想；导向对数学运算、直观想象、逻辑推理素养 的关注． 【试题简析】 解法 1：（ 1）由题意，可知点 A 为椭圆的短轴端点， 故 OAF△ 为等腰直角三角形且 90AOF， ··················································· 1 分 所以bc ，……① ····················································································· 2 分 因为 在 上，所以 22 411ab， ……②················································· 3 分 又 2 2 2a b c，……③ ··············································································· 4 分 由①②③，可得 6, 3ab， 故所求椭圆的方程为 22 163 xy． ································································ 5 分 市质检数学（理科）试题答题分析 第 7 页（共 17 页） （2）不妨设 (0, 3)A .因为 A 在直线 y x m 上，所以 3m  ， ······························ 6 分 由 22 3, 1,63 yx xy    消去 y ，得 23 4 3 0xx， ···················································· 7 分 解得 0x  或 43 3x  ， 故 4 3 3(0, 3), ( , )33AB， ········································································ 8 分 直线 ,PA PB 的斜率 1 1 1 1 13 22 yk x   ， ························································ 9 分 2 3 1 3 1 3 13 24 3 4 2 323 k      ， ···························································· 10 分 故 120kk， ··························································································· 11 分 所以 PCD PDC   ， 故 PCD△ 是等腰三角形． ········································································· 12 分 解法 2：（ 1）同解法 1； ·································································································· 5 分 （2）不妨设 .因为 在直线 上，所以 ， ······························ 6 分 由 消去 ，得 ， ······················································ 7 分 从而 1 2 1 2 43,03x x x x    ， ····································································· 8 分 直线 的斜率 1 1 1 1 2 yk x   ， 2 2 2 1 2 yk x   ， ···················································· 9 分 则 1 2 2 1 1 2 12 1 2 1 2 1 1 ( 2)( 1) ( 2)( 1) 2 2 ( 2)( 2) y y x y x ykk x x x x              ， 2 1 1 2 12 ( 2)( 3 1) ( 2)( 3 1) ( 2)( 2) x x x x xx         ， 市质检数学（理科）试题答题分析 第 8 页（共 17 页） 1 2 1 2 12 2 ( 3 3)( ) 4( 3 1) ( 2)( 2) x x x x xx       ， 12 43( 3 3)( ) 4( 3 1)3 ( 2)( 2)xx       ， 12 (4 4)( 3 1) 0( 2)( 2)xx  ， ··································································· 11 分 所以 PCD PCD   ， 故 PCD△ 是等腰三角形． ··········································································· 12 分 解法 3：（ 1）同解法 1； ·································································································· 5 分 （2）不妨设 (0, 3)A .因为 A 在直线 y x m 上，所以 3m  ， ······························ 6 分 由 22 3, 1,63 yx xy    消去 y ，得 23 4 3 0xx， ···················································· 7 分 解得 0x  或 43 3x  ， 故 4 3 3(0, 3), ( , )33AB， ········································································ 8 分 直线 ,PA PB 的斜率 1 1 1 1 13 22 yk x   ， ·························································· 9 分 2 3 1 3 1 3 13 24 3 4 2 323 k      ， ····························································· 10 分 直线 PA 的方程为 13 32yx，令 0y  ，得 33x  ，即 (3 3,0)C  ， 直线直线 PB 的方程为 311 ( 2)2yx   ， 令 ，得 13x  ，即 (1 3,0)D  ， ···················································· 11 分 故 2 2 2(3 3 2) 1 (1 3) 1PC        ， 22(2 1 3) 1 (1 3) 1PC        ， 市质检数学（理科）试题答题分析 第 9 页（共 17 页） 所以 PC PD ， 故 PCD△ 是等腰三角形． ··········································································· 12 分 解法 4：（ 1）同解法 1； ·································································································· 5 分 （2）不妨设 (0, 3)A .因为 A 在直线 y x m 上，所以 3m  ， ······························ 6 分 由 22 3, 1,63 yx xy    消去 y ，得 23 4 3 0xx， ···················································· 7 分 解得 0x  或 43 3x  ， 故 4 3 3(0, 3), ( , )33AB， ········································································ 8 分 直线 ,PA PB 的斜率 1 1 1 1 13 22 yk x   ， ·························································· 9 分 2 3 1 3 1 3 13 24 3 4 2 323 k      ， ····························································· 10 分 直线 PA 的方程为 13 32yx，令 0y  ，得 33x  ，即 (3 3,0)C  ， 直线直线 PB 的方程为 311 ( 2)2yx   ， 令 ，得 13x  ，即 (1 3,0)D  ， ···················································· 11 分 故 22 CD P xx x  ，即 P 在线段CD 的垂直平分线上， 所以 ， 故 是等腰三角形． ··········································································· 12 分 20．（ 12 分） 法国数学家亨利·庞加莱(JulesHenri Poincaré)是个每天都会吃面包的人，他经常光顾同一家面包店，面 包师声称卖给庞加莱的面包平均重量是 1000g，上下浮动 50g．在庞加莱眼中，这用数学语言来表达就是： 面包的重量服从期望为 1000g，标准差为 50g 的正态分布． 市质检数学（理科）试题答题分析 第 10 页（共 17 页） （1）假如面包师没有撒谎，现庞加莱从该面包店任意买 2 个面包，求其质量均不少于 1000g 的概率； （2）出于兴趣或一个偶然的念头，庞加莱每天将买来的面包称重，前 25 个数据纪录如下： 庞加莱 25 个面包质量()X 的统计数据（单位：g） 983 972 966 992 1010 1008 954 952 969 968 998 1001 1006 957 950 969 971 975 952 959 987 1011 1000 997 961 设从这 25 个面包中任取 2 个，其质量不少于1000g 的面包数记为 ，求 ()E  ； （3）庞加莱计算出这 25 个面包质量()X 的平均值 978.72X  g，标准差是 20.16g ，认定面包师在 制作过程中偷工减料，并果断举报给质检部门，质检员对面包师做了处罚，面包师也承认自己的错误，并 同意做出改正． 庞加莱在接下来的一段时间里每天都去这家面包店买面包，他又认真记录了 25 个面包的质量，并算 得它们的平均值为1002.6g ，标准差是5.08g ，于是庞加莱又一次将面包师举报了． 请你根据两次平均值和标准差的计算结果及其统计学意义，说说庞加莱又一次举报的理由． 【命题意图】本小题主要考查古典概型、分布列、期望、方差等基础知识，考查数据处理能力、应用意识 和创新意识等，考查统计与概率思想，导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分 析等核心素养的关注． 【试题简析】 （1）由已知可得庞加莱从该面包店购买任意一个面包，其质量不少于1000g 的概率为 1 2 ， ................ 1 分 设庞加莱从该面包店购买 2 个面包，其质量不少于1000g 的面包数为 ， 由已知可得 1~ (2, )2B ，（ 模型识别，符号表达与文字表达均可） .................................................. 2 分 故 2 2 2 11( 2) 24PC    ．（公式与计算，各 1 分） ........................................................................ 4 分 （2）25 个面包中，质量不少于1000g 的有 6 个，  的可能取值为0,1,2 ，............................................................................................................................ 5 分 2 19 2 25 171 57( 0) 300 100 CP C     ； .......................................................................................................... 6 分 11 6 19 2 25 114 19( 1) 300 50 CCP C     ； ...................................................................................................... 7 分 市质检数学（理科）试题答题分析 第 11 页（共 17 页） 2 6 2 25 15 1( 2) 300 20 CP C     ， ............................................................................................................ 8 分 所以 57 19 1 24( ) 0 1 2 0.48100 50 20 50E          ． ..................................................................... 10 分 （3）庞加莱经过仔细思考，认为标准差代表了面包重量的误差，可以理解成面包师手艺的精度，这个 数字在短时间内很难改变，那说明面包师取面的，这对面包师的手艺是个巨大的飞越，显然并不合理，庞 加莱断定只能是随机性出现了问题．也就是面包的来源不是随机的，而是人为设定的，最大的可能就是每 当庞加莱到来时，面包师从现有面包中挑选一个较大的给了庞加莱，而面包师的制作方式根本没有改变．面 包质量的平均值从978.72g 提高到了1002.6g 也充分说明了这一点． ..................................................... 12 分 评分说明： (1)立意解读：考查方差、标准差的统计学意义，它们在现实生活中如何被真实地应用，数学家庞加莱 给出了不错的借鉴；统计学虽然有着严谨的数学计算，但它并不是完美无缺的，所有的统计归根结底都是 一个概率问题，不是数学上 1+1=2 那么绝对，我们通过分析数据推断出的结论，永远不会是 100%正确的， 我们不可能通过数据得出完全确凿的真相，只能通过合理控制误差猜测和接近真相. （2）评分建议：指出关键词“标准差代表了面包重量的误差”，给 1 分；提到类似“短时间内误差由 20.16g 降低到了5.08g ，可能性不大”， 以“面包质量的平均值从 提高到了 ”佐证特意 挑选较大面包给庞加莱等，可再给 1 分。总之，语能达意，能体现统计学观点，即可酌情给分。 21．（ 12 分） 已知函数   21 ln2f x x bx a x   的极大值点是1． （1）求实数 a 的取值范围； （2）若    0 1f x f （ 0 1x  ）， 证明： 2 0a x a． 【命题意图】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、极值、不等式证明等问题，考查推理论 证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想，体现综 合性、应用性及创新性，导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养的关注． 【试题简析】 解法一： （1）函数  fx的定义域为函数 0x  ， 因为   af x x b x     ， ................................................................................................................. 1 分 市质检数学（理科）试题答题分析 第 12 页（共 17 页） 所以  1 1 0f a b     得， 1ba   ． .................................................................................... 2 分 此时，    21 1 ln2f x x a x a x    ，    1 af x x a x        1x x a x  ． （ⅰ）当 0a  时， 0xa． 所以若01x，   0fx  ，若 1x  ，   0fx  ， 故 1x  是  fx的极小值点，不满足题意； ....................................................................... 3 分 （ⅱ）当 0a  时，由   0fx  得： 1x  或 xa ． ①当 1a  时，   0fx  ，  fx在 0, 单调递增，不满足题意； .......................... 4 分 ②当01a时， 若 1ax，   0fx  ，若0 xa或 1x  ，   0fx  ， 故 1x  是  fx的极小值点，不满足题意； .................................................................. 5 分 ③当 1a  时， 若 01x或 xa ，   0fx  ，若1 xa，   0fx  ， 故 1x  是  fx的极大值点，满足题意. ....................................................................... 5 分 (注：①②③中正确回答的前两个各占 1 分，三个共得 2 分) 综上，可得 1a  ． ...................................................................................................................... 6 分 （2）由（1）知， 在区间 1, a 单调递减，在 ,a  单调递增． 又    0 1f x f （ 0 1x  ）， 所以 0xa ． ............................................................................ 7 分    2 0f a f x    2 1f a f ................................................................................................. 8 分 4 2 3112 ln22a a a a a a      32112ln 122a a a a a a       ． 令   32112ln 122h x x x x x x      （ 1x  ）， 则   2 2 3 2 11222h x x x xx       2 2 2 11( 1) ( ) 2( )22 xxxxx      市质检数学（理科）试题答题分析 第 13 页（共 17 页） 42 2 2 11( 1) 22 xxx xx     2 2 2 3 4 1( 1) 2 xxx x     2 2 1 3 1 1 02 x x x x    ． ............................................................................. 10 分 所以  hx在 1,  单调递增． 因此  ha 32112ln 122a a a a a       10h． 所以    2 0 0f a f x，即    2 0f a f x ． .................................................................. 11 分 因为  fx在 ,a  单调递增， 0xa ， 2aa ． 所以 2 0ax ． 综上， 2 0a x a． ......................................................................................................................... 12 分 解法二： （1）函数  fx的定义域为函数 0x  ， 因为   af x x b x     ， ................................................................................................................. 1 分 所以  1 1 0f a b     得， 1ba   ． .................................................................................... 2 分 此时，    21 1 ln2f x x a x a x    ，    1 af x x a x        1x x a x  ． （ⅰ）因为1是  fx的极大值点， 所以在 1x  左侧的附近（左邻域），  fx   1 0x x a x 恒成立， 即存在 (01]  ， ，使得对 (1 ,1]x  ， 恒成立， 即对 ， xa 恒成立， 即 a  (1 ,1] 内的 x 的最大值，所以 1a  . ...................................................................... 4 分 （ⅱ）因为 是 的极大值点， 市质检数学（理科）试题答题分析 第 14 页（共 17 页） 所以在 1x  右侧的附近（右邻域），  fx   1 0x x a x 恒成立， 即存在 0  ，使得对 (1,1 )x ，   1 0x x a x 恒成立， 即对 ， xa 恒成立， 由 ,1x a x，得 1a  . 由于（ⅰ）、（ⅱ）同时满足，所以 . ................................................................................. 5 分 当 时，对01x，   0fx  ，对1 xa，   0fx  ，对 xa ， ， 即  fx在(0,1) 递增，在(1, )a 递减，在( , )a  递增， 所以 存在唯一的极大值点 1x  ，符合题意. 综上，得 1a  ． ................................................................................................................................. 6 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 44 ：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 :l y kx 的倾斜角为 ，曲线 22:( 1) ( 1) 8C x y    ．以坐标原点为 极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求l 和C 的极坐标方程； （2）若 与C 交于 ,AB两点，求 AO BO 的取值范围． 【命题意图】本小题主要考查直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标极角的几何意义，直 线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想、 数形结合思想，体现基础性与综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素 养的关注． 【试题简析】 解法一：（1）直线 的极坐标方程为 ()  R ，（ 未注明   R ，扣 1 分） ····························· 2 分 将 cos , sinxy   代入 222 2 6 0x y x y     中，（两公式各 1 分） ············ 4 分 得到曲线 的极坐标方程为 2 2 cos 2 sin 6 0        ．（直写答案不扣中间分） 5 分 （2）设 1( , )A ， 2( , )B ，则 122cos 2sin      ， 12 6  ， ···················· 6 分 所以 1 2 1 2|| |-| ||=|| | | ||=| |OA OB    ，····························································· 7 分 市质检数学（理科）试题答题分析 第 15 页（共 17 页） =|2cos 2sin | 2 2 | sin( ) |4      , ········································ 8 分 因为0 ，则 5 4 4 4      ， 2 sin( ) 124     ， ···························· 9 分 所以0 || |-| || 2 2OA OB． ·········································································· 10 分 解法二：（1）同解法一； （2）直线l 的参数方程为 cos sin xt yt      （t 为参数， ）， ···································· 6 分 代入 222 2 6 0x y x y     中，得到 2 2 cos -2 sin 6 0t t t   ， 所以 1 2 1 2|| |-| ||=||t | | t ||= | t +t |OA OB  ， ······························································· 7 分 | 2cos +2sin | 2 2 | sin( ) |4      , ········································ 8 分 因为 ，则 ， ， ···························· 9 分 所以0 || | | || 2 2OA OB   ． ·········································································· 10 分 解法三：（1）同解法一； （2）设曲线C 的圆心 ，半径为 r . 考察图形易知，当直线 过 时，|| |-| ||OA OB 取到最大值， ···································· 6 分 max|| |-| ||) =(r+|OC|)-(r-|OC|)=2|OC|=2 2|OA OB（ . ················································ 7 分 当直线l OC 时， 取到最小值， ······················································· 8 分 min|| |-| ||) =0OA OB（ . ························································································· 9 分 所以 ． ········································································· 10 分 23．[选修 45 ：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) | 1| | 3|f x x x    ． （1）求 ( ) 3fx 的解集； （2）若关于 x 的不等式 2 36() mmfx m  的解集非空，求 m 的取值范围． 市质检数学（理科）试题答题分析 第 16 页（共 17 页） 【命题意图】本小题主要考查绝对值不等式的解法、不等式解集的概念、绝对值的意义等基础知识，考查 抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想，体现基础性与 综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注． 【试题简析】 解法一：（1） 4 2 , 1, ( ) 2, 1 3, 2 4, 3, xx f x x xx       ·············································································· 2 分 其图象如下图所示： 当 1x  时，由 4 2 3x，得 1 2x  ， ······························································· 3 分 当 3x  时，由 2 4 3x ，得 7 2x  ， ······························································ 4 分 所以不等式的解集为 17+22（-,）（ , ）．·························································· 5 分 注：不作图象，不扣分数. （2）关于 x 的不等式 2 36() mmfx m  的解集非空，等价于 2 min 36() mmfx m  ， ······ 6 分 由（ 1）得 min ( ) 2fx ，(或由| 1| | 3| | ( 1) ( 3) | 2x x x x        )（当13x时取等号） 所以原命题成立的等价条件为 2 362mm m  . ················································ 7 分 当 0m  时， 22 3 6m m m   ，解得 16mm  或 ，得 6m  ， ························ 8 分 当 0m  时， 22 3 6m m m   ，解得 16m   ，得 10m   ， ······················· 9 分 所以 m 的取值范围为   1,0 6,  ．···························································· 10 分 解法二：（2）考察 的图象，可知“关于 的不等式 的解集市质检数学（理科）试题答题分析 第 17 页（共 17 页） 非空”等价于“ 2 362mm m  ”. ··································································· 7 分 下同解法一.