题型五 几何图形探究题
专题二 解答重难点题型突破类型一 几何图形静态探究(2017.22，2015.22)
【例1】(2016·河南)(1)发现：如图①，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，
AB＝b.
填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为
________？(用含a，b的式子表示)；
(2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，如图②所示，分别以
AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展：如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的
坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM
＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【分析】(1)点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值；(2)①根
据已知等边△ABD，BE、CD所在△CAD和△EAB中含等边三角形的两
边，进而考虑证△CAD≌△EAB进行求解；②根据①中CD＝BE，由点A
为动点BC外动点，转化为(1)中情形求解；(3)要求AM的最大值，由点P
为AB外一动点，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN
，得到与AM相等的线段BN，进而将问题转化为“线段外一动点N，求NB
的最大值”，结合(1)中结论即可求解．确定AM最大时点P位置，通过等
腰直角三角形的性质即可求点P的坐标．②∵BE＝CD，
由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在线段CB的延长线上，
∴最大值为BD＋BC＝AB＋BC＝4；
∴BE长最大为4 【对应训练】
1．(2016·郑州模拟)(1)【问题发现】小明遇到这样一个问题：
如图①，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE＝60°
，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数
量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三
角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数
量关系：________；(2)【类比探究】如图②，当点D是线段BC上(除B，C外)任意一点时
(其他条件不变)，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论
．
(3)【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC(其他
条件不变)时，请直接写出△ABC与△ADE的面积之比． (2)AD＝DE；
证明：如解图①，过点D作DF∥AC，交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
又∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BFD＝60°，
∴△BDF是等边三角形，BF＝BD＝DF，∠BFD＝60°，
∴AF＝CD，∠AFD＝120°，
∵EC是外角的平分线，∠DCE＝120°＝∠AFD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B＋∠FAD＝60°＋∠FAD，类型二 几何图形动态探究(2016.22，2014、2013、2012.22)
【例2】(2017·河南)如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E
分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC
的中点．
(1)观察猜想
图 ①中 ， 线 段 PM与 PN的 数 量 关 系 是
______________________________________________，
位置关系是________；(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，
判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出
△PMN面积的最大值．【对应训练】
1．(2017·濮阳模拟)(1)【问题发现】
如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中
点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF
的数量关系为________；
(2)【拓展研究】
在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线
段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图②的情形给出证明；
(3)【问题发现】
当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长. 2．(2017·郴州)如图①，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在
射线OM上，且OA＝6 cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1 cm/s的
速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°
得到△BCE，连接DE.(1)求证：△CDE是等边三角形；
(2)如图②，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，
求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的
三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理
由．(3)存在．①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意，
②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝
90°，
由(1)可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEC＝60°，
∴∠CEB＝30°，
∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，
∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，
∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA－DA＝6－4＝2，
∴t＝2÷1＝2 s；③当6＜t＜10 s时，由∠DBE＝120°＞90°，
∴此时不存在；
④当t＞10 s时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，
又由(1)知∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC，
而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，
∴只能∠BDE＝90°，
从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，
∴OD＝14 cm，∴t＝14÷1＝14 s，
综上所述：当t＝2或14 s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.
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