2017-2018学年福建省福州市仓山区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1．下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．（﹣）2＝2 C．÷＝2 D．＝±4
3．在Rt△ABC中，若斜边AB＝3，则AC2+BC2等于（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
4．若△ABC的三边分别为5、12、13，则△ABC的面积是（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
5．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（ ）
A．3 B．2 C． D．4
6．如图，正方形ABCD的边长为6，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝4，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
7．将函数y＝3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为（ ）
A．y＝3x+2 B．y＝3x﹣2 C．y＝3（x+2） D．y＝3（x﹣2）
8．一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而增大，b＜0，则这个函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为18cm2，则S△DGF的值为（ ）
A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．7cm2
二、填空题（每题4分，共24分）
11．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是： ．
12．函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD＝5时，线段BC的长为 ．
14．如图，△ABC中，若∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是AB的中点，则∠ACD＝ °．
15．如图，直线y1＝k1x+a与y2＝k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为 ．
16．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为 ．
三、解答题（共86分）
17．（8分）计算：2÷×．
18．（8分）一根垂直于地面的电线杆AC＝8m，因特殊情况，在点B处折断，顶端C落在地面上的C′处，测得AC′的长是4m，求底端A到折断点B的长．
19．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
20．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．
21．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）长为的线段PQ，其中P、Q都在格点上；
（2）面积为13的正方形ABCD，其中A、B、C、D都在格点上．
22．（8分）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中的所走路程s（米）与时间t（分）之间的关系．
（1）学校离他家 米，从出发到学校，王老师共用了 分钟；
（2）王老师吃早餐用了多少分钟？
（3）王老师吃早餐以前的速度快还是吃完早餐以后的速度快？吃完早餐后的平均速度是多少？
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
24．（13分）如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，求出这时点M的坐标．
25．（13分）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；
（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
2017-2018学年福建省福州市仓山区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共40分）
1．下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式进行分析即可．
【解答】解：A、不是最简二次根式，故此选项错误；
B、不是最简二次根式，故此选项错误；
C、不是最简二次根式，故此选项错误；
D、是最简二次根式，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．（﹣）2＝2 C．÷＝2 D．＝±4
【分析】直接利用二次根式的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A、＝3，故此选项错误；
B、（﹣）2＝2，正确；
C、÷＝，故此选项错误；
D、＝4，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
3．在Rt△ABC中，若斜边AB＝3，则AC2+BC2等于（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【分析】利用勾股定理将AC2+BC2转化为AB2，再求值．
【解答】解：∵Rt△ABC中，AB为斜边，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴AB2+AC2＝AB2＝32＝9．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出AC2+BC2＝AB2是解决问题的关键．
4．若△ABC的三边分别为5、12、13，则△ABC的面积是（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【分析】根据三边长度判断三角形为直角三角形．再求面积．
【解答】解：∵△ABC的三边分别为5、12、13，
且52+122＝132，
∴△ABC是直角三角形，两直角边是5，12，
则S△ABC＝＝30．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，关键是根据三边长度判断三角形为直角三角形．
5．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（ ）
A．3 B．2 C． D．4
【分析】根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC＝OB，即可得出答案．
【解答】解：
连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（1，3），
∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB＝＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC＝OB，
∴AC＝，
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AC＝OB是解此题的关键．
6．如图，正方形ABCD的边长为6，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝4，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，证出AH＝BE＝CF＝DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF＝90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为6，AE＝BF＝CG＝DH＝4，可得AH＝2，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝6，AE＝BF＝CG＝DH＝4，
∴AH＝BE＝DG＝CF＝2，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝2，
∴四边形EFGH的面积是：2×2＝20，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和判定定理全等三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，证得四边形EFGH是正方形是解答此题的关键．
7．将函数y＝3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为（ ）
A．y＝3x+2 B．y＝3x﹣2 C．y＝3（x+2） D．y＝3（x﹣2）
【分析】根据“上加下减”，即可找出平移后的函数关系式，此题得解．
【解答】解：根据平移的性质可知：平移后的函数关系式为y＝3x+2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记“左加右减，上加下减”是解题的关键．
8．一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而增大，b＜0，则这个函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题意，易得k＞0，且kb异号，即k＞0，而b＜0，结合一次函数的性质，可得答案．
【解答】解：根据题意，一次函数y＝kx+b的值随x的增大而增大，即k＞0，
又∵b＜0，
∴这个函数的图象经过第一三四象限，
∴不经过第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，注意一次项系数与函数的增减性之间的关系．
9．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴AB•OC＝×2×OC＝4，
解得OC＝4cm．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形OACB是菱形是解题的关键．
10．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为18cm2，则S△DGF的值为（ ）
A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．7cm2
【分析】作GH⊥BC于H交DE于M，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，证明△GDF∽△GBC，根据相似三角形的性质、三角形的面积公式计算．
【解答】解：作GH⊥BC于H交DE于M，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵F是DE的中点，
∴DF＝BC，
∵DF∥BC，
∴△GDF∽△GBC，
∴＝＝，
∴＝，
∵DF＝FE，
∴S△DGF＝×△CEF的面积＝6cm2，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是： 两直线平行，同位角相等 ．
【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为：“两直线平行，同位角相等”．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．函数中，自变量x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件是a≥0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD＝5时，线段BC的长为 5 ．
【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到AD＝BC．
【解答】解：由条件可知AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形．
14．如图，△ABC中，若∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是AB的中点，则∠ACD＝ 35 °．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠A＝35°，根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝55°，
∴∠A＝35°，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴DA＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
15．如图，直线y1＝k1x+a与y2＝k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为 x＜1 ．
【分析】在图中找到两函数图象的交点，根据一次函数图象的交点坐标与不等式组解集的关系即可作出判断．
【解答】解：∵直线y1＝k1x+a与y2＝k2x+b的交点坐标为（1，2），
∴当x＝1时，y1＝y2＝2；
而当y1＜y2时，x＜1．
故答案为x＜1．
【点评】此题考查了直线交点坐标与一次函数组成的不等式组的解的关系，利用图象即可直接解答，体现了数形结合思想在解题中的应用．
16．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB
＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为 79 ．
【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b﹣a），再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．
【解答】解：由图可知，（b﹣a）2＝5，
4×ab＝42﹣5＝37，
∴2ab＝37，
（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．
故答案为79．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键．
三、解答题（共86分）
17．（8分）计算：2÷×．
【分析】直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝4÷×3
＝8×3
＝24．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．（8分）一根垂直于地面的电线杆AC＝8m，因特殊情况，在点B处折断，顶端C落在地面上的C′处，测得AC′的长是4m，求底端A到折断点B的长．
【分析】电线杆折断后刚好构成一直角三角形，设电线杆底端A到折断点B的长为x米，则斜边为（8﹣x）米．利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设电线杆底端A到折断点B的长为x米，则斜边为（8﹣x）米，
根据勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2
解得：x＝3．
故底端A到折断点B的长为3m．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
19．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：连接AC．
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝＝，
在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD，
＝×1×2+××2，
＝1+．
故四边形ABCD的面积为1+．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．
20．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．
【分析】由平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，可得OA＝OC，OB＝OD，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，即可得OE＝OG，OF＝OH，即可证得四边形EFGH是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，
∴OE＝OG，OF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．
21．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）长为的线段PQ，其中P、Q都在格点上；
（2）面积为13的正方形ABCD，其中A、B、C、D都在格点上．
【分析】（1）由勾股定理可知当直角边为1和3时，则斜边为，由此可得线段PQ；
（2）由勾股定理可知当直角边为2和3时，则斜边为，把斜边作为正方形的边长即可得到面积为13的正方形ABCD．
【解答】解：（1）（2）如图所示：
【点评】本题考查了勾股定理的运用，本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决问题．
22．（8分）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中的所走路程s（米）与时间t（分）之间的关系．
（1）学校离他家 1000 米，从出发到学校，王老师共用了 25 分钟；
（2）王老师吃早餐用了多少分钟？
（3）王老师吃早餐以前的速度快还是吃完早餐以后的速度快？吃完早餐后的平均速度是多少？
【分析】（1）由于步行前往学校，途中在路旁一家饭店吃早餐，那么行驶路程s（千米）与时间
t（分）之间的关系图象中有一段平行x轴的线段，然后学校，根据图象可以直接得到结论；
（2）根据图象中平行x轴的线段即可确定王老师吃早餐用了多少时间；
（3）根据图象可以分别求出吃早餐以前的速度和吃完早餐以后的速度，然后比较即可得到结果．
【解答】解：（1）学校距他家1000米，王老师用25分钟；
（2）王老师吃早餐用了20﹣10＝10（分钟）；
（3）吃完早餐以后速度快，
（1000﹣500）÷（25﹣20）＝100（米/分）．
答：吃完早餐后的平均速度是100米/分．
【点评】考查了函数的图象，此题是一个信息题目，根据函数图象中的信息找出所需要的数量关系，然后利用数量关系即可解决问题．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；
（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
则周长为4×10cm＝40cm；
面积为10cm×8cm＝80cm2．
【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．
24．（13分）如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，求出这时点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：y＝﹣x+6；
（2）在y＝﹣x+6中，令x＝0，解得：y＝6，
S△OAC＝×6×4＝12；
（3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，
解得：m＝，
则直线的解析式是：y＝x，
∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，
∴M的横坐标是×4＝1，
在y＝x中，当x＝1时，y＝，则M的坐标是（1，）；
在y＝﹣x+6中，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）．
则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．
25．（13分）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；
（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）根据点P在线段AO上时，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE＝PD；
（2）利用三角形全等得出，BP＝PD，由PB＝PE，得出PE＝PD，要证PE⊥PD；从三方面分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时，分别分析即可得出；
（3）利用PE＝PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．
【解答】解：（1）当点P在线段AO上时，
在△ABP和△ADP中，
∴△ABP≌△ADP，
∴BP＝DP，
∵PB＝PE，
∴PE＝PD，
过点P做PM⊥CD，于点M，作PN⊥BC，于点N，
∵PB＝PE，PN⊥BE，
∴BN＝NE，
∵BN＝DM，
∴DM＝NE，
在Rt△PNE与Rt△PMD中，
∵PD＝PE，NE＝DM，
∴Rt△PNE≌Rt△PMD，
∴∠DPM＝∠EPN，
∵∠MPN＝90°，
∴∠DPE＝90°，
故PE⊥PD，
PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE＝PD，PE⊥PD；
（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BA＝DA，∠BAP＝∠DAP＝45°，
∵PA＝PA，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB＝PD，
又∵PB＝PE，
∴PE＝PD．
（i）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．
（ii）当点E在BC的延长线上时，如图．
∵△ADP≌△ABP，
∴∠ABP＝∠ADP，
∴∠CDP＝∠CBP，
∵BP＝PE，
∴∠CBP＝∠PEC，
∴∠PEC＝∠PDC，
∵∠1＝∠2，
∴∠DPE＝∠DCE＝90°，
∴PE⊥PD．
综合（i）（ii），PE⊥PD；
（3）同理即可得出：PE⊥PD，PD＝PE．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识，此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用．
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