2017-2018学年济南市槐荫区八年级下期中数学试卷（含答案解析）.doc

2017-2018 学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1．﹣3 的绝对值是（　　） A．﹣ B． C．﹣3 D．3 2．如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．2018 年 2 月 2 日上午，济南市规划设计研究院、摩拜单车联合发布《2017 年山东省共享单车出 行报告》，济南骑摩拜总出行 1.2 亿公里多，1.2 亿公里用科学记数法表示为（　　） A．1.2×108 公里 B．1.2×109 公里 C．1.2×1010 公里 D．1.2×1011 公里 4．下列计算正确的是（　　） A．|﹣3|＝﹣3 B．﹣（﹣3）2＝9 C．﹣（﹣2）0＝1 D． ＝3 5．下列运算正确的是（　　） A．a2•a4＝a8 B．2a+3a＝5a C．（x﹣2）2＝x2﹣4 D．（x﹣2）（x+3）＝x2﹣6 6．一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，这个多边形是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 7．如图，AB∥CD，AE 交 CD 于 C，∠A＝35°，∠DEC＝90°，则∠D 的度数为（　　）A．65° B．55° C．45° D．35° 8．函数 的自变量 x 的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≥3 C．x≠3 D．x≥2 且 x≠3 9．下列说法正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线互相垂直 C．一组对边平行的四边形是平行四边形 D．四边相等的四边形是菱形 10．为了求 1+2+22+23+…+22016 的值，可令 S＝1+2+22+23+…+22016，则 2S＝2+22+23+24+…+22017， 因此 2S﹣S＝22017﹣1，所以 1+2+22+23+…+22016＝22017﹣1 仿照以上推理，计算：1+5+52+53+… +52018 的值是（　　） A．52018﹣1 B．52019﹣1 C． D． 11．菱形 ABCD 中，AB＝2 ，∠A＝120°，点 P、Q、K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任意一点， 则 PK+QK 的最小值为（　　） A．1 B．3 C． D． +1 12．如图，矩形 BCDE 的各边分别平行于 x 轴与 y 轴，物体甲和物体乙由点 A（2，0）同时出发， 沿矩形 BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以 1 个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方 向以 2 个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第 2018 次相遇地点的坐标是（　　） A．（1，﹣1） B．（2，0） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1） 二、填空题（本大题共 6 个小题.每小题 4 分，共 24 分，把答案填在答题卡的横线上）13．计算：|﹣2﹣4|+（ ）0＝　 　． 14．分解因式：4a2﹣16＝　 　． 15． 在 2015 年 的 体 育 考 试 中 某 校 6 名 学 生 的 体 育 成 绩 统 计 如 图 所 示 ， 这 组 数 据 的 中 位 数 是　 　． 16．青蛙是我们人类的朋友，为了了解某池塘里青蛙的数量，先从池塘里捕捞 20 只青蛙，作上标记 后放回池塘，经过一段时间后，再从池塘中捕捞出 40 只青蛙，其中有标记的青蛙有 4 只，估计 这个池塘里大约有　 　只青蛙． 17．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如 图 1）．图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形 ABCD， 正 方 形 EFGH ， 正 方 形 MNKT 的 面 积 分 别 为 S1 ， S2 ， S3 ， 若 S1+S2+S3 ＝ 10 ， 则 S2 的 值 是　 　． 18．如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点 P 是这个菱形内部或边上的一点．若 以 P，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P，A（P，A 两点不重合）两点间的最短距离为　 　 cm．三、解答题（本大题共 9 个小题，共 78 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 19．（6 分）解不等式组： 20．（6 分）化简：（1﹣ ）÷ 21．（6 分）如图，已知正方形 ABCD，P 是对角线 AC 上任意一点，P 不与 A、C 重合，求证：∠ABP ＝∠ADP． 22．（8 分）如图，平行四边形 ABCD，E、F 两点在对角线 BD 上，且 BE＝DF，连接 AE，EC， CF，FA． 求证：四边形 AECF 是平行四边形． 23．（8 分）济南市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为 300 米的污水排放管道，铺设 120 米 后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加 20%，结果 共用了 9 天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？ 24．在平面直角坐标系中，A、B 均在边长为 1 的正方形网格格点上． （1）求线段 AB 所在直线的函数解析式，并写出当 0≤y≤2 时，自变量 x 的取值范围 （2）将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°，得到线段 AC，请在网格中画出线段 AC． （3）若直线 AC 的函数解析式为 y＝kx+b，则 y 随 x 的增大而　 　（填“增大”或“减 小”）．25．李老师为了解学生完成数学课前预习的具体情况，对部分学生进行了跟踪调查，并将调查结果 分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．制成以下两幅不完整的统计图，请你根据 统计图解答下列问题： （1）李老师一共调查了多少名同学？ （2）C 类女生有　 　名，D 类男生有　 　名，将下面条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，李老师想从被调查的 A 类和 D 类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一” 互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概 率． 26．（12 分）在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F． （1）在图 1 中证明 CE＝CF； （2）若∠ABC＝90°，G 是 EF 的中点（如图 2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接 DB、DG（如图 3），求∠BDG 的度 数．27．（12 分）【问题背景】 如图 1，等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作 AD⊥BC 于点 D，则 D 为 BC 的中点，∠BAD ＝ ∠BAC＝60°， ＝ ＝ 【问题应用】 如图 2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C 三点共线，连接 BD， （1）求证：△ADB≌△AEC； （2）直接写出 AD、BD、CD 之间的数量关系； 如图 3，菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，在△ABC 内部作射线 BM，作点 C 关于 BM 的对称点 E，连接 AE 并延长交 BM 于点 F，连接 CE、CF． （1）判断△EFC 的形状，并给出证明． （2）若 AE＝5，CE＝2，求 BF 的长．2017-2018 学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期中数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1．﹣3 的绝对值是（　　） A．﹣ B． C．﹣3 D．3 【分析】根据绝对值的性质计算即可得解． 【解答】解：﹣3 的绝对值是 3， 即|﹣3|＝3． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数． 2．如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】从正面看得到从左往右 3 列正方形的个数依次为 1，1，2，依此判断即可． 【解答】解：从正面看得到从左往右 3 列正方形的个数依次为 1，1，2， 故选：A． 【点评】此题考查三视图，关键是根据三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、 左面和上面看，所得到的图形． 3．2018 年 2 月 2 日上午，济南市规划设计研究院、摩拜单车联合发布《2017 年山东省共享单车出 行报告》，济南骑摩拜总出行 1.2 亿公里多，1.2 亿公里用科学记数法表示为（　　）A．1.2×108 公里 B．1.2×109 公里 C．1.2×1010 公里 D．1.2×1011 公里 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对 值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：1.2 亿公里用科学记数法表示为 1.2×108 公里． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．下列计算正确的是（　　） A．|﹣3|＝﹣3 B．﹣（﹣3）2＝9 C．﹣（﹣2）0＝1 D． ＝3 【分析】根据实数的运算法则即可求出答案． 【解答】解：（A）原式＝3，故 A 错误； （B）原式＝﹣9，故 B 错误； （C）原式＝﹣1，故 C 错误； 故选：D． 【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键熟练运用运算法则，本题属于基础题型． 5．下列运算正确的是（　　） A．a2•a4＝a8 B．2a+3a＝5a C．（x﹣2）2＝x2﹣4 D．（x﹣2）（x+3）＝x2﹣6 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式、多项式乘以多项式，即可解答． 【解答】解：A、a2•a4＝a6，故错误； B、2a+3a＝5a，故正确； C、（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，故错误； D、（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，故错误； 故选：B． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式、多项式乘以多项式，解决本 题的关键是熟记同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式、多项式乘以多项式． 6．一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，这个多边形是（　　）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解． 【解答】解：设所求正 n 边形边数为 n，由题意得 （n﹣2）•180°＝360°×2 解得 n＝6． 则这个多边形是六边形． 故选：C． 【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的 特征：任何多边形的外角和都等于 360°，n 边形的内角和为（n﹣2）•180°． 7．如图，AB∥CD，AE 交 CD 于 C，∠A＝35°，∠DEC＝90°，则∠D 的度数为（　　） A．65° B．55° C．45° D．35° 【分析】先根据平行线的性质求出∠DCE 的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝35°， ∴∠DCE＝∠A＝35°． ∵∠DEC＝90°， ∴∠D＝90°﹣∠DCE＝90°﹣35°＝55°． 故选：B． 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 8．函数 的自变量 x 的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≥3 C．x≠3 D．x≥2 且 x≠3 【分析】本题中，根号内的数大于等于零，分式中，分母不等于零，因此题目中要想使式子有意 义，只要有 x﹣2≥0 且 x﹣3≠0，就可以求出 x 的范围． 【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0 且 x﹣3≠0， 解得：x≥2 且 x≠3． 故选：D． 【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 9．下列说法正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线互相垂直 C．一组对边平行的四边形是平行四边形 D．四边相等的四边形是菱形 【分析】直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误； B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误； C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误； D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确． 故选：D． 【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意掌握各特殊平行四边 形对角线的性质是解此题的关键． 10．为了求 1+2+22+23+…+22016 的值，可令 S＝1+2+22+23+…+22016，则 2S＝2+22+23+24+…+22017， 因此 2S﹣S＝22017﹣1，所以 1+2+22+23+…+22016＝22017﹣1 仿照以上推理，计算：1+5+52+53+… +52018 的值是（　　） A．52018﹣1 B．52019﹣1 C． D． 【分析】根据题目中的例子，可以求得所求式子的值，本题得以解决． 【解答】解：设 S＝1+5+52+53+…+52018， ∴5S＝5+52+53+…+52019， ∴5S﹣S＝52019﹣1， ∴4S＝52019﹣1， ∴S＝ ， 即 1+5+52+53+…+52018＝ ， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确有理数混合运算的 计算方法．11．菱形 ABCD 中，AB＝2 ，∠A＝120°，点 P、Q、K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任意一点， 则 PK+QK 的最小值为（　　） A．1 B．3 C． D． +1 【分析】过点 C 作 CE⊥AB，根据题意可求出 AB，CD 的距离即 CE 的长，由 BD 平分∠ABD， 则作点 P 关于 BD 的对称点 P'，则当 P'，K，Q 三点共线，且垂直于 AB 时，PK+QK 有最小值， 即最小值为 CE 的长． 【解答】解： 如图：过点 C 作 CE⊥AB ∵菱形 ABCD 中，AB＝2 ，∠A＝120° ∴∠ABC＝60°，BC＝2 ，BD 平分∠ABD ∴BE＝ ，CE＝ BE＝3 ∵BD 平分∠ABD ∴在 AB 上作点 P 关于 BD 的对称点 P' ∴PK+QK＝P'K+KQ ∴当 P'，K，Q 三点共线且 P'Q⊥AB 时，PK+QK 有最小值， 即最小值为平行线 AB，CD 的距离，则最小值为 3 故选：B． 【点评】本题考查了最短路径问题，菱形的性质，作点 P 关于 BD 的对称点 P'是本题的关键． 12．如图，矩形 BCDE 的各边分别平行于 x 轴与 y 轴，物体甲和物体乙由点 A（2，0）同时出发， 沿矩形 BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以 1 个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方 向以 2 个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第 2018 次相遇地点的坐标是（　　）A．（1，﹣1） B．（2，0） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1） 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4 和 2，物体乙是物体甲的速度的 2 倍， 求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【解答】解：矩形的边长为 4 和 2，因为物体乙是物体甲的速度的 2 倍，时间相同，物体甲与物 体乙的路程比为 1：2，由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为 12×1，物体甲行的路程为 12× ＝4，物体乙行的 路程为 12× ＝8，在 BC 边相遇； ②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为 12×2，物体甲行的路程为 12×2× ＝8，物体乙行 的路程为 12×2× ＝16，在 DE 边相遇； ③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为 12×3，物体甲行的路程为 12×3× ＝12，物体乙 行的路程为 12×3× ＝24，在 A 点相遇； 此时甲乙回到原出发点， 则每相遇三次，甲乙两物体回到出发点， ∵2018÷3＝672…2， ∴两个物体运动后的第 2018 次相遇地点的是 DE 边相遇，且甲与物体乙行的路程和为 12×2，物 体甲行的路程为 12×2× ＝8，物体乙行的路程为 12×2× ＝16， 此时相遇点的坐标为：（﹣1，﹣1）， 故选：D． 【点评】此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计 算发现规律就可以解决问题．解本题的关键是找出规律每相遇三次，甲乙两物体回到出发点． 二、填空题（本大题共 6 个小题.每小题 4 分，共 24 分，把答案填在答题卡的横线上） 13．计算：|﹣2﹣4|+（ ）0＝　7　． 【分析】直接利用绝对值的性质结合零指数幂的性质计算得出答案．【解答】解：|﹣2﹣4|+（ ）0＝6+1＝7． 故答案为：7． 【点评】此题主要考查了实数运算以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键． 14．分解因式：4a2﹣16＝　4（a+2）（a﹣2）　． 【分析】首先提取公因式 4，进而利用平方差公式进行分解即可． 【解答】解：4a2﹣16＝4（a2﹣4）＝4（a+2）（a﹣2）． 故答案为：4（a+2）（a﹣2）． 【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键． 15．在 2015 年的体育考试中某校 6 名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数是　 26　． 【分析】根据中位数的定义，即可解答． 【解答】解：把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（26+26）÷2＝26，则中位数 是 26． 故答案为：26． 【点评】本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间 的那个数（或最中间两个数的平均数）． 16．青蛙是我们人类的朋友，为了了解某池塘里青蛙的数量，先从池塘里捕捞 20 只青蛙，作上标记 后放回池塘，经过一段时间后，再从池塘中捕捞出 40 只青蛙，其中有标记的青蛙有 4 只，估计 这个池塘里大约有　200　只青蛙． 【分析】从池塘中捕捞出 40 只青蛙，其中有标记的青蛙有 4 只，即在样本中有标记的所占比例 为 ，而在整体中有标记的共有 20 只，根据所占比例即可解答． 【解答】解：∵从池塘中捕捞出 40 只青蛙，其中有标记的青蛙有 4 只， ∴在样本中有标记的所占比例为 ， ∴池塘里青蛙的总数为 20÷ ＝200．故答案为：200． 【点评】此题主要考查了用样本去估计总体，解题的关键是了解统计的思想就是用样本的信息来 估计总体的信息． 17．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如 图 1）．图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形 ABCD， 正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1 ，S2 ，S3 ，若 S1+S2+S3 ＝10，则 S2 的值是　 　． 【分析】根据图形的特征得出四边形 MNKT 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形面积一个设 为 y，从而用 x，y 表示出 S1，S2，S3，得出答案即可． 【解答】解：将四边形 MTKN 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形面积一个设为 y， ∵正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10， ∴得出 S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故 3x+12y＝10， x+4y＝ ， 所以 S2＝x+4y＝ ， 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y 表示出 S1，S2，S3，再利用 S1+S2+S3 ＝10 求出是解决问题的关键． 18．如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点 P 是这个菱形内部或边上的一点．若以 P，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P，A（P，A 两点不重合）两点间的最短距离为　10 ﹣10　cm． 【分析】分三种情形讨论①若以边 BC 为底．②若以边 PB 为底．③若以边 PC 为底．分别求出 PA 的最小值，即可判断． 【解答】解：连接 BD，在菱形 ABCD 中， ∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝AD＝CD＝10， ∴∠A＝∠C＝60°， ∴△ABD，△BCD 都是等边三角形， ①若以边 BC 为底，则 BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为 了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P 与点 D 重合时，PA 最小， 最小值 PA＝10； ②若以边 PB 为底，∠PCB 为顶角时，以点 C 为圆心，BC 长为半径作圆，与 AC 相交于一点， 则弧 BD（除点 B 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点 P 在 AC 上时，AP 最小，最 小值为 10 ﹣10； ③若以边 PC 为底，∠PBC 为顶角，以点 B 为圆心，BC 为半径作圆，则弧 AC 上的点 A 与点 D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点 P 与点 A 重合时，PA 最小，显然不满足题意，故此种情况不 存在； 综上所述，PA 的最小值为 10 ﹣10（cm）； 故答案为：10 ﹣10． 【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关 键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 78 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步19．（6 分）解不等式组： 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：解不等式 2x﹣1≤3 得 x≤2， 解不等式 ＞1 得 x＞﹣1， 所以不等式的解集为﹣1＜x≤2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大 大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20．（6 分）化简：（1﹣ ）÷ 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分 即可得到结果． 【解答】解：原式＝ • ＝ ． 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．（6 分）如图，已知正方形 ABCD，P 是对角线 AC 上任意一点，P 不与 A、C 重合，求证：∠ABP ＝∠ADP． 【分析】依据四边形ABCD 是正方形，即可得出 AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，进而判定△ABP≌△ ADP（SAS），即可得出∠ABP＝∠ADP． 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP， ∴在△ABP 和△ADP 中， ， ∴△ABP≌△ADP（SAS），∴∠ABP＝∠ADP． 【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定 时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 22．（8 分）如图，平行四边形 ABCD，E、F 两点在对角线 BD 上，且 BE＝DF，连接 AE，EC， CF，FA． 求证：四边形 AECF 是平行四边形． 【分析】根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形 AECF 是平行四边 形． 【解答】证明：连接 AC 交 BD 于点 O， ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∵BE＝DF，∴OE＝OF． ∴四边形 AECF 为平行四边形． 【点评】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根 据条件合理、灵活地选择方法． 23．（8 分）济南市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为 300 米的污水排放管道，铺设 120 米 后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加 20%，结果 共用了 9 天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？ 【分析】设原计划每天铺设管道 x 米，根据相等关系列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设原计划每天铺设管道 x 米，1+20%＝1.2 根据题意得： + ＝9， 解得：x＝30， 经检验 x＝30 是所列方程的解，答：原计划每天铺设管道 30 米． 【点评】本题考查了分式方程的应用，能根据题意列出方程是解此题的关键． 24．在平面直角坐标系中，A、B 均在边长为 1 的正方形网格格点上． （1）求线段 AB 所在直线的函数解析式，并写出当 0≤y≤2 时，自变量 x 的取值范围 （2）将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°，得到线段 AC，请在网格中画出线段 AC． （3）若直线 AC 的函数解析式为 y＝kx+b，则 y 随 x 的增大而　增大　（填“增大”或“减 小”）． 【分析】（1）待定系数法求解可得函数解析式，结合函数图象可得 x 的取值范围； （2）根据旋转的定义求解可得； （3）根据一次函数的定义求解可得． 【解答】解：（1）设线段 AB 所在直线的解析式为 y＝kx+b， 将点 A（0，4）、B（2，0）代入，得： ， 解得： ， ∴线段 AB 所在直线解析式为 y＝﹣2x+4， 由函数图象知当 0≤y≤2 时，1≤x≤2． （2）如图，线段 AC 即为所求；（3）由（2）知直线 AC 自左向右逐渐上升，即 y 随 x 的增大而增大， 故答案为：增大． 【点评】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象与几何变换．解答此题 时，采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得形象、直观，降低了题的难度． 25．李老师为了解学生完成数学课前预习的具体情况，对部分学生进行了跟踪调查，并将调查结果 分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．制成以下两幅不完整的统计图，请你根据 统计图解答下列问题： （1）李老师一共调查了多少名同学？ （2）C 类女生有　3　名，D 类男生有　1　名，将下面条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，李老师想从被调查的 A 类和 D 类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一” 互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概 率． 【分析】（1）利用 A 类学生总数除以 A 类学生所占百分比可得调查学生总数； （2）用调查的学生总数乘以 C 类所占的百分比，再减去 C 类的男生数，从而求出 C 类的女生数； 用调查的学生总数减去 A、B、C 类的学生数和 D 类的女生数，从而求出 D 类的男生数，即可补 全统计图； （3）根据题意先画出树状图，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意得： 3÷15%＝20（名）， 答：李老师一共调查了 20 名同学； 故答案为：20； （2）C 类女生：20×25%﹣2＝3（名），D 类男生有 20﹣3﹣10﹣5﹣1＝1（人）， 如图所示 ； 故答案为：3，1； （3）根据题意画图如下： ， 由树状图可得共有 6 种可能的结果，其中恰好一名男同学和一名女同学的结果有 3 中，所以恰好 是一名男同学和一名女同学的概率是 ＝ ． 【点评】此题主要考查了条形统计图，以及概率，关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之 比． 26．（12 分）在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F． （1）在图 1 中证明 CE＝CF； （2）若∠ABC＝90°，G 是 EF 的中点（如图 2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接 DB、DG（如图 3），求∠BDG 的度 数． 【分析】（1）根据 AF 平分∠BAD，可得∠BAF＝∠DAF，利用四边形 ABCD 是平行四边形，求证∠CEF＝∠F 即可． （2）根据∠ABC＝90°，G 是 EF 的中点可直接求得． （3）分别连接 GB、GC，求证四边形 CEGF 是平行四边形，再求证△ECG 是等边三角形． 由 AD∥BC 及 AF 平分∠BAD 可得∠BAE＝∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案 【解答】（1）证明：如图 1， ∵AF 平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F， ∴∠CEF＝∠F． ∴CE＝CF． （2）解：连接 GC、BG， ∵四边形 ABCD 为平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形 ABCD 为矩形， ∵AF 平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠BAF＝45°， ∵∠DCB＝90°，DF∥AB， ∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90° ∴△ECF 为等腰直角三角形， ∵G 为 EF 中点， ∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF， ∵△ABE 为等腰直角三角形，AB＝DC， ∴BE＝DC， ∵∠CEF＝∠GCF＝45°， ∴∠BEG＝∠DCG＝135° 在△BEG 与△DCG 中，∵ ， ∴△BEG≌△DCG， ∴BG＝DG， ∵CG⊥EF， ∴∠DGC+∠DGA＝90°， 又∵∠DGC＝∠BGA， ∴∠BGA+∠DGA＝90°， ∴△DGB 为等腰直角三角形， ∴∠BDG＝45°． （3）解：延长 AB、FG 交于 H，连接 HD． ∵AD∥GF，AB∥DF， ∴四边形 AHFD 为平行四边形 ∵∠ABC＝120°，AF 平分∠BAD ∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30° ∴△DAF 为等腰三角形 ∴AD＝DF， ∴CE＝CF， ∴平行四边形 AHFD 为菱形 ∴△ADH，△DHF 为全等的等边三角形 ∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60° ∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH， ∴BH＝GF 在△BHD 与△GFD 中， ∵ ， ∴△BHD≌△GFD， ∴∠BDH＝∠GDF ∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60°【点评】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与 性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件 合理、灵活地选择方法．同学们在解决此类问题时，可以通过以下的步骤进行思考和分析：（1） 通过测量或特殊情况的提示进行猜想；（2）根据猜想的结果进行联想（如 60 度角可以联想到等 边三角形，45 度角可以联想到等腰直角三角形等）；（3）在联想的基础上根据已知条件利用几 何变换（如旋转、平移、轴对称等）构造全等解决问题． 27．（12 分）【问题背景】 如图 1，等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作 AD⊥BC 于点 D，则 D 为 BC 的中点，∠BAD ＝ ∠BAC＝60°， ＝ ＝ 【问题应用】 如图 2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C 三点共线，连接 BD， （1）求证：△ADB≌△AEC； （2）直接写出 AD、BD、CD 之间的数量关系； 如图 3，菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，在△ABC 内部作射线 BM，作点 C 关于 BM 的对称点 E，连接 AE 并延长交 BM 于点 F，连接 CE、CF． （1）判断△EFC 的形状，并给出证明．（2）若 AE＝5，CE＝2，求 BF 的长． 【分析】如图 2，（1）只要证明∠DAB＝∠CAE，即可根据 SAS 解决问题； （2）结论：CD＝ AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知 BD＝CE，在 Rt△ADH 中，DH＝AD•cos30 °＝ AD，由 AD＝AE，AH⊥DE，推出 DH＝HE，由 CD＝DE+EC＝2DH+BD＝ AD+BD， 即可解决问题； 如图 3，（1）作 BH⊥AE 于 H，连接 BE．由 BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，推出 A、D、E、C 四点共圆，推出∠ADC＝∠AEC＝120°，推出∠FEC＝60°，推出△EFC 是等边三角形； （2）由 AE＝5，EC＝EF＝2，推出 AH＝HE＝2.5，FH＝4.5，在 Rt△BHF 中，由∠BFH＝30°， 可得 ＝cos30°，由此即可解决问题． 【解答】解：【问题应用】如图 2，（1） ∵∠BAC＝∠DAE＝120°， ∴∠DAB＝∠CAE， 在△DAE 和△EAC 中， ∵ ， ∴△DAB≌△EAC，（2）结论：CD＝ AD+BD． 理由：如图 2﹣1 中，作 AH⊥CD 于 H． ∵△DAB≌△EAC， ∴BD＝CE， 在 Rt△ADH 中，DH＝AD•cos30°＝ AD， ∵AD＝AE，AH⊥DE， ∴DH＝HE， ∵CD＝DE+EC＝2DH+BD＝ AD+BD． 如图 3，（1）证明：如图 3 中，作 BH⊥AE 于 H，连接 BE． ∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝120°， ∴△ABD，△BDC 是等边三角形， ∴BA＝BD＝BC， ∵E、C 关于 BM 对称， ∴BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC， ∴A、D、E、C 四点共圆， ∴∠ADC＝∠AEC＝120°， ∴∠FEC＝60°，∴△EFC 是等边三角形， （2）∵AE＝5，EC＝EF＝2， ∴AH＝HE＝2.5，FH＝4.5， 在 Rt△BHF 中，∵∠BFH＝30°， ∴ ＝cos30°， ∴BF＝ ＝3 ． 【点评】本题考查四边形的综合问题，主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、 四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解 决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．