坐标系与参数方程大题训练（40题附答案）

参数方程 1 坐标系与参数方程大题训练（含 40 题及答案） 1．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （a＞b＞0，φ 为参数），且曲线 C 上的点 M（2， ）对应的参数 φ= ，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 C 的普通方程； （2）若曲线 C 上的 A，B 两点的极坐标分别为 A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+ ），求 + 的值 ． 2．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是 （α 为参数），以原点 O 为极点 ，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程； （2）已知直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 P，求|PA|•|PB|． 3．在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 关于坐标轴对称．以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系，A（ ， ），B（2 ，0）为椭圆 C 上两点． （Ⅰ）求直线 OA 的直角坐标方程与椭圆 C 的参数方程； （Ⅱ）若点 M 在椭圆 C 上，且点 M 第一象限内，求四边形 OAMB 的面积 S 的最大值． 4．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2= ． （1）写出曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程； （2）已知点 P 是曲线 C2 上一点，求点 P 到曲线 C1 的最小距离． 5．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： （θ 为参数），在以 O 为极点，x 轴的非负半轴为 极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ（cosθ﹣sinθ）=4． （1）写出曲线 C1 和 C2 的普通方程； （2）若曲线 C1 上有一动点 M，曲线 C2 上有一动点 N，求使|MN|最小时 M 点的坐标． 6．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处，极轴与 x 轴的非负半轴重合，且长度单位相 同，直线 l 的极坐标方程为 ρsin（θ﹣ ）=5，曲线 C： （α 为参数，且 α∈[0， 2π））． （1）试写出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程； （2）若点 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值． 7．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处，极轴与 x 轴的非负半轴重合，且长度单位相参数方程 2 同，直线 l 的极坐标方程为 （ρ∈R）．曲线 （α 为参数，且 α∈[0， 2π））． （1）试写出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的极坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AB|的值． 8．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（θ 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 ρ（cosθ+sinθ）=m（m＞0） ． （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）若直线 与直线 l 交于点 A，与曲线 C 交于 M，N 两点．且|OA|•|OM|•|ON|=6 ，求 m． 9．在直角坐标系 xOy 中，直线，的参数方程为 （t 为参数）．以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ，点 E 的直角坐标为（ 2，2 ），直线，与曲线 C 交于 A、B 两点． （I）写出点 E 的极坐标和曲线 C 的普通方程； （II）当 tana=2 时，求点 E 到 A，B 两点的距离之积． 10．以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0≤φ＜π），曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ=8sinθ． （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，当 φ 变化时，求|AB|的最小值． 11．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2+（y﹣5）2=9 （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0≤α＜π），直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点， ，求 l 的斜率和普通方程． 12．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： =1，曲线 C2： （φ 为参数），以坐标 原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求 C1，C2 的极坐标方程； （2）射线 l 的极坐标方程为 θ=α（ρ≥0），若 l 分别与 C1，C2 交于异于极点的 A，B 两点，求 的最大值．参数方程 3 13．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度，建立极坐标系．曲 线 C 的极坐标方程为 ，M，N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点． （1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标； （2）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程． 14．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： ，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C2 是圆心极坐标为（3，π），半径为 1 的圆． （1）求曲线 C1 的参数方程和 C2 的直角坐标方程； （2）设 M，N 分别为曲线 C1，C2 上的动点，求|MN|的取值范围． 15．已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），曲线 C1 的方程 为 x2+（y﹣1）2=1 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线 l 和曲线 C1 的极坐标系方程； （2）曲线 C2：θ=α（ρ＞0，0＜α＜ ）分别交直线 l 和曲线 C1 交于 A、B，求 的最大值． 16．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l：ρcos（θ+α） =1（其 中 α∈（0， ）与圆 C：ρ=2cosθ 交于 A，B 两点． （Ⅰ）若 α= ，求直线 l 和圆 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若|AB|= ，求 α． 17．已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 （t 是参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 M（x，y）为曲线 C 上任意一点，求 x+y 的取值范围． 18．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2 acos（ ），（a ）． （1）分别写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；、 （2）已知点 P（2，﹣1），直线写曲线 C 相交于 M，N 两点，若|MN|2=5|PM|•|PN|，求实数 a 的值 ．参数方程 4 19．在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立坐标系，点 A 的极坐标为（2 ， ），曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+1=0，设直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点． （1）写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程； （2）求|AP||AQ||OP||OQ|的值． 20．在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x=﹣2，圆 C2： （θ 为参数），以坐标原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求 C1，C2 的极坐标方程； （2）若直线 C3 的极坐标方程为 ，设 C2，C3 的交点为 A，B，求△C2AB 的面积． 21．在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数）；曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ，点 P 在曲线 C1 上， 点 P 的极角为 ． （1）求曲线 C1 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （2）若曲线 C2 的参数方程为 （α 为参数），由曲线 C2 按变换 得曲线 C3 ，点 Q 为曲线 C3 上的动点，求线段 PQ 的中点 M 到直线 l 的距离的最大值． 22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）．以原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρsinθ﹣12=0． （1）求⊙C 的参数方程； （2）求直线 l 被⊙C 截得的弦长． 23．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中 取相同的长度单位．已知圆 C 是以极坐标系中的点（2， ）为圆心， 为半径的圆，直线 l 的参数方程为 （1）求 C 与 l 的直角坐标系方程； （2）若直线 l 与圆 C 交于 M，N 两点，求△MON 的面积．参数方程 5 24．在直角坐标系中，曲线 C 的方程为 x2+（y+1）2=9，直线 l 的参数方程为 （t 为参 数）．以 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 C 的极坐标方程及直线 l 的普通方程； （2）若直线 l 经过点 M（1，0），且交曲线 C 于 A、B 两点，求 的值． 25．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数， ），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0 ． （Ⅰ）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求|AB|的最小值． 26．已知曲线 C1： （α 为参数），曲线 C2： （θ 为参数） （1）化 C1，C2 的方程为普通方程； （2）若 C1 上的点 P 对应的参数为 α= ，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 l： （t 为参数）的距离的最小值及 M 点坐标． 27．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，曲线 C 的极坐标方 程为 ρ=4sinθ． （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）设曲线 C 与直线 l 交于 A、B 两点，且 M 点的坐标为（3，4），求|MA|•|MB|的值． 28．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C1： ρ=2sinθ，曲线 C2： （t 为参数）． （Ⅰ）求曲线 C1 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点 M（0， ），若曲线 C1 与曲线 C2 相交于 P，Q 两点，求|MP|﹣|MQ|的值． 29．已知曲线 （t 为参数），曲线 C2：4ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0．（设直角坐标系 x 正半轴与极坐系极轴重合）． （1）求曲线 C1 与直线 C2 的普通方程； （2）若点 P 在曲线 C1 上，Q 在直线 C2 上，求|PQ|的最小值．参数方程 6 30．已知曲线 C 的参数方程是 （θ 为参数），以直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρ（cosθ+sinθ）=4． （Ⅰ）写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （Ⅱ）试求曲线 C 上任意一点 M 到直线 l 的距离的最大值． 31．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），φ∈[0，π）， 以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 极坐标方程为 ρ=4cosθ． （1）若直线 l 与圆 C 相切，求 φ 的值； （2）已知直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，记点 A、B 相应的参数分别为 t1、t2，当 t1=2t2 时，求 AB 的 长． 32．在直角坐标系 xOy 中，已知点 P（0， ）．曲线 C 的参数方程为 （φ 为参数 ），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos（θ﹣ ） = ． （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点．求|PA|•|PB|的值． 33．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数，a＞1），过点 A（﹣2，﹣2 ）的直线 l 的参数方程为 （t 为参数）． （Ⅰ）求曲线 C 的普通方程，并说明它表示什么曲线； （Ⅱ）设曲线 C 与直线 l 分别交于 M1，M2 两点，若|AM1|，|M1M2|，|AM2|成等比数列，求 a 的值． 34．已知直线 l： （t 为参数），曲线 Γ： （θ 为参数）． （1）分别求直线 l 与曲线 Γ 的普通方程； （2）已知点 F（1，0），若直线 l 与曲线 Γ 相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的上方），求|FA|﹣|FB| 的值． 35．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）以坐标原点 O 为极点 ，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ． （Ⅰ）求直线 l 的极坐标方程及曲线 C 的直角坐标方程；参数方程 7 （Ⅱ）若 A（ρ1，α）是直线 l 上一点，B（ρ2，α﹣ ）是曲线 C 上一点，求 的最大值． 36．在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），椭圆 C 的参数方程为 （φ 为参数），直线 l 经过椭圆 C 的左焦点． （1）求椭圆 C 的焦点坐标和实数 k 的值； （2）设直线 l 与椭圆 C 的相交于点 A，B，求|AB|． 37．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 的方程为 ． （Ⅰ）求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （Ⅱ）若 A，B 分别为曲线 C1 和 C2 上的任意点，求|AB|的最小值． 38．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： （t 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 C2：ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0． （Ⅰ）求 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程，并说明方程所表示的曲线名称； （Ⅱ）判断曲线 C1 与曲线 C2 的位置关系，若相交，求出弦长． 39．已知曲线 C1： （t 为参数），C2： （θ 为参数）． （Ⅰ）化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （II）若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3：2x﹣y﹣7=0 距 离的最大值． 40．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|AB|= ．求直线 l 的倾斜角 α 的值．参数方程 8 参考答案与试题解析 1．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （a＞b＞0，φ 为参数），且曲线 C 上的点 M（2， ）对应的参数 φ= ，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 C 的普通方程； （2）若曲线 C 上的 A，B 两点的极坐标分别为 A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+ ），求 + 的值 ． 【解答】解析：（1）将 M（2， ）及对应的参数 φ= ， 代入 （a＞b＞0，φ 为参数）， 所以 ， 所以曲线 C1 的普通方程为 + =1． （2）曲线 C1 的极坐标方程为 ， 将 A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+ ）， 代入得到： ， ， 所以： ． 2．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是 （α 为参数），以原点 O 为极点 ，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程； （2）已知直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 P，求|PA|•|PB|． 【解答】解：（1）由曲线 C 的参数方程 （α 为参数）， 整理得： （α 为参数）， 两式平方相加，得曲线 C 的普通方程为（x﹣1）2+y2=4；（ 由直线 l 的极坐标方程可得 ρcosθcos ﹣ρsinθsin = ， 整理得：ρcosθ﹣ρsinθ=2，参数方程 9 即直线 l 的直角坐标方程为 x﹣y﹣2=0． （2）由题意可得 P（2，0）， 则直线 l 的参数方程为 （t 为参数）．） 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 则|PA|•|PB|=|t1|•|t2|， 将 （t 为参数）， 代入（x﹣1）2+y2=4， 得 t2+ t﹣3=0， 则△＞0， 由韦达定理可得 t1•t2=﹣3， 所以|PA|•|PB|=|﹣3|=3． 3．在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 关于坐标轴对称．以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系，A（ ， ），B（2 ，0）为椭圆 C 上两点． （Ⅰ）求直线 OA 的直角坐标方程与椭圆 C 的参数方程； （Ⅱ）若点 M 在椭圆 C 上，且点 M 第一象限内，求四边形 OAMB 的面积 S 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由 A（ ， ）得直线 OA 的倾斜角为 ， 所以直线 OA 斜率为 tan =﹣1，即 OA：x+y=0． 由 x=ρcosα，y=ρsinα 可得 A 的直角坐标为（﹣ ， ）， 因为椭圆 C 关于坐标轴对称，且 B（2 ，0）， 所以可设 C： ，其中 t＞0 且 t≠12， 将 A（﹣ ， ）代入 C，可得 t=4， 故椭圆 C 的方程为 ， 所以椭圆 C 的参数方程为 （α 为参数）． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 M（2 cosα，2sinα），0＜α＜ ． 点 M 到直线 OA 的距离 d= cosα+ sinα．参数方程 10 所以 S=S△MOA+S△MOB=（3cosα+ sinα）+2 sinα =3cosα+3 sinα =6sin（α+ ）， 所以当 α= 时， 四边形 OAMB 面积 S 取得最大值 6． 4．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2= ． （1）写出曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程； （2）已知点 P 是曲线 C2 上一点，求点 P 到曲线 C1 的最小距离． 【解答】解：（1）曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数）， 转换为直角坐标方程为：x﹣y+6=0． 曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2= ． 转化为直角坐标方程为： ． （2）椭圆方程 转换为： （θ 为参数）， 点 P（ ）是曲线 C2 上一点， 则：点 P 到直线的距离 d= ， 当 cos（ ）=﹣1 时， ． 5．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： （θ 为参数），在以 O 为极点，x 轴的非负半轴为 极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ（cosθ﹣sinθ）=4． （1）写出曲线 C1 和 C2 的普通方程； （2）若曲线 C1 上有一动点 M，曲线 C2 上有一动点 N，求使|MN|最小时 M 点的坐标． 【解答】解：（1）曲线 C1： （θ 为参数）， 转换为直角坐标方程为： ， 曲线 C2：ρ（cosθ﹣sinθ）=4． 转换为直角坐标方程为：x﹣y﹣4=0． （2）曲线 C1 上有一动点 M（2cosθ，sinθ），曲线 C2 上有一动点 N，参数方程 11 则：点 M 到直线的距离 d= ， 所以： ， 当 ， 所以： 解得：M（ ）． 6．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处，极轴与 x 轴的非负半轴重合，且长度单位相 同，直线 l 的极坐标方程为 ρsin（θ﹣ ）=5，曲线 C： （α 为参数，且 α∈[0， 2π））． （1）试写出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程； （2）若点 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值． 【解答】解：（1）直线 l 的极坐标方程为 ρsin（θ﹣ ）=5， 由 ， 得： ， ∴ ． ∴l 的直角坐标方程是 ， 曲线 C： （α 为参数，且 α∈[0，2π））． 则：曲线 C 的普通方程为：（x+2）2+y2=4． （2）曲线 C 是（﹣2，0）为圆心，半径为 2 的圆， 圆心 C 到直线 l 的距离为 d=4． 点 P 到直线 l 距离的最大值为 6． 7．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处，极轴与 x 轴的非负半轴重合，且长度单位相 同，直线 l 的极坐标方程为 （ρ∈R）．曲线 （α 为参数，且 α∈[0 ，2π））． （1）试写出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的极坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AB|的值． 【解答】解：（1）直线 l 的极坐标方程为 （ρ∈R）．参数方程 12 则：：直线 ， 曲线 （α 为参数，且 α∈[0，2π））． 则：曲线 C 的直角坐标方程为 x2+（y+2）2=2 将 代入上式得 ρ2+4ρsinθ+2=0 即为曲线 C 的极坐标方程． （2）将 代入曲线 C 的极坐标方程， 得 ， ∴|AB|=2． 8．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（θ 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 ρ（cosθ+sinθ）=m（m＞0） ． （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）若直线 与直线 l 交于点 A，与曲线 C 交于 M，N 两点．且|OA|•|OM|•|ON|=6 ，求 m． 【解答】解：（1）∵（x﹣1）2+y2=4， ∴x2+y2﹣2x﹣3=0， 故曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0． （2）将 代入 ρcosθ+ρsinθ=m， 得 ． 将 代入 ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0， 得 ρ1ρ2=﹣3， 则|OM|•|ON|=3， 则 ， ∴ ． 9．在直角坐标系 xOy 中，直线，的参数方程为 （t 为参数）．以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ，点 E 的直角坐标为（ 2，2 ），直线，与曲线 C 交于 A、B 两点．参数方程 13 （I）写出点 E 的极坐标和曲线 C 的普通方程； （II）当 tana=2 时，求点 E 到 A，B 两点的距离之积． 【解答】解：（Ⅰ）∵点 E 的直角坐标为（2，2 ）， ∴ =4，tanθ= = ， ， ∴点 E 的极坐标为（4， ）， ∵曲线 C 的极坐标方程为 ， ∴ρ2﹣ρ2cos2θ=4ρcosθ， ∴曲线 C 的普通方程为 y2=4x． （Ⅱ）∵tana=2 ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）． ∴直线 l 的普通方程为 2 ﹣y﹣2 =0，经过点 E（2，2 ）， ∴直线 l 的参数方程为 ，（T 为参数）， 把直线 l 的参数方程为 代入 y2=4x，化简，得： 3T2+5 T+13=0， ∴点 E 到 A，B 两点的距离之积： |EA|•|EB|=|T1T2|= ． 10．以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0≤φ＜π），曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ=8sinθ． （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，当 φ 变化时，求|AB|的最小值． 【解答】解：（1）由 ， 消去 t 得 xsinφ﹣ycosφ+2cosφ=0， 所以直线 l 的普通方程为 xsinφ﹣ycosφ+2cosφ=0． 由 ρcos2θ=8sinθ， 得（ρcosθ）2=8ρsinθ， 把 x=ρcosφ，y=ρsinφ 代入上式， 得 x2=8y，参数方程 14 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2=8y． （2）将直线 l 的参数方程代入 x2=8y， 得 t2cos2φ﹣8tsinφ﹣16=0， 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 则 ， ， 所以|AB|=|t1﹣t2|= = ． 当 φ=0 时，|AB|的最小值为 8． 11．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2+（y﹣5）2=9 （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0≤α＜π），直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点， ，求 l 的斜率和普通方程． 【解答】解：（Ⅰ）x2+（y﹣5）2=9 展开得：x2+y2﹣10y+16=0……………1 分 得 ρ2﹣10ρsinθ+16=0，所以 C 的极坐标方程：ρ2﹣10ρsinθ+16=0……3 分 （Ⅱ）将 （t 为参数）代入到 x2+（y﹣5）2=9 得：t2﹣8tsinα+7=0……………………………4 分 设 A，B 所对应的参数分别为 t1，t2，则 t1+t2=8sinα，t1•t2=7………5 分 所以 所以 ， 所以 l 的斜率 ……………………………8 分 得 l 的普通方程 和 ．……………………10 分 12．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： =1，曲线 C2： （φ 为参数），以坐标 原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求 C1，C2 的极坐标方程； （2）射线 l 的极坐标方程为 θ=α（ρ≥0），若 l 分别与 C1，C2 交于异于极点的 A，B 两点，求 的最大值． 【解答】解：（1）∵曲线 C1： =1，即 x2+4y2=4， ∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，参数方程 15 ∴C1 的极坐标方程为 ρ2（3sin2θ+1）=4， ∵曲线 C2： （φ 为参数）， ∴C2 的普通方程为（x﹣2）2+y2=4， ∵x=ρcosθ，y=ρsinθ， ∴C2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ． （2）∵射线 l 的极坐标方程为 θ=α（ρ≥0）， l 分别与 C1，C2 交于异于极点的 A，B 两点， ∴ ，∴|OA|2= ， ，∴|OB|2=16cos2α， ∴ =4cos2α（3sin2α+1） =（4﹣4sin2α）（3sin2α+1）， 令 t=sin2α，则 =（4﹣4t）（3t+1）=﹣12t2+8t+4， ∴t= ，即 sin 时， 取最大值 ． 13．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度，建立极坐标系．曲 线 C 的极坐标方程为 ，M，N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点． （1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标； （2）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程． 【解答】解：（1）由 ，得 ． 从而 C 的直角坐标方程 ，即 x﹣y=2． 当 θ=0 时，ρ=2，所以 M（2，0）． 当 θ= 时，ρ=﹣2，所以 N（﹣2， ），即 ． （2）M 点的直角坐标为（2，0），N 点的直角坐标为（0，﹣2）， 所以 P 点的直角坐标为（1，﹣1），则 P 点的极坐标为 ， 所以直线 OP 的极坐标方程为 （ρ∈R），或 （ρ∈R）（两个结果均可）． 14．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： ，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，参数方程 16 曲线 C2 是圆心极坐标为（3，π），半径为 1 的圆． （1）求曲线 C1 的参数方程和 C2 的直角坐标方程； （2）设 M，N 分别为曲线 C1，C2 上的动点，求|MN|的取值范围． 【解答】解：（1）∵曲线 C1： ， ∴C1 的参数方程为 （φ 为参数）， ∵曲线 C2 是圆心极坐标为（3，π），半径为 1 的圆， ∴曲线 C2 是圆心直角坐标为（﹣3，0），半径为 1 的圆， ∴C2 的直角坐标方程为（x+3）2+y2=1． （2）设 M（cosφ，2sinφ），C2（﹣3，0）， ∴ =﹣3cos2φ+6cosφ+13=﹣3（cosφ﹣1）2+16， ∵﹣1≤cosφ≤1，∴ ，2≤|MC2|≤4， ∴1≤|MN|≤5． ∴|MN|的取值范围是[1，5]． 15．已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），曲线 C1 的方程 为 x2+（y﹣1）2=1 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线 l 和曲线 C1 的极坐标系方程； （2）曲线 C2：θ=α（ρ＞0，0＜α＜ ）分别交直线 l 和曲线 C1 交于 A、B，求 的最大值． 【解答】解：（1）∵直线 l 的参数方程为 （t 为参数）， ∴y﹣4=﹣ ， ∴直线 l 的普通方程为： ，…………………（1 分） 直线 l 的极坐标方程为 ．…………………………………………（2 分） ∵曲线 C1 的方程为 x2+（y﹣1）2=1，即 x2+y2=2y， ∴C1 的极坐标方程为：ρ=2sinθ．………………………………………………………………（5 分） （2）直线 l 的极坐标方程为 ， 令 θ=α，则 =OA， ∴ ，……………………………………………………………………（6 分） 又|OB|=2sinα， ，……………………………………………………………………（7 分）参数方程 17 ∴ +sinα= = ， …………………（9 分） ∵0＜α＜ ，∴ ， ∴ = 时，即 时， 取得最大值 ．…………………………………（10 分） 16．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l：ρcos（θ+α） =1（其 中 α∈（0， ）与圆 C：ρ=2cosθ 交于 A，B 两点． （Ⅰ）若 α= ，求直线 l 和圆 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若|AB|= ，求 α． 【解答】解：（Ⅰ）∵直线 l：ρcos（θ+α）=1，α= ， ∴ρ（ ）=1， ∴直线 l 的直角坐标方程为 ． ∵圆 C：ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ， ∴圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1． （Ⅱ）∵|AB|= ，∴圆心（1，0）到直线 xcosα﹣ysinα=1 的距离为 ， ∴ = ， 解得 cosα= ，∴α= ． 17．已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 （t 是参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 M（x，y）为曲线 C 上任意一点，求 x+y 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由直线 l 的参数方程是 （t 是参数）， 转换为直角坐标方程为：y=2x+6， 故直线 l 的普通方程为 2x﹣y+6=0， 曲线 C 的极坐标方程为 ． 整理得： ， 所以 ，参数方程 18 即 ， 故曲线 C 的普通方程为 ． （Ⅱ）据题意设点 ， 则 ， = ， 所以 x+y 的取值范围是 ． 18．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2 acos（ ），（a ）． （1）分别写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；、 （2）已知点 P（2，﹣1），直线写曲线 C 相交于 M，N 两点，若|MN|2=5|PM|•|PN|，求实数 a 的值 ． 【解答】解：（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数）， 转换为直角坐标方程为：x﹣y﹣3=0． 曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2 acos（ ），（a ）． 转换为直角坐标方程为：x2+y2﹣2ax+2ay=0， （2）将直线的参数方程 （t 为参数），代入圆的直角坐标方程， 得到： ，（t1 和 t2 为 A、B 对应的参数）， 则： ，t1•t2=﹣6a． 由于|MN|2=5|PM|•|PN|， 故： ， 整理得： ， 故： ， 解得：a= ．参数方程 19 19．在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立坐标系，点 A 的极坐标为（2 ， ），曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+1=0，设直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点． （1）写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程； （2）求|AP||AQ||OP||OQ|的值． 【解答】解：（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数）， 转换为直角坐标方程为： ， 曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+1=0， 转换为直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+1=0， （2）点 A 的极坐标为（2 ， ），转换为直角坐标为：（3， ） 把 转换为极坐标方程为： ， 直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点， 则： ， 整理得： ， 解得： ， 故：|AP||AQ||OP||OQ|= =1． 20．在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x=﹣2，圆 C2： （θ 为参数），以坐标原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求 C1，C2 的极坐标方程； （2）若直线 C3 的极坐标方程为 ，设 C2，C3 的交点为 A，B，求△C2AB 的面积． 【解答】解：（1）因为 x=ρcosθ，y=ρsinθ， ∴C1 的极坐标方程为 ρcosθ=﹣2， C2 的极坐标方程为 ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0． （2）将 代入 ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0，参数方程 20 得 ， 解得 ， ， ． 因为 C2 的半径为 1， 则△C2AB 的面积 ． 21．在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数）；曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ，点 P 在曲线 C1 上， 点 P 的极角为 ． （1）求曲线 C1 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （2）若曲线 C2 的参数方程为 （α 为参数），由曲线 C2 按变换 得曲线 C3 ，点 Q 为曲线 C3 上的动点，求线段 PQ 的中点 M 到直线 l 的距离的最大值． 【解答】解：（1）已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数）； 转换为直角坐标方程为：x+2y﹣3=0． 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ， 转换为直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2=4． （2）点 P 在曲线 C1 上，点 P 的极角为 ． 则：P（2，2）， 曲线 C2 的参数方程为 （α 为参数）， 由曲线 C2 按变换 得曲线 C3， 则： +y2=1．则：Q（2cosα，sinα）， 所以：PQ 的中点坐标为 M（ ）， 所以：点 M 到直线 x+2y﹣3=0 的距离 d= = ，参数方程 21 当 时， ． 22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）．以原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρsinθ﹣12=0． （1）求⊙C 的参数方程； （2）求直线 l 被⊙C 截得的弦长． 【解答】解：（1），⊙C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρsinθ﹣12=0． 转换为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y﹣12=0， 整理得：x2+（y﹣2）2=16， 转换为参数方程为： （θ 为参数）． （2）直线 l 的参数方程为 （t 为参数）． 转换为直角坐标方程为：2x﹣y﹣3=0． 所以：圆心（0，2）到直线 2x﹣y﹣3=0 的距离 d= ， 所以直线被圆所截得弦长为：l=2 ． 23．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中 取相同的长度单位．已知圆 C 是以极坐标系中的点（2， ）为圆心， 为半径的圆，直线 l 的参数方程为 （1）求 C 与 l 的直角坐标系方程； （2）若直线 l 与圆 C 交于 M，N 两点，求△MON 的面积． 【解答】解：（1）∵（2， ），∴x=2× =﹣ ，y=2× =﹣1， ∴（2， ）对应的直角坐标系下的点为（﹣ ）， ∵圆 C 是以极坐标系中的点（2， ）为圆心， 为半径的圆， ∴圆 C 的直角坐标系方程为：（x+ ）2+（y+1）2=3． ∵直线 l 的参数方程为 ， ∴l 的直角坐标系方程为：y+2=﹣ ，即 ．……………………（4 分） （2）圆心到直线 l 的距离为 ，参数方程 22 弦长|MN|=2 =2 =2 ， ∴△MON 的面积 S△MON= = = ．………………………………………（10 分） 24．在直角坐标系中，曲线 C 的方程为 x2+（y+1）2=9，直线 l 的参数方程为 （t 为参 数）．以 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 C 的极坐标方程及直线 l 的普通方程； （2）若直线 l 经过点 M（1，0），且交曲线 C 于 A、B 两点，求 的值． 【解答】解：（1）由 x2+（y+1）2=9，得 x2+y2+2y﹣8=0， 由 ρ2=x2+y2，y=ρsinθ， 得曲线 C 的极坐标方程：ρ2+2ρsinθ﹣8=0． 由 （t 为参数），可得直线 l 的普通方程为 y=xtanα+1； （2）由直线 l 经过点 M（1，0），得 tanα=﹣1， ∴直线 l 的参数方程为 ． 设 A，B 对应的此时为 t1，t2，将直线的参数方程代入 x2+（y+1）2=9， 得 t2=7，即 t= ． ∴ = ． 25．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数， ），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0 ． （Ⅰ）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求|AB|的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）将 （t 为参数， ）消去参数 t， 得直线， ，即 ． 将 代入 ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0，得 x2+y2﹣2x﹣3=0， 即曲线 C 的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=4；参数方程 23 （Ⅱ）设直线 l 的普通方程为 ，其中 k=tanα，又 ， ∴k＞0，则直线 l 过定点 ， ∵圆 C 的圆心 C（1，0），半径 r=2， ＜2， 故点 M 在圆 C 的内部． 当直线 l 与线段 CM 垂直时，|AB|取得最小值， ∴ ． 26．已知曲线 C1： （α 为参数），曲线 C2： （θ 为参数） （1）化 C1，C2 的方程为普通方程； （2）若 C1 上的点 P 对应的参数为 α= ，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 l： （t 为参数）的距离的最小值及 M 点坐标． 【解答】（1）曲线 C1： （α 为参数）， 所以 C1 的普通方程为：（x+4）2+（y﹣3）2=1， 曲线 C2： （θ 为参数） 所以 C2 的普通方程为： ， （2）当 时，C1 上的点 P（﹣4，4）， 设 C2 上的点 Q（8cosθ，3sinθ）， 则 PQ 的中点 M（﹣2+4cosθ，2+ sinθ）， 直线 l： （t 为参数）转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣7=0． 故：仅当 （当 sin2θ+cos2θ=1） 解得： ， ， 故：点 M 的坐标为（ ）． 27．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，曲线 C 的极坐标方 程为 ρ=4sinθ． （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；参数方程 24 （2）设曲线 C 与直线 l 交于 A、B 两点，且 M 点的坐标为（3，4），求|MA|•|MB|的值． 【解答】解：（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数）， 转换为直角坐标方程为：x﹣y+1=0， 曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4sinθ． 转换为：ρ2=4ρsinθ， 即 x2+y2=4y， 所以 C 的普通方程是 x2+（y﹣2）2=4． （2）将直线方程转化为标准形式的参数方程 l： （t 为参数）， 代入 x2+（y﹣2）2=4 中， 得： ， △=50﹣36=14＞0， 设 A，B 对应的参数分别为 t1'，t2'， 则 t1't2'=9， 则|MA|•|MB|=|t1'||t2'|=9． 28．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C1： ρ=2sinθ，曲线 C2： （t 为参数）． （Ⅰ）求曲线 C1 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点 M（0， ），若曲线 C1 与曲线 C2 相交于 P，Q 两点，求|MP|﹣|MQ|的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵曲线 C1：ρ=2sinθ，∴ρ2=2ρsinθ， ∴曲线 C1 的直角坐标方程为 x2+y2﹣2y=0． （Ⅱ）∵曲线 C2： （t 为参数）． ∴曲线 C2 的直角坐标方程为 2x﹣2y+1=0， 联立 ，得 P（ ， ），Q（ ， ）或 Q（ ， ），P（ ， ），参数方程 25 ∵点 M（0， ）， ∴当 P（ ， ），Q（ ， ）时， |MP|= = ， |MQ|= = ， |MP|﹣|MQ|= =﹣ ． 当 Q（ ， ），P（ ， ）时， |MQ|= = ， |MP|= = ， |MP|﹣|MQ|= = ． 29．已知曲线 （t 为参数），曲线 C2：4ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0．（设直角坐标系 x 正半轴与极坐系极轴重合）． （1）求曲线 C1 与直线 C2 的普通方程； （2）若点 P 在曲线 C1 上，Q 在直线 C2 上，求|PQ|的最小值． 【解答】解：（1）曲线 （t 为参数）， 转换为直角坐标方程为：（x+2）2+（y﹣1）2=4， 曲线 C2：4ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0． 转换为 4x﹣y﹣1=0． （2）由（1）得： 圆心（﹣2，1）到直线距离 d= ， 所以：|PQ|的最小值为 ． 30．已知曲线 C 的参数方程是 （θ 为参数），以直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρ（cosθ+sinθ）=4． （Ⅰ）写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （Ⅱ）试求曲线 C 上任意一点 M 到直线 l 的距离的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）曲线 C 的参数方程是 （θ 为参数）， 所以曲线 C 的普通方程为：x2+y2=1，参数方程 26 直线 l 的极坐标方程为 ρ（cosθ+sinθ）=4． 所以直线的直角坐标方程为：x+y﹣4=0． （Ⅱ）由（Ⅰ）得： 圆心 C（0，0）到直线 l 的距离为 ， 所以，圆上的点 M 到直线距离的最大值为 ． 31．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），φ∈[0，π）， 以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 极坐标方程为 ρ=4cosθ． （1）若直线 l 与圆 C 相切，求 φ 的值； （2）已知直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，记点 A、B 相应的参数分别为 t1、t2，当 t1=2t2 时，求 AB 的 长． 【解答】解：（1）∵圆 C 极坐标方程为 ρ=4cosθ， ∴圆 C 的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4， 将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程得： （tcosφ﹣4）2+（tsinφ）2=4， ∴t2﹣8tcosφ+12=0， ∵直线 l 与圆 C 相切， ∴△=（8cosφ）2﹣4×12=0， ∴cosφ= ，或 cosφ=﹣ ，φ∈[0，π]， ∴φ= 或 φ= ． （2）将 代入圆 C：（x﹣2）2+y2=4，得： t2﹣8tcosφ+12=0， 则 t1+t2=8cosφ，t1t2=12， ∵t1=2t2，∴3t2=8cosφ， =12， ∴64cos2φ=54，解得 cos2， ∴AB=|t1﹣t2|= = = = ． 32．在直角坐标系 xOy 中，已知点 P（0， ）．曲线 C 的参数方程为 （φ 为参数 ），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos（θ﹣ ） = ．参数方程 27 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点．求|PA|•|PB|的值． 【解答】解：（1）∵曲线 C 的参数方程为 （φ 为参数）， ∴曲线 C 的普通方程为 =1． ∵直线 l 的极坐标方程为 2ρcos（θ﹣ ）= ． ∴2 +2 = ， ∴ ， ∴直线 l 的直角坐标方程为 =0． （2）联立 ，得 或 ， ∴A（﹣1，2 ），B（2，﹣ ）， ∵P（0， ），∴|PA|= =2，|PB|= =4， ∴|PA|•|PB|=2×4=8． 33．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数，a＞1），过点 A（﹣2，﹣2 ）的直线 l 的参数方程为 （t 为参数）． （Ⅰ）求曲线 C 的普通方程，并说明它表示什么曲线； （Ⅱ）设曲线 C 与直线 l 分别交于 M1，M2 两点，若|AM1|，|M1M2|，|AM2|成等比数列，求 a 的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数，a＞1）， ∴曲线 C 的普通方程为 ， ∵a＞1，∴曲线 C 表示焦点在 x 上的椭圆． （Ⅱ）将直线 l 的参数方程 （t 为参数）代入椭圆方程： ， 整理得 ， 即 ，参数方程 28 △=8a2（a2+1）＞0， 设 M1，M2 对应的参数分别为 t1、t2， 那么 ， 由 t 的几何意义知|AM1|=|t1|，|AM2|=|t2|，|M1M2|=|t1﹣t2|， 于是 t1＞0，t2＞0， ， 若|AM1|，|M1M2|，|AM2|成等比数列，则有 ， 即 ，解得 a=2， ∴a 的值为 2． 34．已知直线 l： （t 为参数），曲线 Γ： （θ 为参数）． （1）分别求直线 l 与曲线 Γ 的普通方程； （2）已知点 F（1，0），若直线 l 与曲线 Γ 相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的上方），求|FA|﹣|FB| 的值． 【解答】解：（1）直线 l： （t 为参数）， 转换为直角坐标方程为： ． 曲线 Γ： （θ 为参数）． 转换为直角坐标方程为： ． （2）知点 F（1，0），若直线 l 与曲线 Γ 相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的上方）， 把直线 l 的参数方程 （t 为参数）代入 ， 得到： ， 所以： ， ，参数方程 29 所以：|FA|﹣|FB|=﹣ =﹣ ． 35．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）以坐标原点 O 为极点 ，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ． （Ⅰ）求直线 l 的极坐标方程及曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若 A（ρ1，α）是直线 l 上一点，B（ρ2，α﹣ ）是曲线 C 上一点，求 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）直线 l 的参数方程为 （t 为参数）， 转换为直角坐标方程为：y﹣1= ， 整理得： ， 转换为极坐标方程为 ． 曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ． 整理得：ρ2=2ρcosθ， 转换为直角坐标方程 x2+y2=2x， 即：x2+y2﹣2x=0． （Ⅱ）由于 A（ρ1，α）是直线 l 上一点， 则： ， B（ρ2，α﹣ ）是曲线 C 上一点， 则： ， = （ ）， = ， =sin（2 ）≤1， 故： 的最大值为 1． 36．在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），椭圆 C 的参数方程为 （φ 为参数），直线 l 经过椭圆 C 的左焦点．参数方程 30 （1）求椭圆 C 的焦点坐标和实数 k 的值； （2）设直线 l 与椭圆 C 的相交于点 A，B，求|AB|． 【解答】（本小题满分 12 分） 解：（1）∵椭圆 C 的参数方程为 （φ 为参数）， ∴椭圆 C 的直角坐标方程为 =1，…………………（2 分） ∴c= = ，∴椭圆 C 的焦点为（﹣2，0），（2，0），……………（4 分） ∵直线 l 经过椭圆 C 的左焦点． ∴把（﹣2，0）代入直线 l 的参数方程，得 k=﹣2．……………………（6 分） （2）解法一：∵直线 l 经过椭圆 C 的左焦点， ∴直线 l 的直角坐标方程为 y=x+2，…………………………………（8 分） 联立方程 ，解得 ， ，……………………………（10 分） 即直线 l 与椭圆 C 的交点坐标是（0，2），（﹣ ）， ∴|AB|= = ． …………………………………（12 分） 解法二：椭圆 C 的直角坐标方程为 =1，………………………………（8 分） 把 代入上式并整理，得： 3t2﹣4 ，解得 t1=2 ，t2=﹣ ，………………………………（10 分） ∴|AB|=|t1|+|t2|=2 + = ． ………………………………（12 分） 37．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 的方程为 ． （Ⅰ）求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （Ⅱ）若 A，B 分别为曲线 C1 和 C2 上的任意点，求|AB|的最小值．参数方程 31 【解答】解：（Ⅰ）由 ， 得 ， 代入 ， 得 C1 的普通方程 y=﹣x+4． 由 ， 得 ρ2+3ρ2sin2θ=4． 因为 ρ2=x2+y2，y=ρsinθ， 所以 C2 的直角坐标方程为 ． （Ⅱ）因为椭圆 C2 的参数方程为 （θ 为参数）． 可设点 B 为（2cosθ，sinθ）， 由点到直线的距离公式， 得 ， = ， = ， 其中 ， ． 由三角函数性质可知， 当 sin（θ+φ）=1 时，|AB|取得最小值 ． 38．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： （t 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 C2：ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0． （Ⅰ）求 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程，并说明方程所表示的曲线名称； （Ⅱ）判断曲线 C1 与曲线 C2 的位置关系，若相交，求出弦长． 【解答】解：（Ⅰ）曲线 C1： （t 为参数）． 转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣4=0．（x≥2）． 故该曲线表示一条射线． 曲线 C2：ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0．参数方程 32 转换为直角坐标方程为：x2+y2﹣10x﹣6y+25=0， 整理得：（x﹣5）2+（y﹣3）2=9， 该曲线表示以（5，3）为圆心，3 为半径的圆． （Ⅱ）由于该圆是以（5，3）为圆心，3 为半径， 所以与射线 x﹣2y﹣4=0．（x≥2）有两个交点． 圆心到射线的距离 d= ， 所以弦长 l=2 =4． 39．已知曲线 C1： （t 为参数），C2： （θ 为参数）． （Ⅰ）化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （II）若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3：2x﹣y﹣7=0 距 离的最大值． 【解答】解：（I）曲线 C1： （t 为参数），C2： （θ 为参数）．消去参 数 t，θ 可得： ………………（4 分） C1 为圆心是（4，﹣3），半径是 1 的圆．C2 为中心是坐标原点， 焦点在 y 轴上，长半轴长是 4，短半轴长是 2 的椭圆．…（6 分） （Ⅱ）当 时，P（4，﹣2）．Q（2cosθ，4sinθ），故 M（2+cosθ，﹣1+2sinθ）…（8 分） C3 为直线 2x﹣y﹣7=0， M 到 C3 的距离 ……（10 分） 从而当 θ﹣ = ，即 θ= 时，d 取得最大值 …（12 分） 40．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|AB|= ．求直线 l 的倾斜角 α 的值． 【解答】解：（1）∵曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ． 由 ，得曲线 C 的直角坐标方程是 x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．参数方程 33 （2）将线 l 的参数方程为 （t 为参数）代入曲线 C 的方程（x﹣2）2+y2=4． 得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4． 化简得 t2﹣2tcosα﹣3=0， 设 A，B 两点对应的参数分别为 ，t2． 则 ， ∴|AB|=t1﹣t2= = = ， ∴4cos2α=2，解得 cosα= ， 解得 α= 或 α= ． 故直线 l 的倾斜角 α 的值为 或 ．