中考数学模试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．（3分）实数﹣的绝对值是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣
2．（3分）若m=﹣2，则代数式m2﹣2m﹣1的值是（ ）
A．9 B．7 C．﹣1 D．﹣9
3．（3分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（ ）
A．32° B．68° C．60° D．58°
4．（3分）海南省是中国国土面积（含海域）第一大省，其中海域面积约为2000000平方公里，数据2000000用科学记数法表示为2×10n，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（3分）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（3分）下列运算结果为x﹣1的是（ ）
A．1﹣ B．• C．÷ D．
7．（3分）如图，两个转盘分别自由转动一次，当停止转动时，两个转盘的指针都指向2的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（ ）m．
A．20 B．30 C．30 D．40
9．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，=，则= ．
13．（3分）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 ．
14．（3分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和直线l外一点P．
求作：直线l的平行直线，使它经过点P．
作法：如图2．
（1）过点P作直线m与直线l交于点O；
（2）在直线m上取一点A（OA＜OP），以点O为圆心，OA长为半径画弧，与直线l交于点B；
（3）以点P为圆心，OA长为半径画弧，交直线m于点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；
（4）作直线PD．
所以直线PD就是所求作的平行线．
请回答：该作图的依据是 ．
15．（3分）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C= ，…按此规律，写出tan∠BAnC= （用含n的代数式表示）．
三、解答题：本大题共7小题，共55分。
16．（6分）计算：2cos60°﹣（﹣1）2018+|﹣3|﹣（1﹣）0
17．（6分）某教育局为了解本地八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图）
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）α= ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形图．
（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该地共有八年级学生2000人，请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人？
18．（7分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与直线y=x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y=（x＞0）的图象于点N．
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
20．（8分）已知BC是⊙O的直径，AD是⊙
O的切线，切点为A，AD交CB的延长线于点D，连接AB，AO．
（Ⅰ）如图①，求证：∠OAC=∠DAB；
（Ⅱ）如图②，AD=AC，若E是⊙O上一点，求∠E的大小．
21．（9分）已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是 ．
A.0 B.1 C.2 D.1或2
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．
（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
22．（11分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．
（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；
（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．
【考点】28：实数的性质．菁优网版权所有
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】解：﹣的绝对值是．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的性质，负数的绝对值是它的相反数．
2．
【考点】33：代数式求值．菁优网版权所有
【分析】把m=﹣2代入代数式m2﹣2m﹣1，即可得到结论．
【解答】解：当m=﹣2时，
原式=（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣1=4+4﹣1=7，
故选：B．
【点评】本题考查了代数式求值，也考查了有理数的计算，正确的进行有理数的计算是解题的关键．
3．
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
【解答】解：根据题意可知，∠2=∠3，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=90°﹣∠1=58°．
故选：D．
【点评】主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为90°．解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．
4．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：∵2000000=2×106，
∴n=6．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．
【考点】I7：展开图折叠成几何体．菁优网版权所有
【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．
【解答】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体，故选：A．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
6．
【考点】6C：分式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】根据分式的基本性质和运算法则分别计算即可判断．
【解答】解：A、1﹣=，故此选项错误；
B、原式=•=x﹣1，故此选项正确；
C、原式=•（x﹣1）=，故此选项错误；
D、原式==x+1，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算顺序和运算法则是解题的关键．
7．
【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与都指向2的情况数，继而求得答案．
【解答】解：列表如下：
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
∵共有16种等可能的结果，两个转盘的指针都指向2的只有1种结果，
∴两个转盘的指针都指向2的概率为，
故选：D．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【分析】先根据CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：在Rt△CDE中，
∵CD=20m，DE=10m，
∴sin∠DCE==，
∴∠DCE=30°．
∵∠ACB=60°，DF∥AE，
∴∠BGF=60°
∴∠ABC=30°，∠DCB=90°．
∵∠BDF=30°，
∴∠DBF=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BC===20m，
∴AB=BC•sin60°=20×=30m．
故选：B．
方法二：可以证明△DGC≌△BGF，所以BF=DC=20，所以AB=20+10=30，
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
9．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
10．
【考点】MC：切线的性质．菁优网版权所有
【分析】首先连接OD、BD，判断出OD∥BC，再根据DE是⊙O的切线，推得DE⊥OD，所以DE⊥BC；然后根据DE⊥BC，CD=5，CE=4，求出DE的长度是多少；最后判断出BD、AC的关系，根据勾股定理，求出BC的值是多少，再根据AB=BC，求出AB的值是多少，即可求出⊙O的半径是多少．
【解答】解：如图1，连接OD、BD，，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
又∵AB=BC，
∴AD=CD，
又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC，
∵CD=5，CE=4，
∴DE=，
∵S△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2，
∴5BD=3BC，
∴，
∵BD2+CD2=BC2，
∴，
解得BC=，
∵AB=BC，
∴AB=，
∴⊙O的半径是；
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了切线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．
【考点】62：分式有意义的条件．菁优网版权所有
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣4≠0，
解得x≠4．
故答案为：x≠4．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12．
【考点】SC：位似变换．菁优网版权所有
【分析】直接利用位似图形的性质得出△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴==，
∴==．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
13．
【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．菁优网版权所有
【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
【解答】解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4，
将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4，
解得：a=﹣，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣（x+6）2+4．
故答案为：y=﹣（x+6）2+4．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
14．
【考点】N3：作图—复杂作图．菁优网版权所有
【分析】利用作法得OA=OB=PD=PC，CD=AB，原式可判断△OAB≌△PCD，则∠AOB=∠CPD，然后根据平行线的判定方法可判断PD∥l．
【解答】解：如图2，由作法得OA=OB=PD=PC，CD=AB，则△OAB≌△PCD，
所以∠AOB=∠CPD，
所以PD∥l．
故答案为三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
15．
【考点】T7：解直角三角形；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质．菁优网版权所有
【分析】作CH⊥BA4于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A4H，根据正切的概念求出tan∠BA4C，总结规律解答．
【解答】解：作CH⊥BA4于H，
由勾股定理得，BA4==，A4C=，
△BA4C的面积=4﹣2﹣=，
∴××CH=，
解得，CH=，
则A4H==，
∴tan∠BA4C==，
1=12﹣1+1，
3=22﹣2+1，
7=32﹣3+1，
∴tan∠BAnC=，
故答案为：；．
【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共55分。
16．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】直接利用特殊角的三角函数值和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简各数得出答案．
【解答】解：原式=2×﹣1+3﹣1
=2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．菁优网版权所有
【分析】（1）用1减去其它组的百分比即可求得a的值，利用360°乘以对应的百分比即可求得扇形圆心角的度数，再求得时间是8天的人数，从而补全直方图；
（2）根据众数、中位数的定义即可求解；
（3）利用总人数2000乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（1）a=1﹣（40%+20%+25%+5%）=1﹣90%=10%，
圆心角的度数为360°×10%=36°；
（2）众数是5天，中位数是6天；
（3）2000×（25%+10%+5%）=800（人）．
答：估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有800人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．
【考点】AD：一元二次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得
10（1+x）2=12.1，
解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）．
∵平均每人每月最多可投递0.6万件，
∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务
∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6=1≈2（人）．
答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
19．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】（1）将A点代入y=x﹣2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．
（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；
②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．
【解答】解：（1）将A（3，m）代入y=x﹣2，
∴m=3﹣2=1，
∴A（3，1），
将A（3，1）代入y=，
∴k=3×1=3，
（2）①当n=1时，P（1，1），
令y=1，代入y=x﹣2，
x﹣2=1，
∴x=3，
∴M（3，1），
∴PM=2，
令x=1代入y=，
∴y=3，
∴N（1，3），
∴PN=2
∴PM=PN，
②P（n，n），n＞0
点P在直线y=x上，
过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2于点M，
M（n+2，n），
∴PM=2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∵PN=|﹣n|，
||≥2
∴0＜n≤1或n≥3
【点评】
本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．
20．
【考点】MC：切线的性质．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）先由切线和直径得出直角，再用同角的余角相等即可；
（Ⅱ）由等腰三角形的性质和圆的性质直接先判断出∠ABC=2∠C，即可求出∠C．
【解答】解：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴DA⊥AO，
∴∠DAO=90°，
∴∠DAB+∠BAO=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠DAB，
（Ⅱ）∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C，
∵AD=AC，
∴∠D=∠C，
∴∠OAC=∠D，
∵∠OAC=∠DAB，
∴∠DAB=∠D，
∵∠ABC=∠D+∠DAB，
∴∠ABC=2∠D，
∵∠D=∠C，
∴∠ABC=2∠C，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴2∠C+∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴∠E=∠C=30°
【点评】此题是切线的性质题，主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，解本题的关键是得出∠ABC=2∠D．
21．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H3：二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；
（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；
（3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．
【解答】解：（1）∵函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），
∴△=（m﹣1）2+4m=（m+1）2≥0，
则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，
故选D；
（2）y=﹣x2+（m﹣1）x+m=﹣（x﹣）2+，
把x=代入y=（x+1）2得：y=（+1）2=，
则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上；
（3）设函数z=，
当m=﹣1时，z有最小值为0；
当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；
当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，
当m=﹣2时，z=；当m=3时，z=4，
则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
22．
【考点】RB：几何变换综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据旋转的性质可知B′D′=BD=10，CD′=B′D′﹣BC=2，由tan∠B′D′A′=，可求出CE，即可计算△CED′的面积，S A′B′CE=S A′B′D′﹣S CED′；
（2）分类讨论，当0≤x≤时和当＜x≤4时，分别列出函数表达式；
（3）分类讨论，当AB′=A′B′时；当AA′=A′B′时；当AB′=AA′时，根据勾股定理列方程即可．
【解答】解：（1）∵AB=6cm，AD=8cm，
∴BD=10cm，
根据旋转的性质可知B′D′=BD=10cm，CD′=B′D′﹣BC=2cm，
∵tan∠B′D′A′=，
∴，
∴CE=cm，
∴S A′B′CE=S A′B′D′﹣S CED′=（cm2）；
（2）①当0≤x＜时，CD′=2x+2，CE=x，
∴S△CD′E=x2+x，
∴y=×6×8﹣x2=﹣x2﹣x+24；
②当≤x≤4时，B′C=10﹣2x，CE=（10﹣2x）
∴y=×（10﹣2x）2=x2﹣x+．
（3）①如图1，当AB′=A′B′时，x=0秒；
②如图2，当AA′=A′B′时，A′N=BM=BB′+B′M=2x+，A′M=NB=，
∵AN2+A′N2=36，
∴（6﹣）2+（2x+）2=36，
解得：x=，x=（舍去）；
③如图2，当AB′=AA′时，A′N=BM=BB′+B′M=2x+，A′M=NB=，
∵AB2+BB′2=AN2+A′N2
∴36+4x2=（6﹣）2+（2x+）2
解得：x=．
综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、秒、．
【点评】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．
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