立体几何利用空间向量法求二面角和线面角训练

立体几何二面角·线面角大题训练（30 题附详解答案） 1．如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= ，∠ACB=90°， M 是线段 PD 上的一点不包括端点． （1）求证：BC⊥平面 PAC； （2）求 A 点到平面 PCD 的距离； （3）试确定点 M 的位置，使直线 MA 与平面 PCD 所成角的正弦值为 ． 2．如图，三棱锥 A﹣BCD 中，AB⊥平面 BCD，BC⊥CD， ，BC=2，E 是 AC 的中点． （1）若 F 是 AD 的中点，证明：平面 BEF⊥平面 ABC； （2）若 AF=2FD，求平面 BEF 与平面 BCD 所成锐二面角的大小． 3．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且 AB⊥BC，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E 是 PC 的中点． （1）求证：DE⊥平面 PBC； （2）求二面角 A﹣PD﹣E 的余弦值．4．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，已知 CA=CB=1，AA1=2，∠BCA=90° （1）求异面直线 BA1 与 CB1 所成角的余弦值； （2）求二面角 B﹣AB1﹣C 的平面角的余弦值． 5．如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，已知 AB⊥AC，AB=3，AC=4，AA1=4． （1）证明：B1C⊥AC1； （2）若 BP=1，求二面角 P﹣A1C﹣A 的余弦值． 6．如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，且 AB= ，AF=1． （Ⅰ）求点 F 到平面 BDE 的距离；（Ⅱ）求 AC 与平面 BDE 所成的角． 7．如图，四边形 ABCE 中（如图 1），D，F 分别为 AE 和 EC 的中点，∠A=90°，CD=AE=2，AB=1，BC= ， 将四边形 ABCE 沿 CD 折起（如图 2），使得 BC⊥BE． （1）求证：BF⊥CD； （2）求二面角 A﹣BE﹣D 的大小． 8．如图，在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，D 是 BC 的中点． （Ⅰ）证明 A1B∥平面 ADC1； （Ⅱ）若 C1C= CA=2，求直线 AB 与平面 ADC1 所成角的正弦值． 9．如图所示，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA⊥平面 ABCD，且 PA=PB=1，点 E 在线段 PC上，且 PE=2EC． （Ⅰ）证明：平面 BDE⊥平面 PCD； （Ⅱ）求二面角 P﹣BD﹣E 的余弦值． 10．在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA=PD=2，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠A=60°， E 是 D 的中点． （1）求证：BE⊥平面 PAD； （2）求平面 PAB 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值． 11．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，PA⊥平面 ABCD，ED∥PA，且 PA=2ED，直线 PC 与平面 ABCD 所成的 角为 45°． （1）求直线 PC 与平面 PBE 所成角的正弦值； （2）求二面角 P﹣CE﹣D 的大小． 12．如图，正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB=2，AA1=3，F 为棱 AC 上靠近 A 的三等分点，点 E 在棱 BB1 上且 BF∥面 A1CE． （1）求 BE 的长； （2）求二面角 A1﹣CE﹣B1 的余弦值． 13．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别是 CC1，B1C1 的中点． （1）求证：A1F∥平面 AD1E； （2）求二面角 D1E﹣A﹣DC 余弦值． 14．如图所示，四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 2 的菱形，PA⊥平面 ABCD，E，F 分别为 CD，PB 的中点， AP=2，AE= ． （1）求证：EF∥平面 PAD； （2）求证：平面 AEF⊥平面 PAB； （3）求二面角 P﹣AE﹣F 的大小．15．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，CC1⊥平面 ABC，D，E，F，G 分别为 AA1，AC，A1C1，BB1 的中点， 且 AB=BC= ，AC=2 ，AA1= ． （1）证明：AC⊥FG； （2）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交； （3）求直线 BD 与平面 BEC1 所成角的正弦值． 16．在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，∠BAD=60°，PA= ，PD=3，PD⊥CD，E 为 AB 的中 点． （1）证明：PE⊥CD； （2）求二面角 C﹣PE﹣D 的正切值． 17．如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，且 E，F 分别是 BC，B1C1 中点．（1）求证：A1B∥平面 AEC1； （2）求直线 AF 与平面 AEC1 所成角的正弦值． 18．如图，ABEF 为等腰梯形，AB∥EF，正方形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直，且 AB=2，EF=1，O 是 AB 的中点，M 是 CE 的中点． （Ⅰ）求证：OM∥平面 DAE； （Ⅱ）若等腰梯形 ABEF 的高为 ，求 OM 与平面 DEF 所成角的正弦值． 19．如图，已知长方形 ABCD 中， ， ，M 为 DC 的中点．将△ADM 沿 AM 折起，使得平 面 ADM⊥平面 ABCM． （1）求证：AD⊥BM； （2）若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，二面角 E﹣AM﹣D 的余弦值为20．已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，E，F 分别为底 AB，CD 上的点，且 EF⊥AB，EF=EB= CF=2，EA= FD ，沿 EF 将平面 AEFD 折起至平面 AEFD⊥平面 EBCF． （Ⅰ）求证：平面 ABD⊥平面 BDF； （Ⅱ）若二面角 B﹣AD﹣F 的余弦值为 ，求 AE 的长度． 21．如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是正方形，且侧棱和底面垂直． （1）求证：BD⊥平面 ACC1A1； （2）当 ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体时，求二面角 B﹣C1D﹣C 的余弦值． 22．如图 1，△ABC 为等边三角形，D，E 分别为 AB，AC 的中点，O 为 DE 的中点，BC=4．将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使得平面 A1DE⊥平面 BCED，F 为 A1C 的中点，如图 2． （1）求证：EF∥平面 A1BD； （2）求点 F 到平面 A1OB 的距离．23．如图，在几何体 ABCDE 中，△AED 为等边三角形，AB∥CD，∠ABC=90°，∠BAD=60°，AD=AB=2，BE=3 ． （Ⅰ）求证：AD⊥BE （Ⅱ）求直线 BE 与平面 AED 所成的角的大小． 24．ABCD 为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面 ABCD，PA=a， （1）求证：CD⊥平面 PAC； （2）求点 C 到平面 PBD 的距离． 25．已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为菱形，且∠ABC=60°，PB=PD=AB=2，PA=PC，AC 与 BD 相交于点 O ．（Ⅰ）求证：PO⊥底面 ABCD； （Ⅱ）求点 O 到平面 PCD 的距离； 26．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，AC∩BD=O，将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，得到三棱锥 A﹣BCD ． （Ⅰ）求证：平面 AOC⊥平面 BCD； （Ⅱ）求三棱锥 A﹣BCD 的体积最大时的二面角 B﹣AC﹣D 的余弦值． （Ⅲ）若三棱锥 A﹣BCD 的体积为 ，求 AC 的长． 27．如图所示，四棱锥 S﹣ABCD 中，SA⊥底面 ABCD，∠ABC=90°， ，BC=1， ，∠ACD=60° ，SA=2，E 为 CD 的中点． （1）求证：BC∥平面 SAE； （2）求直线 SD 与平面 SBC 所成角的正弦值．28．在直三棱柱 ABC﹣A′B′C′中，AD⊥平面 A′BC，其垂足 D 在直线 A′B 上． （1）求证：BC⊥A′B； （2）若 AD= ，P 为 AC 的中点，求 P 到平面 A′BC 的距离． 29．如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，PA⊥AC，AB=BC=CA=AP=2，G 是△ABC 重心，E 是 线段 PC 上一点，且 CE=λCP． （1）当 EG∥平面 PAB 时，求 λ 的值； （2）当直线 CP 与平面 ABE 所成角的正弦值为 时，求 λ 的值．30．如图，在几何体 EF﹣ABCD 中，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC， AB= ，CE=EF=1． （Ⅰ）求证：AF∥平面 BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面 BDE； （Ⅲ）求二面角 A﹣BF﹣D 的余弦值． 答案 1．如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= ，∠ACB=90°， M 是线段 PD 上的一点不包括端点． （1）求证：BC⊥平面 PAC； （2）求 A 点到平面 PCD 的距离； （3）试确定点 M 的位置，使直线 MA 与平面 PCD 所成角的正弦值为 ．【解答】证明：（1）∵PA⊥底面 ABCD，BC⊂平面 AC，∴PA⊥BC， ∵∠ACB=90°， ∴BC⊥AC，又 PA∩AC=A， ∴BC⊥平面 PAC． 解：（2）取 CD 的中点 E，则 AE⊥CD，∴AE⊥AB， 又 PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AE， 建立如图所示空间直角坐标系， 则 A（0，0，0），P（0，0， ），C（ ， ，0）， D（ ，﹣ ，0） ∴ =（0，0，﹣ ）， =（ ， ，﹣ ）， =（ ，﹣ ，﹣ ）． 设平面 PDC 的一个法向量 =（x，y，z）， 则 ，取 x=2，得 =（2，0，1）， ∴A 点到平面 PCD 的距离： d= = = ．（Ⅲ）设 M（x，y，z）， =m ， 则（x，y，z﹣ ）=m（ ，﹣ ）， 解得点 M（ ，﹣ ， ），即 =（ ，﹣ ）， 由 sinθ= = ， 解得 m=1（不合题意舍去）或 m= ， ∴当 M 为 PD 的中点时，直线 AM 与平面 PCD 所成角的正弦值为 ． 2．如图，三棱锥 A﹣BCD 中，AB⊥平面 BCD，BC⊥CD， ，BC=2，E 是 AC 的中点． （1）若 F 是 AD 的中点，证明：平面 BEF⊥平面 ABC； （2）若 AF=2FD，求平面 BEF 与平面 BCD 所成锐二面角的大小． 【解答】（1）证明：∵AB⊥平面 BCD，∴AB⊥CD，又∵BC⊥CD，BC∩AB=B，∴CD⊥平面 ABC． ∵E、F 分别是 AC、AD 的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥平面 ABC． 又 EF⊂平面 BEF，∴平面 BEF⊥平面 ABC． （2）解：建立如图所示空间直角坐标系 C﹣xyz， 则 B（2，0，0）， ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ， ， 设平面 BEF 的一个法向量为 ，则 ，取 ． ∵平面 BCD 的一个法向量 ，∴ ， ∴平面 BEF 与平面 BCD 所成的锐二面角为 45°． 3．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且 AB⊥BC，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E 是 PC 的中点． （1）求证：DE⊥平面 PBC； （2）求二面角 A﹣PD﹣E 的余弦值．【解答】（1）证明：∵PA⊥底面 ABCD，且 AB⊥BC，AD∥BC，∴PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以点 A 为 坐标原点，分别以直线 AD，AB，AP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设 PA=AB=BC=2AD=2，E 是 PC 的中点，则有 P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0） ，E（1，1，1）， 于是 ， ，因为 ， ，所以 DE ⊥PB，DE⊥PC，且 PB∩PC=P，因此 DE⊥平面 PBC （2）解：由（1）可知平面 PAD 的一个法向量为 ， 设平面 PCD 的法向量为 ， ， ， 则 所以 不妨设 z=1，所以 ，则 ， 由图形知，二面角 A﹣PD﹣E 为钝角，所以二面角 A﹣PD﹣E 的余弦值为 ．4．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，已知 CA=CB=1，AA1=2，∠BCA=90° （1）求异面直线 BA1 与 CB1 所成角的余弦值； （2）求二面角 B﹣AB1﹣C 的平面角的余弦值． 【解答】解：（1）如图，以 为正交基底，建立空间直角坐标 系 C﹣xyz．则 A（1，0，0），B（0，1，0），A1（1，0，2），B1（0，1，2）， 所以 ， ， ， ．…（ 2 分） 因为 ，…（6 分） 所以异面直线 BA1 与 CB1 夹角的余弦值为 ．…（7 分） （2）设平面 CAB1 的法向量为 =（x，y，z），则 即 所以平面 CAB1 的一个法向量为 =（0，2，﹣1）；…（9 分） 同理平面 BAB1 的一个法向量为 =（1，1，0）；…（11 分） 所以， …（13 分） 所以二面角 B﹣AB1﹣C 平面角的余弦值为 ．…（14 分） 5．如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，已知 AB⊥AC，AB=3，AC=4，AA1=4． （1）证明：B1C⊥AC1； （2）若 BP=1，求二面角 P﹣A1C﹣A 的余弦值． 【解答】（1）证明：因为四边形 AA1C1C 是矩形，AA1=AC， 所以 AC1⊥A1C 又因为 AB⊥AC，AB⊥AA1，所以 AB⊥平面 AA1C1C 因为 A1B1∥AB，所以 A1B1⊥平面 AA1C1C，A1B1⊥AC1， 又 A1B1∩A1C=A1，所以 AC1⊥平面 A1B1C，从而 AC1⊥B1C． （2）解：分别以 AB，AC，AA1 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz因为 BP=1，所以 P（3，0，1），又 C（0，4，0），A1（0，0，4）， 故 ， 设 为平面 PA1C 的法向量，则 即 ， 取 z=1，解得 y=1，x=1， ∴ 为平面 PA1C 的一个法向量 显然， 为平面 A1CA 的一个法向量 则 ． 据图可知，二面角 P﹣A1C﹣A 为锐角，故二面角 P﹣A1C﹣A 的余弦值为 ． 6．如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，且 AB= ，AF=1． （Ⅰ）求点 F 到平面 BDE 的距离； （Ⅱ）求 AC 与平面 BDE 所成的角．【解答】解：（Ⅰ）∵正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，且 AB= ，AF=1， ∴分别以 AB，AD，AF 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0），B（ ，0，0），C（ ），D（0， ），F（0，0，1）， =（﹣ ，0）， =（0， ，1）， =（ ，0）， 设平面 BDE 的法向量 =（x，y，z）， 则 ，取 x=1，得 =（1，1，﹣ ）， cos＜ ， ＞= = = ． ∴| |=2， 设点 F 到平面 BDE 的距离为 h，则 cos＜ ＞= ， ∴h= ． ∴点 F 到平面 BDE 的距离为 ． （Ⅱ）由 AC∥EF，知 AC 与平面 BDE 所成角即为 EF 与平面 BDE 所成的角， 由（Ⅰ）知点 F 到平面 BDE 的距离为 ，EF=2， ∴AC 与平面 BDE 所成的角的正弦值为 ， ∴AC 与平面 BDE 所成的角为 ．7．如图，四边形 ABCE 中（如图 1），D，F 分别为 AE 和 EC 的中点，∠A=90°，CD=AE=2，AB=1，BC= ， 将四边形 ABCE 沿 CD 折起（如图 2），使得 BC⊥BE． （1）求证：BF⊥CD； （2）求二面角 A﹣BE﹣D 的大小． 【解答】证明：（1）由已知 AD=AB=1，∠BAD=90°， ∴BD=BC= ，又 CD=2，∴BD2+BC2=CD2， ∴△DAB 和△DBC 均为等腰直角三角形， ∴∠ADB=∠BDC=45°，∴∠ADC=90°，∴DE⊥DC， ∵BC⊥BE，BC⊥BD，且 BE∩BD=B， ∴BC⊥面 EBD，∴DE⊥BC， ∵DE⊥DC，BC∩CD=C，∴DE⊥面 ABCD， ∴DA，DC，DE 两两垂直， ∴以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DE 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，2，0），E（0，0，1），F（0，1， ）， ∴ =（﹣1，0， ）， =（0，2，0）， ∴ =0，∴BF⊥CD． 解：（2）由（1）知 =（0，1，0）， =（﹣1，0，1）， 设平面 ABE 的法向量 =（x，y，z）， 则 ，取 x=1，得 =（1，0，1）， 同理得平面 BDE 的法向量 =（1，﹣1，0）， 设二面角 A﹣BE﹣D 的大小为 θ， 则 cosθ= = ，∴θ=60°， ∴二面角 A﹣BE﹣D 的大小为 60°． 8．如图，在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，D 是 BC 的中点． （Ⅰ）证明 A1B∥平面 ADC1；（Ⅱ）若 C1C= CA=2，求直线 AB 与平面 ADC1 所成角的正弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）以 C 为原点，在平面 ABC 中过 C 作 BC 的垂线为 x 轴， CB 为 y 轴，CC1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 AB=a，CC1=b，则 A1（ ， ，b），B（0，a，0），A（ ， ，0），D（0， ，0），C1（ 0，0，b）， =（﹣ ， ，﹣b）， =（ ，0，0）， =（0，﹣ ，b）， 设平面 ADC1 的法向量 =（x，y，z）， 则 ，取 y=2，得 =（0，2， ）， ∵ =0+a﹣a=0，A1B⊄平面 ADC1， ∴A1B∥平面 ADC1． 解：（Ⅱ）以 C 为原点，在平面 ABC 中过 C 作 BC 的垂线为 x 轴， CB 为 y 轴，CC1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， ∵C1C= CA=2，∴A（ ， ，0），B（0， ，0），D（0， ，0），C1（0，0，2）， =（ ，0，0）， =（0，﹣ ，2）， =（﹣ ， ，0）， 设平面 ADC1 的法向量 =（x，y，z），则 ，取 z=1，得 =（0，2 ，1）， 设直线 AB 与平面 ADC1 所成角为 θ， 则 sinθ= = = ． ∴直线 AB 与平面 ADC1 所成角的正弦值为 ． 9．如图所示，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA⊥平面 ABCD，且 PA=PB=1，点 E 在线段 PC 上，且 PE=2EC． （Ⅰ）证明：平面 BDE⊥平面 PCD； （Ⅱ）求二面角 P﹣BD﹣E 的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥BD．又∵底面 ABCD 为正方形，∴BD⊥AC． ∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面 PAC．∴BD⊥PC． 设 AC 交 BD 于点 O，如图，在△OCE 中， ∵OC= ，CE+ ，cosC= ， ∴由余弦定理可得 OE= ． ∴OE2+CE2=OC2．∴OE⊥PC． ∵BD∩OE=O，BD⊂平面 BDE，OE⊂平面 BDE， ∴PC⊥平面 BDE． 又∵PC 在平面 PCD 内， ∴平面 BDE⊥平面 PCD． 解：（Ⅱ）∵ABCD 为正方形，且 PA⊥平面 ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD． 以 A 点为原点，AB，AD，AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意知，PA=AB=1，且 PE=2EC． 则 P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（ ）， ∴ =（1，1，﹣1）， = =（ ，﹣ ）， =（﹣1，0，1）， = =（﹣ ）， =（﹣1，1，0）． 设平面 PBD 的一个法向量为 =（x，y，z）， 则 ，令 x=1，得 =（1，1，1）． 设平面 BDE 的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，令 x=1，得 =（1，1，﹣1）． ∴二面角 P﹣BD﹣E 的余弦值为 cos＜ ＞= = ， 于是二面角 P﹣BD﹣E 的余弦值为 ． 10．在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA=PD=2，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠A=60°， E 是 D 的中点． （1）求证：BE⊥平面 PAD； （2）求平面 PAB 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值． 【解答】证明：（1）连接 BD，由 PA=PD=2，E 是 AD 的中点，得 PE⊥AD， 由平面 PAD⊥平面 ABCD，可得 PE⊥平面 ABCD，PE⊥BE， 又由于四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠A=60°， ∴BE⊥AD，∴BE⊥平面 PAD．………（6 分） 解：（2）以 E 为原点，EA，EB，EP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， P（0，0， ），A（1，0，0）， B（0， ，0），C（﹣2， ，0）， =（1，0，﹣ ）， =（0， ）， =（﹣2， ）， 令平面 PAB 的法向量为 =（x，y，z）， 则 ，取 y=1，得 =（ ），………………（9 分） 同理可得平面 PBC 的一个法向量为 =（0，1，1）， 所以平面 PAB 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为： |cos＜ ＞|= = ．………………（12 分） 11．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，PA⊥平面 ABCD，ED∥PA，且 PA=2ED，直线 PC 与平面 ABCD 所成的 角为 45°． （1）求直线 PC 与平面 PBE 所成角的正弦值；（2）求二面角 P﹣CE﹣D 的大小． 【解答】解：（1）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， ∵PC 与底面 ABCD 所成的角为 45°，∴PA=AC=2 ， ∴A（0，0，0），P（0，0，2 ），B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），E（0，2， ） ， ）， ）． 设平面 PBE 的法向量为 ． ⇒ 直线 PC 与平面 PBE 所成角 θ，则 sinθ= = ． （2）设面 PCE 的法向量为 ， ⇒ 又面 CDE 的法向量为 ． cos = ， ∵二面角 P﹣CE﹣D 为钝角． ∴二面角 P﹣CE﹣D 的大小为 ．12．如图，正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB=2，AA1=3，F 为棱 AC 上靠近 A 的三等分点，点 E 在棱 BB1 上且 BF ∥面 A1CE． （1）求 BE 的长； （2）求二面角 A1﹣CE﹣B1 的余弦值． 【解答】解：（1）如图，作 FG∥CC1，与 A1C 交于点 G， ∵BE∥CC1，∴BE∥FG，面 BEGF∩面 A1CE=EG， ∵BF∥面 A1CE，∴BF∥EG， ∴在平行四边形 BEGF 中，BE=FG= =2． （2）取 B1C1 的中点 H，∵ABC﹣A1B1C1 是正三棱柱， ∴A1H⊥B1C1，A1H⊥面 BB1C1C，连结 HE， 由（1）知∠CEB=∠HEB1=45°，∴HE⊥CE， 又 A1H⊥面 BB1C1C，∴A1H⊥CE， ∴CE⊥面 A1EH，∴二面角 A1﹣CE﹣B1 的平面角为∠A1EH， 由题，A1H= ，HE= ，A1E= = ， 故二面角 A1﹣CE﹣B1 的余弦值为 cos∠A1EH= = ． 13．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别是 CC1，B1C1 的中点． （1）求证：A1F∥平面 AD1E； （2）求二面角 D1E﹣A﹣DC 余弦值． 【解答】（本小题满分 12 分） 证明：（1）不妨设正方体的棱长为 1，以 ， ， 为单位正交基底建立空间直角坐标系 D﹣xyz， 则 A（1，0，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（0，1， ），F（ ，1，1）． ∵ =（﹣ ，1，0）， =（﹣1，0，1）， =（0，1，﹣ ）， 设 =（x，y，z）是平面 AD1E 的一个法向量，则 ，令 z=2，得 =（2，1，2），…（4 分） 故 =0，∴ ⊥ ． 又 A1F⊄平面 AD1E，∴A1F∥平面 AD1E．…（7 分） 解：（2）平面 AD1E 的一个法向量 =（2，1，2）， 平面 ADC 的一个法向量 =（0，0，1）．…（9 分） ∴cos＜ ＞= = = ． ∴二面角 D1E﹣A﹣DC 余弦值为 ．…（12 分） 14．如图所示，四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 2 的菱形，PA⊥平面 ABCD，E，F 分别为 CD，PB 的中点， AP=2，AE= ． （1）求证：EF∥平面 PAD； （2）求证：平面 AEF⊥平面 PAB； （3）求二面角 P﹣AE﹣F 的大小．【解答】证明：（1）取 PA 的中点 M，连结 FM，DM， ∵F，M 分别是 PB，PA 的中点， ∴FM∥AB，且 FM= ， 又∵点 E 是 CD 的中点，四边形 ABCD 为菱形， ∴DE∥AB，且 DE= ， ∴FM∥DE，且 FM=DE， ∴四边形 DEFM 为平行四边形，∴EF∥DM， ∵EF⊄平面 PAD，DM⊂平面 PAD， ∴EF∥平面 PAD． （2）∵底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，AE= ， ∴AE2+DE2=AD2，∴AE⊥DE，∵DE∥AB，∴AE⊥AB， ∵PA⊥平面 ABCD，AE⊂平面 ABCD，∴PA⊥AE， ∵AB∩PA=A，∴AE⊥平面 PAB， ∵AE⊂平面 AEF，∴平面 AEF⊥平面 PAB． 解：（3）由（2）可知：AE⊥平面 PAB， ∴AE⊥PA，AE⊥AF， ∵AE 为二面角 P﹣AE﹣F 的棱，AF⊂平面 AEF，PA⊂平面 PAE， ∴∠PAF 是二面角 P﹣AE﹣F 的平面角， 在 Rt△PAB 中， ∵AB=AP=2，且 F 为 PB 的中点， ∴∠PAF=45°， ∴二面角 P﹣AE﹣F 的大小为 45°．15．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，CC1⊥平面 ABC，D，E，F，G 分别为 AA1，AC，A1C1，BB1 的中点， 且 AB=BC= ，AC=2 ，AA1= ． （1）证明：AC⊥FG； （2）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交； （3）求直线 BD 与平面 BEC1 所成角的正弦值． 【解答】证明：（1）在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中， ∵CC1⊥平面 ABC，∴四边形 A1ACC1 为矩形． 又 E，F 分别为 AC，A1C1 的中点，∴AC⊥EF． ∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面 BEF． 又 G 是 B B1 中点，B B1∥EF， ∴G 在平面 BEF 内，∴AC⊥FG． （3 分） （2）设 EF∩CD=M，则 FM= ，又 BG= ， ∴四边形 BGFM 是梯形，∴直线 FG 与直线 MB 相交， ∴直线 FG 与平面 BCD 相交． （6 分） 解：（3）过 D 作 DO⊥C1E 于点 O，连 BO，由题意 BE⊥平面 ACC1A1，∴DO⊥BE， ∴DO⊥平面 BEC1，∴∠DBO 就是直线 BD 与平面 BEC1 所成角， ∵AB=BC= ，AC=2 ，AA1= ． ∴BD= ，DO= ， ∴直线 BD 与平面 BEC1 所成角的正弦值 sin∠DBO= = ．（12 分） 16．在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，∠BAD=60°，PA= ，PD=3，PD⊥CD，E 为 AB 的中 点． （1）证明：PE⊥CD； （2）求二面角 C﹣PE﹣D 的正切值． 【解答】证明：（1）在菱形 ABCD 中，∵∠BAD=60°，E 为 AB 的中点， ∴DE⊥CD，又∵PD⊥CD，∴CD⊥平面 PDE， ∴PE⊥CD． 解：（2）过 D 作 DH⊥PE，垂足为 H，连结 CH． 由 CD⊥平面 PDE，得 CH⊥PE，∴∠CHD 是二面角 C﹣PE﹣D 的平面角． 由 PE⊥CD，AB∥CD，可得 PE⊥AB， ∵E 为 AB 中点，PA= ，∴PE=3． 又 PD=3，DE= ， 在△PDE 中，由余弦定理得 cos ， ∴sin ， ∴DH=DE•sin∠PED= ． 在 Rt△CHD 中，可得 tan∠CHD= = ． 所以，二面角 C﹣PE﹣D 的正切值为 ． 17．如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，且 E，F 分别是 BC，B1C1 中点． （1）求证：A1B∥平面 AEC1； （2）求直线 AF 与平面 AEC1 所成角的正弦值． 【解答】证明：（1）连接 A1C 交 AC1 于点 O，连接 EO，∵ACC1A1 为正方形，∴O 为 A1C 中点， 又 E 为 CB 中点，∴EO 为△A1BC 的中位线， ∴EO∥A1B， 又 EO⊂平面 AEC1，A1B⊄平面 AEC1， ∴A1B∥平面 AEC1． 解：（2）作 FM⊥EC1 于 M，连接 AM， ∵AB=AC，E 为 BC 的中点， ∴AE⊥BC， 又∵平面 ABC⊥平面 BCC1B1，且平面 ABC⊥平面 BCC1B1=BC， AE⊂平面 ABC，∴AE⊥平面 BCC1B1， 而 AE⊂平面 AEC1， ∴平面 AEC1⊥平面 BCC1B1，∴FM⊥平面 AEC1， ∴∠FAM 即为直线 AF 与平面 AEC1 所成角， 设 AB=AC=AA1=1， 则在 Rt△AFM 中，FM= ，AF= ， ∴直线 AF 与平面 AEC1 所成角的正弦值 sin∠FAM= = ． 18．如图，ABEF 为等腰梯形，AB∥EF，正方形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直，且 AB=2，EF=1，O 是 AB 的中点，M 是 CE 的中点．（Ⅰ）求证：OM∥平面 DAE； （Ⅱ）若等腰梯形 ABEF 的高为 ，求 OM 与平面 DEF 所成角的正弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）取 DE 的中点 N，连接 MN 和 AN…………2 分 则 MN∥CD 且 ………………3 分 又 O 是 AB 的中点，ABCD 是正方形 所以 AO∥CD 且 ………………4 分 则 MN∥AO 且 MN=AO 所以 MNAO 是平行四边形，得出 OM∥AN…5 分 AN⊂平面 DAE，OM⊄平面 DAE 所以 OM∥平面 DAE………………………6 分 解：（Ⅱ）因为平面 ABCD⊥平面 ABEF，交线为 AB 取 CD 的中点 G，则 GO⊥AB 所以 GO⊥平面 ABEF…………7 分 取 EF 的中点 H，因为 ABEF 是等腰梯形，所以 OH⊥AB…………8 分 以 OA 所在的直线为 x 轴，以 OH 所在的直线为 y 轴，以 OG 所在的直线为 z 轴， 建立如图空间直角坐标系， 则 O（0，0，0）， ， ， ，D（1，0，2）………………………………………………………9 分 所以 ， 设平面 DEF 的法向量为 n=（x，y，z）， 则 则有 ，所以 ……………………………11 分 所以 ， 故 OM 与平面 DEF 所成角的正弦值为 ．……………………12 分 19．如图，已知长方形 ABCD 中， ， ，M 为 DC 的中点．将△ADM 沿 AM 折起，使得平 面 ADM⊥平面 ABCM． （1）求证：AD⊥BM； （2）若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，二面角 E﹣AM﹣D 的余弦值为 【解答】证明：（1）∵长方形 ABCD 中，AB=2 ，AD= ，M 为 DC 的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM…（3 分） ∵平面 ADM⊥平面 ABCM，平面 ADM∩平面 ABCM=AM， BM⊂平面 ABCM ∴BM⊥平面 ADM ∵AD⊂平面 ADM ∴AD⊥BM…（5 分） 解：（2）取 AM 中点 O 为原点，OA 为 x 轴，OD 为 z 轴，建立如图所示的直角坐标系， 设 ，则平面 AMD 的一个法向量 =（0，1，0），…（7 分） = =（1﹣λ，2λ，1﹣λ）， =（﹣2，0，0）， 设平面 AME 的一个法向量 =（x，y，z）， 则 ， 取 y=1，得 =（0，1， ），…（10 分） ∵二面角 E﹣AM﹣D 的余弦值为 ， ∴cos＜ ＞= = = ， 解得 ，故 E 为 BD 的中点时，二面角 E﹣AM﹣D 的余弦值为 ．…（11 分）20．已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，E，F 分别为底 AB，CD 上的点，且 EF⊥AB，EF=EB= CF=2，EA= FD ，沿 EF 将平面 AEFD 折起至平面 AEFD⊥平面 EBCF． （Ⅰ）求证：平面 ABD⊥平面 BDF； （Ⅱ）若二面角 B﹣AD﹣F 的余弦值为 ，求 AE 的长度． 【解答】证明：（Ⅰ）∵EF=EB= FC=2，EA= FD，∴FC=4， 延长 DA，FE，CB 交于 H，可得 AE 为△DHF 的中位线， BE 为△CHF 的中位线，可得 CH⊥BF， 平面 AEFD⊥平面 EBCF，DF⊥FC， 可得 DF⊥平面 EBCF，即有 DF⊥CH， 可得 CH⊥平面 BDF， 由 CH⊂平面 ABD，可得平面 ABD⊥平面 BDF； 解：（Ⅱ）以 F 为坐标原点，以 FE 为 x 轴，FC 为 y 轴， 以 FD 为 z 轴建立空间直角坐标系 F﹣xyz． 设 AE=a，则 FD=2a，则 E（2，0，0），B（2，2，0），A（2，0，a），D（0，0，2a）， 平面 ADF 的一个法向量为 ， 设平面 ABD 的一个法向量为 ， 则 ， ， ，取 x=y=a，z=2，即 ， cos＜ ＞= ， 依题意 ，解得 a=1，即 AE=1． 21．如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是正方形，且侧棱和底面垂直． （1）求证：BD⊥平面 ACC1A1； （2）当 ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体时，求二面角 B﹣C1D﹣C 的余弦值．【解答】证明：（1）∵四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是正方形，且侧棱和底面垂直． ∴AC⊥BD，AA1⊥BD， 又 AC∩AA1=A， ∴BD⊥平面 ACC1A1． 解：（2）当 ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体时， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1， 则 D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1）， =（1，1，0）， =（0，1，1）， 设平面 BDC1 的法向量 =（x，y，z）， 则 ，取 x=1，得 =（1，﹣1，1）， 平面 CDC1 的法向量 =（1，0，0）， 设二面角 B﹣C1D﹣C 的平面角为 θ， 则 cosθ= = = ． ∴二面角 B﹣C1D﹣C 的余弦值为 ．22．如图 1，△ABC 为等边三角形，D，E 分别为 AB，AC 的中点，O 为 DE 的中点，BC=4．将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使得平面 A1DE⊥平面 BCED，F 为 A1C 的中点，如图 2． （1）求证：EF∥平面 A1BD； （2）求点 F 到平面 A1OB 的距离． 【解答】证明：（1）取线段 A1B 的中点 H，连接 HD，HF． 因为在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点， 所以 DE∥BC，DE= BC． 因为 H，F 分别为 A1B，A1C 的中点， 所以 HF∥BC，HF= BC，所以 HF∥DE，HF=DE，所以 四边形 DEFH 为平行四边形， 所以 EF∥HD． 因为 EF⊄平面 A1BD，HD⊂平面 A1BD， 所以 EF∥平面 A1BD． 解：（2）取 BC 中点 G，以 O 为原点，OG 为 x 轴，OE 为 y 轴，OA1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， A1（0，0， ），C（ ，2，0），F（ ，1， ），B（ ，﹣2，0），O（0，0，0）， =（ ，1， ）， =（ ，﹣2，0）， =（0，0， ）， 设平面 A1OB 的法向量 =（x，y，z）， 则 ，取 x=4，得 =（4， ，0）， 则点 F 到平面 A1OB 的距离：d= = = ． 23．如图，在几何体 ABCDE 中，△AED 为等边三角形，AB∥CD，∠ABC=90°，∠BAD=60°，AD=AB=2，BE=3 ． （Ⅰ）求证：AD⊥BE（Ⅱ）求直线 BE 与平面 AED 所成的角的大小． 【解答】证明：（Ⅰ）取 AD 中点 H，连结 EH，BH． ∵△AED 为等边三角形，∴AD⊥EH， 又∵AD=AB=2，∠BAD=60°，∴AD⊥BH ∴AD⊥平面 BEH，∴AD⊥BE．………………………………（7 分）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 AD⊥平面 BEH，∴平面 ADE⊥平面 BEH， 且平面 ADE∩平面 BEH=EH，∴点 B 在平面 ADE 的投影在直线 BE 上 ∴∠BEH 为直线 BE 与平面 AED 所成的角，………………………（11 分） ∵在等边△AED 中 AD=2，可得 又 AB=2，AH=1，∠BAH=60°可得 ，又 BE=3． 在△BHE 中， ，∴∠BEH=30°．…………………………………（15 分） 24．ABCD 为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面 ABCD，PA=a，（1）求证：CD⊥平面 PAC； （2）求点 C 到平面 PBD 的距离． 【解答】证明：（1）取 AD 中点为 E，连接 CE，则 ABCE 为正方形， ∴DE=a，CE=a，CD=AC= ， 又∵AD=2a，∴△ACD 中有 AC2+CD2=AD2，即 AC⊥CD， ∵PA⊥平面 ABCD，CD⊆平面 ABCD， ∴PA⊥CD，又 AC∩PA=A， ∴CD⊥平面 PAC． 解：（2）设点 C 到平面 PBD 的距离为 h， S△BCD= ， ∵BD=PD= a，PB= ， ∴S△PBD= • = ． ∵VP﹣BCD=VC﹣PBD， ∴ = ， 解得 h= = = ． ∴点 C 到平面 PBD 的距离为 ．25．已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为菱形，且∠ABC=60°，PB=PD=AB=2，PA=PC，AC 与 BD 相交于点 O ． （Ⅰ）求证：PO⊥底面 ABCD； （Ⅱ）求点 O 到平面 PCD 的距离； 【解答】（1）证明：∵O 为 AC 中点，PB=PD， ∴PO⊥BD， 同理 PO⊥AC， 又 BD 交 AC 于 O， ∴PO⊥平面 ABCD（6 分） （2）解：过 O 作 OF⊥CD 于 F，连 PF， ∵OP⊥平面 ABCD，∴PF⊥CD，∴CD⊥平面 POF， ∴平面 POF⊥平面 PCD 作 OM⊥PF 于 M，∴OM⊥平面 PCD， 则 OM 为 O 到平面 PCD 的距离， 在 Rt△POF 中，PO=1，OF= ，PF= ， ∴OM= ， ∴O 到平面 PCD 的距离为 ．（12 分） 26．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，AC∩BD=O，将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，得到三棱锥 A﹣BCD ． （Ⅰ）求证：平面 AOC⊥平面 BCD； （Ⅱ）求三棱锥 A﹣BCD 的体积最大时的二面角 B﹣AC﹣D 的余弦值． （Ⅲ）若三棱锥 A﹣BCD 的体积为 ，求 AC 的长． 【解答】（Ⅰ）证明：ABCD 是正方形，∴BD⊥AO，BD⊥CO． 在折叠后的△ABD 和△BCD 中，仍有 BD⊥AO，BD⊥CO． ∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面 AOC． ∵BD⊂平面 BCD，∴平面 AOC⊥平面 BCD； （Ⅱ）解：要使三棱锥 A﹣BCD 的体积最大，则平面 ABD⊥平面 BCD． 取 AC 中点 E，连接 BE，DE，可得 BE⊥AC，DE⊥AC，则∠BED 为二面角 B﹣AC﹣D 的平面角， 在 Rt△AOC 中，由 AO=OC= ，可得 AC=2，则 AE=1， 又 AB=2，可得 BE= ，同理 DE= ， 在△BED 中，由 BE=DE= ，BD=2 ， 由余弦定理得 cos∠BED= ， 即二面角 B﹣AC﹣D 的余弦值为 ； （Ⅲ）解：设三棱锥 A﹣BCD 的高为 h， 由三棱锥 A﹣BCD 的体积为 ，得 •S△BCD•h= ． ∵ BC×CD= ×2×2=2，∴h= ． 以下分两种情形求 AC 的长： ①当∠AOC 为钝角时，如图， 过点 A 作 CO 的垂线交 CO 的延长线于点 H， 由（1）知 BD⊥平面 AOC，∴BD⊥AH． 又 CO⊥AH，且 CO∩BD=O，∴AH⊥平面 BCD． ∴AH 为三棱锥 A﹣BCD 的高，即 AH= ． 在 Rt△AOH 中，∵AO= ， ∴OH= ． 在 Rt△ACH 中，∵CO= ，∴CH=CO+OH= ． ∴AC= ； ②当∠AOC 为锐角时，如图，过点 A 作 CO 的垂线交 CO 于点 H， 由（1）知 BD⊥平面 AOC，∴BD⊥AH． 又 CO⊥AH，且 CO∩BD=O，∴AH⊥平面 BCD． ∴AH 为三棱锥 A﹣BCD 的高，即 AH= ． 在 Rt△AOH 中，∵AO= ，∴OH= ． 在 Rt△ACH 中，CO= ， 则 CH=CO﹣OH= ． ∴AC= ． 综上可知，AC 的长为 或 ． 27．如图所示，四棱锥 S﹣ABCD 中，SA⊥底面 ABCD，∠ABC=90°， ，BC=1， ，∠ACD=60°，SA=2，E 为 CD 的中点． （1）求证：BC∥平面 SAE； （2）求直线 SD 与平面 SBC 所成角的正弦值． 【解答】证明：（1）因为 ，BC=1，∠ABC=90°， 所以 AC=2，∠BCA=60°， 在△ACD 中， ，AC=2，∠ACD=60°， 由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD 解得：CD=4 所以 AC2+AD2=CD2，所以△ACD 是直角三角形， 又 E 为 CD 的中点，所以 又∠ACD=60°，所以△ACE 为等边三角形， 所以∠CAE=60°=∠BCA，所以 BC∥AE， 又 AE⊂平面 SAE，BC⊄平面 SAE， 所以 BC∥平面 SAE． 解：（2）由（1）可知∠BAE=90°，以点 A 为原点， 以 AB，AE，AS 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 S（0，0，2）， ， ， ． 所以 ， ， ． 设 为平面 SBC 的法向量，则 ，即 设 x=1，则 y=0， ，即平面 SBC 的一个法向量为 ， 所以 所以直线 SD 与平面 SBC 所成角的正弦值为 ． 28．在直三棱柱 ABC﹣A′B′C′中，AD⊥平面 A′BC，其垂足 D 在直线 A′B 上． （1）求证：BC⊥A′B； （2）若 AD= ，P 为 AC 的中点，求 P 到平面 A′BC 的距离．【解答】证明：（1）∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱，∴AA1⊥平面 ABC， 又 BC⊂平面 ABC，∴A1A⊥BC， ∵AD⊥平面 A1BC，且 BC⊂平面 A1BC，∴AD⊥BC， 又 AA1⊂平面 A1AB，AD⊂平面 A1AB，A1A∩AD=A， ∴BC⊥平面 A1AB，AD⊂平面 A1AB，A1A∩AD=A， ∴BC⊥平面 A1AB， 又 A1B⊂平面 A1BC，∴BC⊥A1B． 解：（2）在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AA1⊥AB， ∵AD⊥平面 A1BC，其垂足 D 落在直线 A1B 上，∴AD⊥A1B， 在 Rt△ABD 中，AD= ，AB=BC=2，sin∠ABD= = ，∠ABD=60°， 在 Rt△ABA1 中，AA1=AB•tan60°=2 ， 由（1）知 BC⊥平面 A1AB，AB⊂平面 A1AB，∴BC⊥AB， ∴ ， ∵P 为 AC 的中点， ， ∴ = = = ，则 P 到平面 ABC 距离为 d= = ． 29．如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，PA⊥AC，AB=BC=CA=AP=2，G 是△ABC 重心，E 是 线段 PC 上一点，且 CE=λCP． （1）当 EG∥平面 PAB 时，求 λ 的值； （2）当直线 CP 与平面 ABE 所成角的正弦值为 时，求 λ 的值． 【解答】解：（1）取 AB 的中点 D，连结 PD，CD， ∵AB=BC=AC，G 是△ABC 重心， ∴G 是 CD 的三等分点，且 CG= CD， ∵EG∥平面 PAB，EG⊂平面 PCD，平面 PCD∩平面 PAB=PD， ∴EG∥PD，∴ ，即 λ= ． （2）以 A 为坐标原点，以 AC，AP 为 y 轴，z 轴作空间直角坐标系 A﹣xyz，如图所示： 则 A（0，0，0），B（ ，1，0），C（0，2，0）， P（0，0，2），E（0，2﹣2λ，2λ）， ∴ =（0，﹣2，2）， =（ ，1，0）， =（0，2﹣2λ，2λ）， 设平面 ABE 的法向量为 =（x，y，z），则 ， =0， ∴ ，令 x=1 可得，y=﹣ ，z= ． ∴ =（1，﹣ ， ）， ∴cos＜ ， ＞= = = ， ∴当直线 CP 与平面 ABE 所成角的正弦值为 时， = ， ∴2 = ，即 28λ2﹣24λ+5=0． 解得 λ= 或 λ= ．30．如图，在几何体 EF﹣ABCD 中，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC， AB= ，CE=EF=1． （Ⅰ）求证：AF∥平面 BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面 BDE； （Ⅲ）求二面角 A﹣BF﹣D 的余弦值． 【解答】证明：（I）设 AC 与 BD 交于点 G， 因为 EF∥AG，且 EF=1，AG= AC=1， 所以四边形 AGEF 为平行四边形．所以 AF∥EG． 因为 EG⊂平面 BDE，AF⊄平面 BDE， 所以 AF∥平面 BDE．…………（3 分）（II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，CE⊥AC， 所以 CE⊥平面 ABCD． 如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C﹣xyz． 则 C（0，0，0），A（ ， ，0），B（0， ，0） D（ ，0，0），E（0，0，1），F（ ， ，1）． 所以 =（ ， ，1）， =（0， ，1）， =（ ，0，1）． 所以 • =0﹣1+1=0， • =﹣1+0+1=0． 所以 CF⊥BE，CF⊥DE， 所以 CF⊥平面 BDE …………（6 分） （III）由（II）知， =（ ，﹣ ，1）， =（ ，0，0）， =（ ， ，0） 设平面 ABF 的法向量 =（x，y，z），则 • =0， • =0． 即 解得 =（0， ，1）， 设平面 DBF 的法向量 =（x，y，z），则 • =0， • =0．即 解得 =（1，1，0）， 所以 cos（ ， ）= = ， 所以二面角 A﹣BE﹣D 的余弦值为： ．…………（12 分）