平行线及其性质和判定
【诊断自测】
1．下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
2．如图，下列能判定AB∥CD的条件有 个．
（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．
3．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠1=∠2 C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=180°
4．下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中错误的有 .
【考点突破】
类型一: 平行线
例1、若a⊥b，c⊥d，则a与c的关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对
答案：D
解析：当b∥d时a∥c；
当b和d相交但不垂直时，a与c相交；
当b和d垂直时，a与c垂直；
a和c可能平行，也可能相交，还可能垂直，
故选D．
例2、在同一个平面内，两条直线的位置关系是（ ）
A．平行或垂直 B．相交或垂直 C．平行或相交 D．不能确定
答案：D
解析：在同一个平面内，两条直线可能重合、平行或相交．
观察选项，D选项符合题意．
故选：D．
例3、过一点画已知直线的平行线（ ）
A．有且只有一条 B．不存在
C．有两条 D．不存在或有且只有一条
答案：D
解析：若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线；
若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行．
故选D．
例4、如果a∥b，a∥c，那么b与c的位置关系是（ ）
A．不一定平行 B．一定平行 C．一定不平行 D．以上都有可能
答案：B
解析：∵a∥b，a∥c，
∴b∥c．
∴b与c的位置关系是一定平行，
故选B．
类型二：平行线的性质
例5、如图，直线a∥b，若∠2=55°，∠3=100°，则∠1的度数为（ ）
A．35° B．45° C．50° D．55°
答案：B
解析：如图，∵直线a∥b，
∴∠4=∠2=55°，
∴∠1=∠3﹣∠4=100°﹣55°=45°．
故选B．
例6、如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED= .
答案：115°
解析：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB=180°，
∵∠C=50°，
∴∠CAB=180°﹣50°=130°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB=65°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB+∠AED=180°，
∴∠AED=180°﹣65°=115°，
例7、如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于 .
答案：40°
解析：如图，∵直线m∥n，
∴∠1=∠3，
∵∠1=70°，
∴∠3=70°，
∵∠3=∠2+∠A，∠2=30°，
∴∠A=40°，
例8、如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2的度数是（ ）
A．20° B．30° C．35° D．50°
答案：C
解析：∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=35°．
故选：C．
例9、如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠B=36°，则∠DCE等于 .
答案：18°
解析:∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠B=36°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DC=18°
例10、如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为 .
答案：56°
解析：∵AB∥CD，
∴∠D=∠1=34°，
∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°．
类型三：平行线的判定
例11、如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（ ）
A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7
答案：B
解析：∵∠2=∠6（已知），
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
则能使a∥b的条件是∠2=∠6，
故选B
例12、如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC=150°，∠BCD=30°，则（ ）
A．AB∥BC B．BC∥CD C．AB∥DC D．AB与CD相交
答案：C
解析：∵∠ABC=150°，∠BCD=30°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥DC．
故选：C．
例13、如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°
答案：C
解析：A、∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角，∴∠1=∠2，可以得到a∥b，∴不符合题意，
B、∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角，∴∠2=∠3，可以得到a∥b，∴不符合题意，
C、∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，∴∠3=∠5，不能得到a∥b，∴符合题意，
D、∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角，∴∠3+∠4=180°，可以得到a∥b，∴不符合题意，
故选C
例14、如图图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（ ）
答案：B
解析：A、∠1、∠2是同旁内角，由∠1=∠2不能判定AB∥CD；
B、∠1、∠2是内错角，由∠1=∠2能判定AB∥CD；
C、∠1、∠2是内错角，由∠1=∠2能判定AC∥BD，不能判定AB∥CD；
D，∠1、∠2是同旁内角，由∠1=∠2不能判定AB∥CD；
故选B．
例15、如图，下列条件中不能判定a∥b的是（ ）
A．∠1+∠4=180° B．∠1=∠3 C．∠1=∠2 D．∠2=∠5
答案：A
解析：A、根据“邻补角互补”不可以判定a∥b，故本选项符合题意；
B、根据“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，故本选项不符合题意；
C、根据“同位角相等，两直线平行”可以判定a∥b，故本选项不符合题意；
D、∵∠2=∠3，2=∠5，
∴∠3=∠5，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；
故选：A．
【易错精选】
1．如图，∠1，∠2，…∠8是两条直线a，b被直线c所截后形成的八个角，则能够判定直线a∥b的是（ ）
A． ∠3+∠4=180° B．∠1+∠8=180°
B． C．∠5+∠7=180° D．∠2+∠6=180°
2．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°
3．如图所示，下列条件中，能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠BAD=∠BCD B．∠1=∠2 C．∠3=∠4 D．∠BAC=∠ACD
4．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=180°
【本节训练】
1．如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= .
2．如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，如果∠1=25°，那么∠2的度数是 .
3．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°
4．如图所示，下列条件中，能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠BAD=∠BCD B．∠1=∠2 C．∠3=∠4 D．∠BAC=∠ACD
基础巩固
1．如图，不能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠B+∠BCD=180° C．∠3=∠4 D．∠B=∠5
2．下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
3．下列图形中，能由∠1=∠2得到AB∥CD的是（ ）
4．如图，下列条件中，可得到AD∥BC的是 .
①AC⊥AD，AC⊥BC；
②∠1=∠2，∠3=∠D；
③∠4=∠5；
④∠BAD+∠ABC=180°．
5．下列说法正确的个数有（ ）
①同位角相等②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③过一点有且只有一条直线与已知直线平行④若a∥b，b∥c，则a∥c．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断AC∥BD的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠D+∠ACD=180° C．∠D=∠DCE D．∠1=∠2
7．如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③AD∥BC，且∠D=∠B；④AD∥BC，
且∠BAD=∠BCD．其中，能推出AB∥DC的条件为（ ）
A．① B．② C．②③ D．②③④
8．如图，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于 .
9．如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于 .
10．如图，已知直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于 .
巅峰突破
1．如图，已知AB∥CD，若∠C=40°，∠E=20°，求∠A的度数．
2．如图，在△ABC中，∠B+∠C=110°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，求∠ADE的度数．
3．如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE=EF．求证：∠BAC=2∠1．
4．如图，直线a∥b，BC平分∠ABD，DE⊥BC，若∠1=70°，求∠2的度数．
5．如图所示，AB∥CD，∠CFE的平分线与∠EGB平分线的反向延长线交于点P，若∠E=20°，则∠FPH的度数为多少？
6．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
参考答案
【诊断自测】
1、D
解：A、只有在两直线平行这一前提下，同位角才相等，故A选项错误；
B、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故B选项错误；
C、相等的角不一定是对顶角，因为对顶角还有位置限制，故C选项错误；
D、由平行公理的推论知，故D选项正确．
故选：D．
2、解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；
（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；
（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确；
（4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确．
∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个；
3、B
解：A、根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
B、根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，故此选项正确；
C、根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
D、根据同旁内角互补，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
故选：B．
4、解：①是正确的，对顶角相等；
②正确，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
③错误，角平分线分成的两个角相等但不是对顶角；
④错误，同位角只有在两直线平行的情况下才相等．
故①②正确，③④错误，所以错误的有两个，
【易错精选】
1、B
解：A、∠3+∠4=180°不能判定任何直线平行，故本选项错误；
B、∵∠1=∠3，∠1+∠8=180°，∴∠3+∠8=180°，∴a∥b，故本选项正确；
C、∠5+∠7=180°不能判定任何直线平行，故本选项错误；
D、∠2+∠6=180°不能判定任何直线平行，故本选项错误．
故选B．
2、B
解：当∠1=∠3时，a∥b；
当∠4=∠5时，a∥b；
当∠2+∠4=180°时，a∥b．
故选B．
3、D
解：A、∵∠BAD=∠BCD，
而这两个角是对角关系，不是内错角、同位角、同旁内角的关系，
∴不能判定AB∥CD，
故此选项错误；
B、∵∠1=∠2，
∴AD∥BC，
故此选项错误；
C、∵∠3=∠4，
∴AD∥BC，
故此选项错误；
D、∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
故此选项正确．
故选D．
4、 A
解：A、根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，故此选项正确；
B、根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
C、根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
D、根据同旁内角互补，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
故选：A．
【本节训练】
1、解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠BAC+∠ACD=180°①，∠DCE+∠CEF=180°②，
①+②得，∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=360°，即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°．
2、解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠DEF，
∵∠1=25°，∠GEF=90°，
∴∠2=25°+90°=115°，
3、B
解：当∠1=∠3时，a∥b；
当∠4=∠5时，a∥b；
当∠2+∠4=180°时，a∥b．
故选B．
4、D
解：A、∵∠BAD=∠BCD，
而这两个角是对角关系，不是内错角、同位角、同旁内角的关系，
∴不能判定AB∥CD，
故此选项错误；
B、∵∠1=∠2，
∴AD∥BC，
故此选项错误；
C、∵∠3=∠4，
∴AD∥BC，
故此选项错误；
D、∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
故此选项正确．
故选D．
基础巩固
1、解：A、∠1=∠2，则AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以A选项正确；
B、∠B+∠BCD=180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；所以B选项错误；
C、∠3=∠4，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以C选项错误；
D、∠B=∠5，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行），所以D选项错误．
故选：A．
2、解：A中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．
B、C、D是公理，正确．
故选A．
3、解：由∠1=∠2得到AB∥CD的是D选项，
∵∠1=∠2，∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD．
故选：D．
4、解：①AC⊥AD，AC⊥BC，则∠DAC=∠ACB=90°，所以，AD∥BC，故①正确；
②∵∠1=∠2，
∴BC∥EF，
∵∠3=∠D，
∴AD∥EF，
∴AD∥BC，故②正确；
③∵∠4=∠5，
∴AB∥CD，不能得到AD∥BC，故③错误；
④∵∠BAD+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，故④正确；
综上所述，能判定AD∥BC的有①②④．
5、解：①如图，直线AB、CD被直线GH所截，∠AGH与∠CHF是同位角，但它们不相等，故说法错误；
②根据垂线的性质，应该加上前提：平面内，说法正错误；
③应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；
④平行于同一直线的两条直线平行，是平行公理的推论，故说法正确．
综上所述，正确的说法是④共1个．
故选A．
6、解：A、∵∠3=∠4，∴AC∥BD，故A选项不合题意；
B、∵∠D+∠ACD=180°，∴AC∥BD，故B选项不合题意；
C、∵∠D=∠DCE，∴AC∥BD，故C选项不合题意；
D、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，故D选项符合题意．
故选：D．
7、解：①∵∠1=∠2，∴AD∥BC，错误；
②∵∠3=∠4，∴AB∥DC，（内错角相等，两直线平行），正确；
③∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠D=∠B，∴∠D+∠BAD=180°，由同旁内角互补，两直线平行可得AB∥DC，正确；
④∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠B+∠BCD=180°，由同旁内角互补，两直线平行可得AB∥DC，正确；
故能推出AB∥DC的条件为②③④．
故选D．
8、解：∵把矩形ABCD沿EF对折，
∴AD∥BC，∠BFE=∠2，
∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，
∴∠BFE==65°，
∵∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=115°．
9、解：
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，
10、解：过C作CD∥m，
∵m∥n，
∴CD∥n，
∴∠ACD=42°，∠BCD=∠α，
∵AC⊥BC，即∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠α=90°﹣42°=48°．
巅峰突破
1、解：如图，∵AB∥CD，
∴∠1=∠C=40°，
∴∠A=∠1﹣∠E=40°﹣20°=20°．
2．解：∵在△ABC中，∠B+∠C=110°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=35°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD=35°．
3．证明：∵EF∥AB，
∴∠1=∠FAB，
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠1=∠EFA，
∴∠EAF=∠1，
∴∠BAC=2∠1．
4．解：∵直线a∥b，
∴∠1=∠ABD=70°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠EBD=ABD=35°，
∵DE⊥BC，
∴∠2=90°﹣∠EBD=55°．
5．解：作PM∥CD，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠4=∠2，∠3=∠1，
∴∠FPH=∠1+∠2，
∵∠CFE的平分线与∠EGB的平分线的反向延长线交于点P，
∴∠CFQ=2∠1，∠EGB=2∠BGH，
∵∠BGH=∠2，
∴∠FPH=（∠CFQ+∠EGB），
∵∠EGB=∠E+∠EQG，
∵∠EQG=180°﹣∠EQA，
∵CD∥AB，
∴∠CFQ=∠EQA，
∴∠EGB=∠E+180°﹣∠CFQ，
∴∠FPH=（∠CFQ+∠E+180°﹣∠CFQ）
=（20°+180°）
=100°．
6．解：（1）如图1，∵AM∥CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A+∠C=90°，
故答案为：∠A+∠C=90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）可得∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，则
∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α=90°，②
由①②联立方程组，解得α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
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