2019春九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系小专题二与解直角三角形有关的问题课时作业新版北师大版.docx

1 专题(二)　与解直角三角形有关的问题 本专题包括解直角三角形中的坡度与坡角问题、仰角与俯角问题、方向角问题,主要考 查解直角三角形的应用.利用几何图形的特点,根据题意构建所需的直角三角形. 类型 1　坡度、坡角问题 1.(黔东南州中考)如图,某校教学楼 AB 后方有一斜坡,已知斜坡 CD 的长为 12 米,坡角 α 为 60°,根据有关部门的规定,∠α≤39°时,才能避免滑坡危险,学校为了消除安全隐患,决定 对斜坡 CD 进行改造,在保持坡脚 C 不动的情况下,学校至少要把坡顶 D 向后水平移动多少米 才能保证教学楼的安全?(结果取整数,参考数据:sin 39°≈0.63,cos 39°≈0.78,tan 39°≈0.81, 2≈1.41, 3≈1.73, 5≈2.24) 解:假设点 D 移到点 D'的位置时,恰好∠α=39°,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,作 D'E'⊥AC 于点 E'. ∵CD=12 米,∠DCE=60°, ∴DE=CD·sin 60°=12× 3 2 =6 3米,CE=CD·cos 60°=12×1 2=6 米. ∵DE⊥AC,D'E'⊥AC,DD'∥CE', ∴四边形 DEE'D'是矩形, ∴DE=D'E'=6 3米. ∵∠D'CE'=39°, ∴CE'= D'E' tan39° ≈ 6 3 0.81≈12.8 米,2 ∴EE'=CE'-CE=12.8-6=6.8≈7 米. 答:学校至少要把坡顶 D 向后水平移动 7 米才能保证教学楼的安全. 2.图 1 是太阳能热水器装置的示意图,利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能,玻璃吸热 管与太阳光线垂直时,吸收太阳能的效果最好.假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太 阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光线与玻璃吸热管垂直),请 完成以下计算. 如图 2,AB⊥BC,垂足为 B,EA⊥AB,垂足为 A,CD∥AB,CD=10 cm,DE=120 cm,FG⊥DE,垂足为 G.(参考数据:sin 37°50'≈0.61,cos 37°50'≈0.79,tan 37°50'≈0.78) (1)若∠θ=37°50',则 AB 的长约为　83.2　cm; (2)若 FG=30 cm,∠θ=60°,求 CF 的长. 解:(2)延长 ED,BC,交于点 K, 易知∠K=∠θ=60°, 在 Rt△CDK 中,CK= CD tanK = 10 3 cm, 在 Rt△KGF 中,KF= GF sinK = 60 3 cm, 则 CF=KF-KC= 60 3 - 10 3 = 50 3 3 cm. 类型 2　仰角、俯角问题 3.(株洲中考)如图所示,一架水平飞行的无人机AB 的尾端点 A 测得正前方的桥的左端点 P 的 俯角为 α,其中 tan α=2 3,无人机的飞行高度 AH 为 500 3米,桥的长度为 1255 米. (1)求点 H 到桥左端点 P 的距离; (2)若无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30°,求这架无人机的长度 AB.3 解:(1)在 Rt△AHP 中,∵AH=500 3米,tan∠APH=tan α=AH PH=2 3,∴PH=250 米. 答:点 H 到桥左端点 P 的距离为 250 米. (2)设 BC⊥HQ 于点 C. 在 Rt△BCQ 中,∵BC=AH=500 3米,∠BQC=30°, ∴CQ= BC tan30°=1500 米, ∵PQ=1255 米,∴CP=245 米, ∵HP=250 米,∴AB=HC=250-245=5 米. 答:这架无人机的长度 AB 为 5 米. 4.(重庆中考)如图,小王在长江边某瞭望台D 处,测得江面上的渔船 A 的俯角为 40°,若 DE=3 米,CE=2 米,CE 平行于江面 AB,迎水坡 BC 的坡度 i=1∶0.75,坡长 BC=10 米,求此时 AB 的 长.(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84) 解:延长 DE 交 AB 延长线于点 P,作 CQ⊥AP 于点 Q, ∵CE∥AP,∴DP⊥AP, ∴四边形 CEPQ 为矩形, ∴PQ=CE=2,CQ=PE, ∵i=CQ BQ = 1 0.75 = 4 3,∴设 CQ=4x,BQ=3x, 由 BQ2+CQ2=BC2 可得(3x)2+(4x)2=102, 解得 x=2 或 x=-2(舍),4 则 PE=CQ=8,BQ=6, ∴DP=DE+PE=11, 在 Rt△ADP 中,∵AP= DP tanA = 11 tan40°≈13.1, ∴AB=AP-BQ-PQ=13.1-6-2=5.1. 答:此时 AB 的长为 5.1 米. 类型 3　方向角问题 5.(恩施州中考)如图所示,为测量旗台 A 与图书馆 C 之间的直线距离,小明在 A 处测得 C 在北 偏东 30°方向上,然后向正东方向前进 100 米至 B 处,测得此时 C 在北偏西 15°方向上,求旗 台与图书馆之间的距离.(结果精确到 1 米,参考数据: 2≈1.41, 3≈1.73) 解:由题意知∠MAC=30°,∠NBC=15°, ∴∠BAC=60°,∠ABC=75°,∴∠C=45°. 过点 B 作 BE⊥AC,垂足为 E. 在 Rt△AEB 中, ∵∠BAC=60°,AB=100 米, ∴AE=AB×cos∠BAC=100×cos 60°=50 米, BE=AB×sin∠BAC=100×sin 60°=100× 3 2 =50 3米. 在 Rt△CEB 中, ∵∠C=45°,BE=50 3米, ∴CE=BE=50 3≈50×1.73=86.5 米. ∴AC=AE+CE=50+86.5=136.5≈137 米.5 答:旗台与图书馆之间的距离约为 137 米. 6.(河南中考)如图所示,我国两艘海监船 A,B 在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令, 立即前往救援遇险抛锚的渔船 C,此时,B 船在 A 船的正南方向 5 海里处,A 船测得渔船 C 在其 南偏东 45°方向,B 船测得渔船 C 在其南偏东 53°方向,已知 A 船的航速为 30 海里/小时,B 船的航速为 25 海里/小时,问 C 船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据:sin 53°≈ 4 5,cos 53°≈3 5,tan 53°≈4 3, 2≈1.41) 解:作 CE⊥AB 于点 E. 在 Rt△ACE 中,∵∠A=45°,∴AE=EC, 设 AE=EC=x,则 BE=x-5. 在 Rt△BCE 中,∵tan 53°=EC BE, ∴4 3 = x x - 5,解得 x=20,∴AE=EC=20, ∴AC=20 2≈28.2,BC= EC sin53°≈25, ∴A 船到 C 船的时间=AC 30=0.94(小时),B 船到 C 船的时间=BC 25=1(小时), ∴C 船至少要等待 0.94 小时才能得到救援.