数学中考专题23题

第 23 题探究 1、如图，在ΔABC 中，AB=AC,∠BAC=120º,D 为边 AB 上一点，E 为边 BC 上一点，且 ∠BAE=∠ACD. (1) 求证：AD2=DF·CD. (2) 若 EC=4BE,求 的值. (3) 若 AB=2,AD=BD,直接写出 BE 的长. 解：（1）在△DAF 与△DCA 中： ∵∠ADF=∠CDA 且∠BAE=∠ACD， ∴△DAF∽△DCA ∴ 即 AD2=DF·CD. （2）如图，过 B 点作 BE 的垂线，交 AE 的延长线于 G 点，则有△ABG≌△CAD 过 A 点作 AH⊥BC 于 H 点，则 AB=2AH,设 BE=t,则 CE=4t,BC=5t,BH= ,EH= ∴ ,即 BG= AH ∴ （3）解：∵BG=AD=1=AH∴△GBE≌△AHE∴BE=HE= 2、如图 1，在△ABC 中，点 D 在 AC 边上，连接 BD，∠ABD=∠C. (1) 求证：△ADB∽△ABC; (2) 点 E 在 AB 边上，连接 DE,BE=DE 如图 2，若∠C=30°，求证：3AE·BE=AD·CD; 如图 3，△ABC 为锐角三角形，AB=6,AC=9,tan∠C= ，请直接写出 AE 的长. AC AD AD DC DF AD = t2 5 ttt 2 3 2 5 =− 3 2 2 3 === t t EH BE AH BG 3 2 3 1 2 3 2 === AH AH AB BG AC AD 2 3 4 3 4 1 4 1 23 =×== ABBC 4 3