中考中的最值问题选讲

中考中的最值问题选讲 模型一：直径是圆中最大的弦. 〖 例 1〗 如 图 ， AB 是 ⊙ O 的 一 条 弦 ， 点 C 是 ⊙ O 上 一 动 点 ， 且 ∠ ACB=30 ° ， 点 E、 F 分 别 是 AC、 BC 的 中 点 ， 直 线 EF 与 ⊙ O 交 于 G、 H 两 点 ． 若 ⊙ O 的 半 径 为 7， 则 GE+FH 的 最 大 值 为 ___________ 模 型 二 ： 过 圆 内 一 点 的 弦 中 ， 与 过 该 点 的 直 径 垂 直 的 弦 最 短 . 〖 例 2〗在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0），直线 y=kx-3k+4 与⊙O 交于 B、C 两点， 则弦 BC 的长的最小值为__________ 模 型 三 ： 弓 形 上 的 点 到 弦 的 距 离 中 ， 最 大 距 离 是 该 弧 的 中 点 到 弦 的 距 离 （ 或 者 过 圆 心 的 一 条 垂 线 段 ） . 〖 例 3〗 如 图 ， 已 知 ⊙ O 的 半 径 为 2， 弦 BC 的 长 为 ， 点 A 为 弦 BC 所 对 优 弧 上 任 意 一 点 （ B， C 两 点 除 外 ）．（ 1） 求 ∠ BAC 的 度 数 ； （ 2） 求 △ ABC 面 积 的 最 大 值 ． 〖 例 4〗 如 图 ， 直 线 与 两 坐 标 轴 交 于 A、 B 两 点 ， 以 AB 为 直 径 作 ⊙ M， P(a,b)为 ⊙ M 上 一 动 点 ， 则 b-a 的 最 大 值 是 ____________ 例 3 图 例 4 图 模 型 四：如图 ，若 点 P 不 在 ⊙ O 上 ，射 线 OP 交 ⊙ O 于 M,射 线 OP 的 反 向 延 长 线 交 ⊙ O 于 N，则 点 P 到 圆 上 各 点 中 ， PM 的 长 最 小 ， PN 的 长 最 大 . 〖 例 5〗如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点 D 是平面内的一个动点，且 AD=4，M 为 BD 的中 点，在 D 点运动过程中，线段 CM 长度的最大值是 . 2 3 1 22y x= + M O x y P(a,b) B A P Q O MN P Q O MN〖 例 6〗 在矩形 ABCD 中，BC=8, AC=10, 点 P 为边 BC 上一动点，连接 AP，点 E 为 AP 上一点，且 AE,AP 的长 为一元二次方程 的两个根，则 CE 的最小值为_____________ 例 5 图 例 6 图 〖 例 7〗 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 和 等 腰 直 角 三 角 形 CDP 中 ， AC=BC= ,CD=CP,且 PB= ,则 BD 的 最 大 值 是 __________, BD 的 最 小 值 是 __________, 〖 例 8〗 如图, ⊙ O 的 直 径 为 4,C 为 ⊙ O 上 一 个 定 点 , ∠ ABC=30 º,动 点 P 从 A 点 出 发 沿 半 圆 向 B 点 运 动 (点 P 与 点 C 在 直 径 AB 的 异 侧 ),当 P 点 到 达 B 点 时 运 动 停 止 ,在 运 动 过 程 中 ,过 点 C 作 CP 的 垂 线 CD 交 PB 的 延 长 线 于 点 D.则 AD 的 最 大 值 为 ___________ 〖 例 9〗 如 图 ， 已 知 △ ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ∠ BAC=90° ， 点 D 是 BC 的 中 点 ． 作 正 方 形 DEFG， 连 接 AE， 若 BC=DE=2， 在 正 方 形 DEFG 绕 点 D 旋 转 过 程 中 ， 当 AE 为 最 大 值 时 ， 求 AF 的 值 ． 例 7 图 例 8 图 例 9 图 模 型 五 :如 右 图 ,直 线 L 与 ⊙ O 相 离 ，线 段 OP⊥ L,垂 足 为 P,交 ⊙ O 于 点 M， PO 的 延 长 线 交 ⊙ O 于 点 N,则 ⊙ O 上 各 点 到 直 线 L 的 距 离 中 ， 最 小 距 离 是 PM 的 长 ， 最 大 距 离 是 PN 的 长 . 〖 例 10〗 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 点 A（ 6， 0），点 B（ 0， 6）， 动 点 C 在 以 半 径 为 3 的 ⊙ O 上 ， 当 点 C 在 ⊙ O 上 运 动 到 什 么 位 置 时 ， △ ABC 的 面 积 最 大 ？ 并 求 出 △ ABC 的 面 积 的 最 大 值 ． 〖 例 11〗 如 图 矩 形 ABCD， 点 P 为 半 圆 上 任 意 点 ， E 为 BP 的 中 点 ， AB=8， AD=6， 则 四 边 形 ADCE 面 积 的 最 小 值 为 ______________ )0(018)1(2 1 2 ≠=+++ aaxaax 5 2 AB P D C B A L O N M P E P DC B A O P DC BA O y xO C B E A例 10 图 例 11 图 模型六：直线 L 与半径为 r 的圆相离，圆心 O 到直线 L 的距离为 d，点 P 为直线 L 上任意一点，PA 与⊙ O 相 切 于 点 A,则 PA 的 最 小 值 是 ， 此 时 ∠ OPA 最 大 . 〖 例 12〗 如图，在 Rt△AOB 中，OA=OB=3 ，⊙O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作⊙O 的一条 切线 PQ（点 Q 为切点），则切线 PQ 的最小值为 ． 〖 例 13 〗 如图,点 C 是线段 AB 上的点,且 AB=3AC, ∠CEB=90 º,F 是 AE 的中点,设∠ABF= α,则当 α最大 时,sinα=___________ 〖 例 14〗 如图，在矩形 ABCD 中，CD 是⊙O 的直径，E 是 BC 中点，P 是直线 AE 上任意一点，AB=4， BC=6,PM,PN 是⊙O 的切线，M,N 是切点，当∠MPN 最大时，PM 的长为_______________. 例 12 图 例 13 图 例 14 图 模型七：弦与弦心距的关系：弦心距越大，弦越小；弦心距越小，弦越大. 弓形的弦与所对的圆周角的关系：圆周角越大，所对的弦越大. 〖 例 15〗⊙A 经过⊙O 的圆心 O,M、N 分别在⊙O 和⊙A 上，且 MN⊥NO,已知两圆的半径分别是 3、1.则 MN 的 长的最小值________. 〖 例 16〗如图,点 C 是⊙O 上一点, ⊙O 的半径为 ,D、E 分别是弦 AC、BC 上一动点,且 OD=OE= ,则 AB 的最大值为___________ 例 15 图 例 16 图 模型八：将军饮马. 〖 例 17〗已 知 菱 形 ABCD 的 两 条 对 角 线 分 别 为 6 和 8， M、 N 分 别 是 边 BC、 CD 的 中 点 ， P 是 对 角 线 BD 上 一 点 ， 则 PM+PN 的 最 小 值 为 _________. 〖 例 18〗在△ABC 中，已知∠A=60°，∠C=75°，AB=10，点 D、E、F 分别在边 AB、BC、CA 上，则△DEF 的 2 2d r− 2 2 2 A O N M EO C D B A F E C BA E P O C D B A M N周长的最小值为 . 〖 例 19〗 如图，在菱形 ABCD 中，设 AE⊥BC 于点 E,cosB= ,EC=2,点 P 为边 AB 上一动点，则 PE+PC 的最小 值为 . 例 17 图 例 18 图 例 19 图 模型九：两点之间，线段最短. 〖 例 20〗如图，两同心圆半径分别为 、3，点 A、B 分别为同心圆上的动点，以 AB 为边作正方形 ABCD，则 OD 长的最大值为 . 〖 例 21〗△ABC 中，∠ABC=90º,AB=BC,O 为 AC 的中点，M 为OB 上一点，当 AM+BM+CM 的最小值是 时， BC=_______________ 例 20 图 例 21 图 模型十：垂线段最短. 〖 例 22〗如图,在 Rt△ABC 中,AC=3,BC=4,点 D 为斜边 AB 上一点，DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为 E、F.当线段 EF 最小时，cos∠EFD=_____________ 〖 例 23〗 如 图 ， 两 个 同 心 圆 的 半 径 分 别 为 1,4， 则 矩 形 ABCD 的 面 积 最 大 值 为 ____ 4 5 3 3+1 E FD CB A E D C B A F ED C B A O C D B A例 22 图 例 23 图