2019年甘肃省张掖市高台县中考数学模拟试卷（含答案解析）.doc

2019 年甘肃省张掖市高台县中考数学模拟试卷 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．若 a＝﹣0.32，b＝（﹣3）﹣2，c＝（﹣ ）﹣2，d＝（﹣ ）0，则（　　） A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b 2．下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．如图，已知 AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD 的值为（　　） A．20° B．30° C．40° D．70° 4．下列运算正确的是（　　） A．x2+x2＝x4 B． a2•a3＝a5 C．（3x）2 ＝6x2 D．（mn）5÷（mn）＝mn4 5．不解方程，判别方程 2x2﹣3 x＝3 的根的情况（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 6．在反比例函数 y＝ 的图象的每一支位上，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是（　　） A．m＞7 B．m＜7 C．m＝7 D．m≠7 7．⊙O 的半径是 13，弦 AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则 AB 与 CD 的距离是（　　） A．7 B．17 C．7 或 17 D．34 8．如图所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为 AD 边的中点，菱形 ABCD 的周长 为 36，则 OH 的长等于（　　）A．4.5 B．5 C．6 D．9 9．如图，已知直线 y1＝k1x+m 和直线 y2＝k2x+n 交于点 P（﹣1，2），则关于 x 的不等式（k1﹣k2） x＞﹣m+n 的解是（　　） A．x＞2 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1 10．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度 y（m）与挖掘时间 x（h）之间的关 系如图所示．根据图象所提供的信息有：①甲队挖掘 30m 时，用了 3h；②挖掘 6h 时甲队比乙队 多挖了 10m；③乙队的挖掘速度总是小于甲队；④开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时，x＝4 ．其中一定正确的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二．填空题（共 8 小题，满分 32 分，每小题 4 分） 11．若使代数式 有意义，则 x 的取值范围是　 　． 12．把多项式 3a3b﹣27ab3 分解因式的结果是　 　． 13．已知菱形的周长为 20cm，一条对角线长为 6cm，则这个菱形的面积是　 　cm2． 14．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝56°，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，E 是⊙O 上一点，且 ＝ ，连接 OE．过点 E 作 EF⊥OE，交 AC 的延长线于点 F，则∠F 的度数为　 　．15．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的 ，这时增加了乙队， 两队又共同工作了半个月．总工程全部完成，设乙队单独施 1 个月能完成总工程的 ，根据题意 ，得方程　 　． 16．抛物线 y＝﹣x2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0 的解为　 　 ． 17．如果点（m，﹣2m）在双曲线 上，那么双曲线在　 　象限． 18．一组按规律排列的式子： ，﹣ ， ，﹣ ，…（a≠0），其中第 10 个式子是　 　． 三．解答题（共 5 小题，满分 38 分） 19．计算：4sin60°﹣|﹣1|+（ ﹣1）0+ 20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为 A（﹣1，﹣1）、B（﹣3，3）、C（﹣ 4，1） （1）画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1，并写出点 B 的对应点 B1 的坐标； （2）画出△ABC 绕点 A 按顺时针旋转 90°后的△AB2C2，并写出点 C 的对应点 C2 的坐标．21．为了测量白塔的高度 AB，在 D 处用高为 1.5 米的测角仪 CD，测得塔顶 A 的仰角为 42°，再向 白塔方向前进 12 米，又测得白塔的顶端 A 的仰角为 61°，求白塔的高度 AB．（参考数据 sin42° ≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数） 22．为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、 《中庸》（依次用字母 A，B，C 表示这三个材料），将 A，B，C 分别写在 3 张完全相同的不透 明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片，记下内容 后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛． （1）小礼诵读《论语》的概率是　 　；（直接写出答案） （2）请用列表或画树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率． 23．某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C 三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所 示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题： （1）该超市“元旦”期间共销售　 　个绿色鸡蛋，A 品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的 扇形圆心角是　 　度； （2）补全条形统计图； （3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋 1500 个，请你估计这 个分店销售的 B 种品牌的绿色鸡蛋的个数？四．解答题（共 5 小题，满分 50 分） 24．如图，一次函数 y1＝k1x+b 与反比例函数 的图象相交于 A，B 两点，且与坐标 轴的交点为（﹣6，0），（0，6），点 B 的横坐标为﹣4． （1）试确定反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积； （3）直接写出不等式 的解． 25．如图，O 为菱形 ABCD 对角线上一点，以点 O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与 BC 相切于点 M． （1）求证：CD 与⊙O 相切； （2）若菱形 ABCD 的边长为 2，∠ABC＝60°，求⊙O 的半径． 26．某商场一种商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40 元．每天可以销售 48 件，为尽快减少库存 ，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价 0.5 元，每天可多销售 4 件，那么每天要想获得 510 元的利润，每件应降价多少元？ 27．如图，在等边△ABC 中，BC＝8cm，射线 AG∥BC，点 E 从点 A 出发沿射线 AG 以 1cm/s 的速 度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线 BC 以 2cm/s 的速度运动，设运动时间为 t（s）． （1）连接 EF，当 EF 经过 AC 边的中点 D 时，求证：△ADE≌△CDF； （2）填空： ①当 t 为　 　s 时，以 A、F、C、E 为顶点的四边形是平行四边形； ②当 t 为　 　s 时，四边形 ACFE 是菱形． 28．已知，抛物线 y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线 y＝2x+m 有一个公共点 M（1，0），且 a＜b． （1）求 b 与 a 的关系式和抛物线的顶点 D 坐标（用 a 的代数式表示）； （2）直线与抛物线的另外一个交点记为 N，求△DMN 的面积与 a 的关系式； （3）a＝﹣1 时，直线 y＝﹣2x 与抛物线在第二象限交于点 G，点 G、H 关于原点对称，现将线 段 GH 沿 y 轴向上平移 t 个单位（t＞0），若线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求 t 的取 值范围．2019 年甘肃省张掖市高台县中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．【分析】根据乘方的运算法则、负整数指数幂、零指数幂分别计算，再比较大小可得． 【解答】解：∵a＝﹣0.32＝﹣0.09， b＝（﹣3）﹣2＝ ， c＝（﹣ ）﹣2＝9， d＝（﹣ ）0＝1， ∴a＜b＜d＜c， 故选：B． 【点评】本题主要考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握乘方的运算法则、负整数指数幂、 零指数幂． 2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：第一个图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，故错误； 第二个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； 第三个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； 第四、五个是中心对称图形而不是轴对称图形，故正确． 故选：B． 【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念： 轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转 180 度 后与原图重合． 3．【分析】延长 ED 交 BC 于 F，根据平行线的性质求出∠MFC＝∠B＝75°，求出∠FDC＝35°， 根据三角形外角性质得出∠C＝∠MFC﹣∠MDC，代入求出即可． 【解答】解：延长 ED 交 BC 于 F，如图所示： ∵AB∥DE，∠ABC＝75°， ∴∠MFC＝∠B＝75°， ∵∠CDE＝145°，∴∠FDC＝180°﹣145°＝35°， ∴∠C＝∠MFC﹣∠MDC＝75°﹣35°＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠MFC 的度数 ，注意：两直线平行，同位角相等． 4．【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、除法和幂的乘方计算判断即可． 【解答】解：A、x2+x2＝2x2，错误； B、a2•a3＝a5 ，正确； C、（3x）2 ＝9x2，错误； D、（mn）5÷（mn）＝（mn）4，错误； 故选：B． 【点评】此题考查同底数幂的乘法、除法，关键是根据合并同类项、同底数幂的乘法、除法和幂 的乘方法则解答． 5．【分析】先把方程化为一般式得到2x2﹣3 x﹣3＝0，再计算△＝（﹣3 ）2﹣4×2×（﹣3）＝ 18+24＞0，然后根据△的意义判断方程根的情况． 【解答】解：方程整理得 2x2﹣3 x﹣3＝0， ∵△＝（﹣3 ）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0， 方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 6．【分析】根据反比例函数图象的性质得到：m﹣7＞0，由此求得 m 的取值范围． 【解答】解：∵在反比例函数 y＝ 的图象的每一支位上，y 随 x 的增大而减小， ∴m﹣7＞0， 解得 m＞7． 故选：A．【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在 每一象限内 y 随 x 的增大而减小． 7．【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB、CD 的弦心距 OE、OF，再根据两弦在圆心同 侧和在圆心异侧两种情况讨论． 【解答】解：如图，AE＝ AB＝ ×24＝12， CF＝ CD＝ ×10＝5， OE＝ ＝ ＝5， OF＝ ＝ ＝12， ①当两弦在圆心同侧时，距离＝OF﹣OE＝12﹣5＝7； ②当两弦在圆心异侧时，距离＝OE+OF＝12+5＝17． 所以距离为 7 或 17． 故选：C． 【点评】先构造半径、弦心距、半弦长为边长的直角三角形，再利用勾股定理求弦心距，本题要 注意分两种情况讨论． 8．【分析】可先求得 AB 的长，再根据三角形中位线定理可求得 OH 的长． 【解答】解：∵四边形 ABCD 为菱形，且周长为 36， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝9， 又∵O 为 BD 中点，H 为 AD 的中点， ∴OH 为△ABD 的中位线， ∴OH＝ AB＝4.5， 故选：A． 【点评】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直平分是解题的关键． 9．【分析】根据图形，找出直线 l1 在直线 l2 上方部分的 x 的取值范围即可． 【解答】解：由图形可知，当 x＞﹣1 时，k1x+m＞k2x+n，即（k1﹣k2）x＞﹣m+n，所以，关于 x 的不等式（k1﹣k2）x＞﹣m+n 的解集是 x＞﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象在上方的函数值比函数图象在下 方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键． 10．【分析】根据函数图象可以判断题目中的各个小题是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， 甲队挖掘 30m 时，用的时间为：30÷（60÷6）＝3h，故①正确， 挖掘 6h 时甲队比乙队多挖了：60﹣50＝10m，故②正确， 前两个小时乙队挖得快，在 2 小时到 6 小时之间，甲队挖的快，故③错误， 设 0≤x≤6 时，甲对应的函数解析式为 y＝kx， 则 60＝6k，得 k＝10， 即 0≤x≤6 时，甲对应的函数解析式为 y＝10x， 当 2≤x≤6 时，乙对应的函数解析式为 y＝ax+b， ，得 ， 即 2≤x≤6 时，乙对应的函数解析式为 y＝5x+20， 则 ，得 ， 即开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时，x＝4，故④正确， 由上可得，一定正确的是①②④， 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利 用函数的思想和数形结合的思想解答． 二．填空题（共 8 小题，满分 32 分，每小题 4 分） 11．【分析】直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案． 【解答】解：∵分式 有意义， ∴x 的取值范围是：x+2≠0， 解得：x≠﹣2． 故答案是：x≠﹣2． 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 12．【分析】先提出公因式 3ab，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：原式＝3ab（a2﹣9b2）＝3ab（a+3b）（a﹣3b）． 故答案是：3ab（a+3b）（a﹣3b）． 【点评】本题考查了提公因式法和公式法进行分解因式，解决本题的关键是熟记提公因式法和公 式法． 13．【分析】根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一 半求解． 【解答】解：如图，在菱形 ABCD 中，BD＝6． ∵菱形的周长为 20，BD＝6， ∴AB＝5，BO＝3， ∴AO＝ ＝4，AC＝8． ∴面积 S＝ ×6×8＝24． 故答案为 24． 【点评】此题考查了菱形的性质及面积求法，难度不大． 14．【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE 的度数，再利用四边形内角和定理 得出答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝56°， ∴∠ABC＝34°， ∵ ＝ ， ∴2∠ABC＝∠COE＝68°， 又∵∠OCF＝∠OEF＝90°， ∴∠F＝360°﹣90°﹣90°﹣68°＝112°． 故答案为：112°． 【点评】此题主要考查了圆周角定理以及四边形内角和定理，正确得出∠OCE 的度数是解题关键 ．15．【分析】设乙队单独施1 个月能完成总工程的 ，根据甲队完成的任务量+乙队完成的任务量＝ 总工程量（单位一），即可得出关于 x 的分式方程，此题得解． 【解答】解：设乙队单独施 1 个月能完成总工程的 ， 根据题意得： + × + ＝1． 故答案为： + × + ＝1． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关 键． 16．【分析】直接观察图象，抛物线与 x 轴交于 1，对称轴是 x＝﹣1，所以根据抛物线的对称性可 以求得抛物线与 x 轴的另一交点坐标，从而求得关于 x 的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0 的解． 【解答】解：观察图象可知，抛物线y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴的一个交点为（1，0），对称轴为 x＝﹣ 1， ∴抛物线与 x 轴的另一交点坐标为（﹣3，0）， ∴一元二次方程 2x2﹣4x+m＝0 的解为 x1＝1，x2＝﹣3． 故本题答案为：x1＝1，x2＝﹣3． 【点评】本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法．一元二次方程﹣x2+bx+c＝0 的解实质上 是抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标的值． 17．【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征：图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k ，即 xy＝k 可得 k＝﹣2m2＜0，根据反比例函数的性质可得答案． 【解答】解：∵点（m，﹣2m）在双曲线 （k≠0）上， ∴m•（﹣2m）＝k， 解得：k＝﹣2m2， ∵﹣2m2＜0， ∴双曲线在第二、四象限． 故答案为：第二、四． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，以及反比例函数的性质，关键是掌 握图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy＝k． 18．【分析】式子的符号：第奇数个是正号．偶数个是负号，分子等于序号的平方，分母中 a 的指 数是：序号的 3 倍减去 1，据此即可求解．【解答】解：∵ ＝（﹣1）1+1• ， ﹣ ＝（﹣1）2+1• ， ＝（﹣1）3+1• ， … 第 10 个式子是（﹣1）10+1• ＝ ． 故答案是： ． 【点评】本题主要考查了式子的特征，正确理解式子的规律是解题的关键． 三．解答题（共 5 小题，满分 38 分） 19．【分析】将特殊锐角三角函数值代入、计算绝对值、零指数幂、化简二次根式，再进一步计算 可得． 【解答】解：原式＝4× ﹣1+1+4 ＝2 +4 ＝6 ． 【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值、绝对值性质、零指 数幂、二次根式性质． 20．【分析】（1）分别作出点 A，B，C 关于 y 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）分别作出点 B，C 绕点 A 按顺时针旋转 90°后所得对应点，再首尾顺次连接可得． 【解答】解：（1）如图（1）所示，△A1B1C1 即为所求，其中 B1 的坐标为（3，3）．（2）如图（2）所示，△AB2C2 即为所求，C2 的坐标为（1，2）． 【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换和轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换与旋转 变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 21．【分析】设 AE＝x，在 Rt△ACE 中表示出 CE，在 Rt△AFE 中表示出 FE，再由 DH＝CF＝12 米，可得出关于 x 的方程，解出即可得出答案． 【解答】 解：设 AE＝x，在 Rt△ACE 中，CE＝ ＝1.1x， 在 Rt△AFE 中，FE＝ ＝0.55x， 由题意得，CF＝CE﹣FE＝1.1x﹣0.55x＝12， 解得：x＝ ， 故 AB＝AE+BE＝ +1.5≈23 米． 答：这个电视塔的高度 AB 为 23 米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直 角三角形，难度一般． 22．【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再找出小红和小亮诵读两个不同材料的结果数， 然后根据概率公式计算． 【解答】解：（1）小红诵读《论语》的概率＝ ； 故答案为 ． （2）画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中小红和小亮诵读两个不同材料的结果数为 6， 所以小红和小亮诵读两个不同材料的概率＝ ＝ ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从 中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率． 23．【分析】（1）用 C 品牌的数量除以所占的百分比，计算机求出鸡蛋的总量，再用 A 品牌的百 分比乘以 360°计算即可求出圆心角的度数； （2）求出 B 品牌鸡蛋的数量，然后条形补全统计图即可； （3）用 B 品牌所占的百分比乘以 1500，计算即可得解． 【解答】解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200÷50%＝2400 个， A 品牌所占的圆心角： ×360°＝60°； 故答案为：2400，60；（2）B 品牌鸡蛋的数量为：2400﹣400﹣1200＝800 个， 补全统计图如图； （3）分店销售的 B 种品牌的绿色鸡蛋为： ×1500＝500 个． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得 到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接 反映部分占总体的百分比大小． 四．解答题（共 5 小题，满分 50 分） 24．【分析】（1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式； （2）求△AOB 的面积就是求 A，B 两点的坐标，将一次函数与反比例函数的解析式组成方程即 可求得； （3）观察图象即可求得一次函数比反比例函数大的区间． 【解答】解：（1）设一次函数解析式为 y＝kx+b， ∵一次函数与坐标轴的交点为（﹣6，0），（0，6）， ∴ ∴ ， ∴一次函数关系式为：y＝x+6， ∴B（﹣4，2）， ∴反比例函数关系式为： ； （2）∵点 A 与点 B 是反比例函数与一次函数的交点，∴可得：x+6＝﹣ ， 解得：x＝﹣2 或 x＝﹣4， ∴A（﹣2，4）， ∴S△AOB＝6×6÷2﹣6×2＝6； （3）观察图象，易知 的解集为：﹣4＜x＜﹣2． 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．此题综合性较强，注意 数形结合思想的应用． 25．【分析】（1）连接 OM，过点 O 作 ON⊥CD 于 N．只要证明 OM＝ON 即可解决问题； （2）设半径为 r．则 OC＝2﹣r，OM＝r，利用勾股定理构建方程即可解决问题； 【解答】解：（1）连接 OM，过点 O 作 ON⊥CD 于 N． ∵⊙O 与 BC 相切于点 M， ∴OM⊥BC，OM 是⊙O 的半径， ∵AC 是菱形 ABCD 的对角线， ∴AC 平分∠BCD， ∵ON⊥CD，OM⊥BC， ∴ON＝OM＝r， ∴CD 与⊙O 相切； （2）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ACB 是等边三角形， ∴AC＝AB＝2，设半径为 r．则 OC＝2﹣r，OM＝r， ∵∠ACB＝60°，∠OMC＝90°， ∴∠COM＝30°，MC＝ ， 在 Rt△OMC 中，∠OMC＝90° ∵OM2+CM2＝OC2 ∴r2+（ ）2＝（2﹣r）2， 解得 r＝﹣6+4 或﹣6﹣4 （舍弃）， ∴⊙O 的半径为﹣6+4 ． 【点评】本题考查切线的判定，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用 参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 26．【分析】（1）设每次降价的百分率为 x，（1﹣x）2 为两次降价的百分率，40 降至 32.4 就是方 程的平衡条件，列出方程求解即可； （2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问 题的数量关系建立方程求出其解即可． 【解答】解：（1）设每次降价的百分率为 x． 40×（1﹣x）2＝32.4 x＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去） 答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，两次下降的百分率啊 10%； （2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由题意， 得 （40﹣30﹣y）（4× +48）＝510， 解得：y1＝1.5，y2＝2.5， ∵有利于减少库存， ∴y＝2.5． 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元． 【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价 格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．27．【分析】（1）由题意得到 AD＝CD，再由 AG 与 BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到两 对角相等，利用 AAS 即可得证； （2）①分别从当点 F 在 C 的左侧时与当点 F 在 C 的右侧时去分析，由当 AE＝CF 时，以 A、C、 E、F 为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案； ②若四边形 ACFE 是菱形，则有 CF＝AC＝AE＝6，由 E 的速度求出 E 运动的时间即可． 【解答】（1）证明：∵AG∥BC， ∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC， ∵D 为 AC 的中点， ∴AD＝CD， ∵在△ADE 和△CDF 中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）； （2）解：①当点 F 在 C 的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则 CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当 AE＝CF 时，四边形 AECF 是平行四边形， 即 t＝8﹣2t， 解得：t＝ ； 当点 F 在 C 的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则 CF＝BF﹣BC＝2t﹣8（cm）， ∵AG∥BC， ∴当 AE＝CF 时，四边形 AEFC 是平行四边形， 即 t＝2t﹣8， 解得：t＝8； 综上可得：当 t＝ 或 8s 时，以 A、C、E、F 为顶点四边形是平行四边形． ②若四边形 ACFE 是菱形，则有 CF＝AC＝AE＝8， 则此时的时间 t＝8÷1＝8（s）； 故答案是： 或 8；8． 【点评】此题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 28．【分析】（1）把 M 点坐标代入抛物线解析式可得到 b 与 a 的关系，可用 a 表示出抛物线解析 式，化为顶点式可求得其顶点 D 的坐标； （2）把点 M（1，0）代入直线解析式可先求得 m 的值，联立直线与抛物线解析式，消去 y，可 得到关于 x 的一元二次方程，可求得另一交点 N 的坐标，根据 a＜b，判断 a＜0，确定 D、M、N 的位置，画图 1，根据面积和可得△DMN 的面积即可； （3）先根据 a 的值确定抛物线的解析式，画出图 2，先联立方程组可求得当 GH 与抛物线只有一 个公共点时，t 的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t 的值，可得：线段 GH 与抛物线有 两个不同的公共点时 t 的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+ax+b 有一个公共点 M（1，0）， ∴a+a+b＝0，即 b＝﹣2a， ∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+ ）2﹣ ， ∴抛物线顶点 D 的坐标为（﹣ ，﹣ ）； （2）∵直线 y＝2x+m 经过点 M（1，0）， ∴0＝2×1+m，解得 m＝﹣2， ∴y＝2x﹣2， 则 ， 得 ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0， ∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）＝0， 解得 x＝1 或 x＝ ﹣2， ∴N 点坐标为（ ﹣2， ﹣6）， ∵a＜b，即 a＜﹣2a， ∴a＜0， 如图 1，设抛物线对称轴交直线于点 E， ∵抛物线对称轴为 x＝﹣ ＝﹣ ， ∴E（﹣ ，﹣3），∵M（1，0），N（ ﹣2， ﹣6）， 设△DMN 的面积为 S， ∴S＝S△DEN+S△DEM＝ |（ ﹣2）﹣1|•|﹣ ﹣（﹣3）|＝ ， （3）当 a＝﹣1 时， 抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+ ）2+ ， 有 ， ﹣x2﹣x+2＝﹣2x， 解得：x1＝2，x2＝﹣1， ∴G（﹣1，2）， ∵点 G、H 关于原点对称， ∴H（1，﹣2）， 设直线 GH 平移后的解析式为：y＝﹣2x+t， ﹣x2﹣x+2＝﹣2x+t， x2﹣x﹣2+t＝0， △＝1﹣4（t﹣2）＝0， t＝ ， 当点 H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0）， 把（1，0）代入 y＝﹣2x+t， t＝2， ∴当线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是 2≤t＜ ．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三 角形的面积等知识．在（1）中由 M 的坐标得到 b 与 a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函 数解析式，得到关于 x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得 GH 与抛物线一个交点和两 个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．