第一章 整式的乘除
1.逆用幂的运算法则解题
(1)逆用同底数幂相乘的法则解题:同底数幂相乘的法则是am×an=am+n(m,n都是正整数),反过来是am+n=am×an.逆用同底数幂相乘的法则解题,能使运算简便.
【例】已知am=2,an=3,求am+n的值.
【标准解答】因为am+n=am·an,
把am=2,an=3代入am+n,
得am+n=2×3=6.
(2)逆用幂的乘方的法则解题:幂的乘方法则是(am)n=amn(m,n都是正整数),反过来是amn=(am)n.逆用幂的乘方的法则解题,能使运算简便.
【例】已知am=2,求a2m的值.
【标准解答】因为a2m=(am)2,把am=2代入a2m,得a2m=22=4.
(3)逆用积的乘方的法则解题:积的乘方的法则是(a×b)n=an×bn(n是正整数).反过来是an×bn=(a×b)n.逆用积的乘方的法则解题,能使运算简便.
【例】计算:×22016.
【标准解答】×22016
=×2=12015×2
=2.
(4)逆用同底数幂相除的法则解题:同底数幂相除的法则是am÷an=am-n(m、n都是正整数),反过来是am-n=am÷an.逆用同底数幂相除的法则解题,能使运算简便.
【例】已知am=2,an=3,求am-n的值.
【标准解答】因为am-n=am÷an,
把am=2,an=3代入am-n,
得am-n=2÷3=.
1.已知am=2,an=3,求a3m+2n的值.
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2.当4x=9时,计算21-2x的值是多少?
3.求(-8)2015×(0.125)2016的值.
2.用图形面积表示整式的乘法法则(公式)
(1)用图形面积表示平方差公式:
数形结合是重要的数学思想方法之一,通过两个图形的面积变化来直观的反映平方差公式.
【例】将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是 .
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【标准解答】图甲的面积可以表示为(a-b)·
(a+b),图乙可以看作一个边长为a的正方形去掉一个边长为b的正方形,其面积等于a2-b2,因此有(a+b)(a-b)=a2-b2.
答案:(a+b)(a-b)=a2-b2
(2)用图形面积表示多项式乘以多项式的法则:
数形结合是重要的数学思想方法之一,通过数和形两个方面可说明多项式乘以多项式的法则.
【例】新知识一般有两类:第一类是不依赖于其他知识的新知识,如“数”“字母表示数”这样的初始性的知识;第二类是在某些旧知识的基础上进行联系、推广等方式产生的知识,大多数知识是这样的知识.
(1)多项式乘以多项式的法则,是第几类知识?
(2)在多项式乘以多项式之前,你已拥有的有关知识是哪些?(写出三条即可)
(3)请你用已拥有的有关知识,通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则是如何获得的?(用(a+b)(c+d)来说明)
【标准解答】(1)是第二类知识.
(2)单项式乘以多项式(分配律),字母表示数,数可以表示线段的长或图形的面积等.
(3)用数来说明:(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd.
用形来说明:如图,边长为a+b和c+d的矩形,分割前后的面积相等,即(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd.
(3)用杨辉三角表示完全平方公式的系数:
杨辉三角反映了两数和的n次方,即展开式各项的系数的规律,直观形象,简单易记.
【例】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应
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=a2+2ab+b2展开式中的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等.
(1)根据上面的规律,写出的展开式.
(2)利用上面的规律计算:25-5×24+10×23-10×22+5×2-1.
【标准解答】(1)=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.
(2)原式=25+5×24×(-1)+10×23×(-1)2+10×22×(-1)3+5×2×(-1)4+(-1)5=(2-1)5=1.
1.如图,矩形ABCD的面积为 (用含x的代数式表示).
2.先阅读后作答:我们已经知道,根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式,实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明.例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图①的面积关系来说明.
(1)根据图②写出一个等式 .
(2)已知等式:(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,请你画出一个相应的几何图形加以说明.
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3.有足够多的长方形和正方形的卡片,如图:
(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张,可拼成一个长方形(不重叠无缝隙).请画出这个长方形的草图,并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义.
.
这个长方形的代数意义是 .
(2)小明想用类似的方法解释多项式乘法(a+3b)(2a+b)=2a2+7ab+3b2,那么需用2号卡片 张,3号卡片 张.
4.如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均匀分成四块形状大小完全一样的小长方形,然后按图b形状拼成一个大正方形.
(1)你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少?
(2)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?代数式:(m+n)2,(m-n)2,mn.
(3)已知m+n=9,mn=14,求(m-n)2的值.
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3.整式乘除中的整体思想
(1)先利用公式将所求多项式变形,再整体代入求值.
【例】已知实数a,b满足a+b=5,ab=3,则a-b= .
【标准解答】将a+b=5两边平方得:
(a+b)2=a2+b2+2ab=25,
将ab=3代入得:a2+b2=19,
所以(a-b)2=a2+b2-2ab=19-6=13,
则a-b=±.
答案:±
(2)当两个三项式相乘时,通过添括号把其中两项看成一个整体,再利用乘法公式进行计算.
【例】化简:(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2.
【标准解答】(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2=[(x-z)+2y][(x-z)-2y]
-[(x+y)-z]2=(x-z)2-4y2-(x+y)2+2z(x+y)-z2=x2-2xz+z2-4y2-x2-2xy-y2+2xz+2yz-z2
=-5y2-2xy+2yz.
1.若m+n =2,mn =1,则m2+n2= .
2.计算:(1)(3x-2y+5)2.
(2)(2a-b+1)(b-1+2a).
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3.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,求a+b的值.
4.整式加减中的规律探索问题
(1)数表中的“规律探究”
通过观察、分析、比较数表,根据数表中每一行、列中数的自身特点和数表中前后数之间的联系来发现、归纳规律.
【例】观察下列数表:
第一列
第二列
第三列
第四列
第一行
1
2
3
4
第二行
2
3
4
5
第三行
3
4
5
6
第四行
4
5
6
7
……
…
…
…
…
请猜想第n行第n列上的数是 .
【标准解答】通过观察、分析、比较可知:第1行与第1列,第2行与第2列,第3行与第3列,第4行与第4列,交叉点上的数依次为1、3、5、7,它们是连续的奇数,所以可猜想第n行与第n列交叉点上的数为2n-1.
答案:2n-1
(2)图形中的“规律探究”
从简单图形入手,抓住随着“编号”或“序号”增加时,后一个图形与前一个图形相比,通过类比、计算等方法找出数量上的变化规律,从而推出一般性的结论,再验证所总结规律的正确性.
【例1】如图,观察每一个图中黑色正六边形的排列规律,则第10个图中黑色正六边形有 个.
【标准解答】第1个图有1个黑色正六边形,第2个图有4=22个黑色正六边形,第3个图有9=32个黑色正六边形,…,第n个图有n2个黑色正六边形,因此第10个图有100个黑色正六边形.
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答案:100
【例2】如图,每个图案都由若干个棋子摆成,按照此规律,第n个图案中棋子的总个数可用含n的代数式表示为 .
【标准解答】从行上看,每个图中棋子的行数等于图形的序号n,而列数比图形的序号多1,即为n+1,所以第n个图案中棋子的总个数为n(n+1).
答案:n(n+1)
(3)等式中的“规律探究”
观察等式的左、右两边的数式,随着序号变化有何特点,通过分析、比较、归纳,得出规律.
【例】观察下列等式:
12+2×1=1×(1+2)
22+2×2=2×(2+2)
32+2×3=3×(3+2)
……
则第n个等式可以表示为 .
【标准解答】通过观察可以发现,等式的左边是两项,第1项是从1开始的整数的平方,第2项是2与这个整数的乘积,所以在左边可用一般式子表示为n2+2n(n为大于等于1的整数),每一项等式的右边是这个整数与2的和的积,所以可用一般的式子表示为n,所以第n个等式为n2+2n=n.
答案:n2+2n=n
(4)算式中的“规律探究”
依据算式找寻规律就是根据每个算式自身特点,以及前后算式之间的联系发现归纳规律.
【例】已知:
=3×2=6,
=5×4×3=60,
=5×4×3×2=120,
=6×5×4×3=360,…,
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观察前面的计算过程,寻找计算规律计算= (直接写出计算结果),并比较 (填“>”“.
答案:42 >
1.观察下列各式及其展开式
=a2+2ab+b2
=a3+3a2b+3ab2+b3
=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想的展开式第三项的系数是 ( )
A.36 B.45 C.55 D.66
2.一组按照规律排列的式子:x,,,,,……,其中第8个式子是 ;第n个式子是 .(n为正整数)
3.如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个▲组成,第2个图案由7个▲组成,第3个图案由10个▲组成,第4个图案由13个▲组成,…,则第n(n为正整数)个图案由 个▲组成.
4.将全体正整数排成一个三角形数阵,根据上述排列规律,数阵中第10行从左至右的第5个数是 .
1
2 3
4 5 6
15
7 8 9 10
……
5.观察下列关于自然数的等式:
(1)32—4×12=5 ①
(2)52—4×22=9 ②
(3)72—4×32=13 ③
……
根据上述规律解决下列问题:
(1)完成第四个等式:
92—4×( )2=( ).
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.
5.乘法公式在实际生活中的应用
乘法公式在实际应用中主要是解决有关整式的计算求值问题,使运算量大大减少,显示利用公式的优越性和使用价值,是数学联系实际的一个重要方面.
(1)用乘法公式解决面积问题
【例】光明幼儿园有一个游戏场和一个桂花园,所占地的形状都是正方形,面积也相同.后来重新改建,扩大了游戏场,缩小了桂花园,扩大后的游戏场地仍为正方形,边长比原来增大了3米,缩小后的桂花园也为正方形,边长比原来减少了2米,设它们原来的边长为x米,请表示出扩大后的游戏场地比缩小后的桂花园的面积多多少平方米,并计算x=16时的值.
【标准解答】(x+3)2-(x-2)2=(x2+6x+9)-(x2-4x+4)
=x2+6x+9-x2+4x-4=10x+5.
当x=16时,原式=10×16+5=165(平方米)
所以扩大后的游戏场地比缩小后的桂花园的面积多(10x+5)平方米,当x=16时,为165平方米.
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(2)用乘法公式解决包装问题
【例】将一条边长为2.4m镀金彩边剪成两段,恰好可用来镶两张大小不同的正方形壁画的边,而两张壁画的面积相差1 200 cm2,这条彩边应剪成多长的两段?
【标准解答】设较大正方形壁画的周长为xcm,则较小正方形壁画的周长为(240-x)cm.
由题意,得-=1200,
即-=1200.
去括号,得-3600+30x-=1200,
即30x=4800.解得x=160,240-160=80(cm).所以这条彩边应剪成长为160cm,80cm的两段.
某商人对数字“8”情有独钟,他每年八月份都要到制作广告牌的张师傅那里做两个一大一小的正方形广告牌,面积之差为8的倍数.请问两张广告牌的边长至少要满足什么样的条件,才能符合商人的要求.
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跟踪训练答案解析
1.逆用幂的运算法则解题
【跟踪训练】
1.【解析】a3m+2n=a3m×a2n=×.
把am=2,an=3代入得
a3m+2n=23×32=8×9=72.
2.【解析】因为4x=(2)2x=9,
所以21-2x=2÷22x=2÷9=.
3.【解析】∵(ab)n=anbn,
∴(-8)2015×(0.125)2016
=[(-8)×0.125]2015×0.125
=(-1)2015×0.125
=(-1)×0.125
=-0.125.
2.用图形面积表示整式的乘法法则(公式)
【跟踪训练】
1.【解析】面积=AD×AB=(x+3)(x+2).
答案:(x+3)(x+2)
2.【解析】(1)(a+2b)(2a+b)
=2a2+5ab+2b2.
(2)画出的图形如图所示.
3.【解析】(1)图形如下:
15
代数意义为:a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b).
(2)需用2号卡片3张,3号卡片7张.
4.【解析】(1)m-n.
(2)(m-n)2=(m+n)2-4mn.
(3)当m+n=9,mn=14时,
(m-n)2=(m+n)2-4mn=92-4×14
=81-56=25.
3.整式乘除中的整体思想
【跟踪训练】
1.【解析】m2+n2=(m+n)2-2mn=2.
答案:2
2.【解析】(1)(3x-2y+5)2=[(3x-2y)+5]2
=(3x-2y)2+10(3x-2y)+25
=9x2-12xy+4y2+30x-20y+25.
(2)(2a-b+1)(b-1+2a)
=[2a-(b-1)][2a+(b-1)]
=4a2-(b-1)2
=4a2-b2+2b-1.
3.【解析】∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,
∴[(2a+2b)+1][(2a+2b)-1]=63,
∴(2a+2b)2-1=63,
∴(2a+2b)2=64,
∴2a+2b=8或2a+2b=-8,
∴a+b=4或a+b=-4,
∴a+b的值为4或-4.
4.整式加减中的规律探索问题
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【跟踪训练】
1.【解析】选B.∵由杨辉三角可得:
∴的展开式第三项的系数是45.
2.【解析】根据前5个数,可以得到这一组数排列的规律是分子的指数是从1开始的奇数,分母是底数从1开始的自然数的平方,因此第8个式子是=,第n个式子是.
答案:
3.【解析】观察发现:
第一个图形有3×2-3+1=4个三角形;
第二个图形有3×3-3+1=7个三角形;
第三个图形有3×4-3+1=10个三角形;
…
第n个图形有3(n+1)-3+1=3n+1个三角形.
答案:3n+1
4.【解析】由排列的规律可得,第n-1行结束的时候排了1+2+3+…+n-1
=n(n-1)个数.
所以第n行从左向右的第5个数为
n(n-1)+5.
所以当n=10时,第10行从左向右的第5个数为50.
答案:50
5.【解析】(1)92-4×42=17.
(2)(2n+1)2-4×n2=4n+1;
∵左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边,
∴等式成立.
5.乘法公式在实际生活中的应用
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【跟踪训练】
分析:若设两张广告牌的边长大的为a米,小的为b米,即可得a2-b2=8n(n为正整数),若以a=3,b=1为例发现32-12=8,符合条件;若a=4,b=2,则42-22=12,不符合条件;若a=5,b=3,则52-32=16=8×2,符合条件……这样多写几组,便可发现两个相邻的奇数,其中较大的与较小的平方差是8的倍数.
【解析】设两张广告牌的边长是相邻的奇数时,两张广告牌的面积之差是8的倍数,因为(2n+1)2-(2n-1)2=(4n2+4n+1)-(4n2-4n+1)=8n(n为正整数).
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