第十九章 一次函数
本 章 总 结 提 升
知识框架
知识框架
整合提升
整合提升
本章总结提升
知 识 框 架
变化的世界
建立数学模型
函数
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量
x
和
y
，并且对于
x
的每一个确定的值，，
y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说
x
是自变量，
y
是
x
的函数
应用
一次函数
一般地，形如
y
＝
kx
＋
b
的函数，叫做一次函数
再认识
一元一次方程
一元一次不等式
一元一次方程组
方程（组）、不等式与函数之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来
.
解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用
本章总结提升
一次函数
图象
性质
一次函数
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)
的图象是一条直线，我们称它为直线
y
＝
kx
＋
b
，它可以看作是由直线
y
＝
kx
平移
|
b
|
个单位长度得到，当
b
＞
0
时，向上平移；当
b
＜
0
时，向下平移
当
k
＞
0
时，直线
y
＝
kx
＋
b
从左向右上升，
y
随
x
的增大而增大；当
k
＜
0
时，直线
y
＝
kx
＋
b
从左向右下降，
y
随
x
的增大而减小．
类型之一 求字母系数的值或其取值范围
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这类问题的特点：在已知函数解析式中设置未知系数，要求该函数是一次函数或具备一次函数的某些性质，据此确定解析式中的未知系数的值或未知数的取值范围．
整 合 提 升
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例
1
关于
x
的函数
y
＝
(k
－
5)x
|k|
－
4
＋
2
是一次函数，求此函数的解析式．
第
1
课时 二次根式的概念
【
归纳总结
】
解答此类问题时，要牢记一次函数的定义、图象及性质，特别注意一次项系数不为零、图象所经过的象限与
k
，
b
的符号关系等．
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【
针对训练
】
1
．已知关于
x
的一次函数
y
＝
mx
＋
2x
－
2
，要使函数值
y
随
x
的增大而增大，则
m
的取值范围是
(
)
A
．
m≥0 B
．
m>
－
2
C
．
m≤0 D
．
m<
－
2
[
解析
]
由一次函数的性质知要使
y
随
x
的增大而增大，
m
必须满足
m
＋
2>0
，则
m>
－
2.
故选
B.
B
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类型之二 确定一次函数的解析式
确定一次函数
y
＝
kx
＋
b(k
，
b
为常数，且
k≠0)
的解析式的常用方法：一是待定系数法，选取关于
x
，
y
的两对对应值代入一次函数的解析式
y
＝
kx
＋
b
，建立关于
k
，
b
的二元一次方程组，从而求出
k
和
b
的值；二是平移坐标法，直线
y
＝
kx
＋
b
的平移规律可理解为“左加右减，上加下减”，而在同一直角坐标系内平移直线时，平移前后两直线解析式中的“
k”
保持不变．
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例
2
已知一次函数的图象过点
(1
，
1)
与
(2
，－
1)
，求这个函数的解析式．
[
解析
]
由一次函数的定义，可设这个函数的解析式为
y
＝
kx
＋
b(k
，
b
为常数，
k≠0)
，把
x
＝
1
，
y
＝
1
和
x
＝
2
，
y
＝－
1
这两对值代入，求出
k
和
b
的值即可．
本章总结提升
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【
归纳总结
】
一般地，形如
y
＝
kx
＋
b(k
，
b
为常数，
k≠0)
的函数叫做一次函数，因此求一次函数的解析式时，首先设一次函数的解析式为
y
＝
kx
＋
b
，利用已知条件建立关于
k
，
b
的二元一次方程组，只要求出
k
和
b
的值，便可确定一次函数的解析式．
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【
针对训练
】
D
2
．如图
19
－
T
－
1
，直线
m
是一次函数
y
＝
kx
＋
b
的图象，则
k
的值是
(
)
A
．－
2
B
．－
1
C
．
1
D
．
2
图
19
－
T
－
1
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类型之三 求函数图象与坐标轴围成的三角形面积
由于一次函数的图象是直线，所以当它的图象与两坐标轴相交时，可能产生一个三角形，于是就出现了把一次函数与三角形内容相联系的许多问题，大多以考查三角形的周长、面积为主．
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例
3
已知一次函数
y
＝
kx
＋
b
的图象经过点
(1
，－
2)
和
(3
，
2)
．
(1)
求常数
k
，
b
的值；
(2)
若直线分别交坐标轴于
A
，
B
两点，
O
为坐标原点，求△
AOB
的面积．
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【
针对训练
】
4
图
19
－
T
－
2
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类型之四 利用函数图象解方程
(
组
)
、不等式
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[
解析
]
把二元一次方程
mx
＋
ny
＝
p
转化为一次函数
y
＝
kx
＋
b(k≠0)
的形式，准确地画出这两个一次函数的图象，不难解决以上问题．
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【
归纳总结
】
本题主要考查一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式的关系，综合了方程、函数、不等式等重要知识内容．如第
(3)
问从形的方面解二元一次方程组；第
(4)
问是从数量关系上解二元一次方程组．注意：从图上求两条直线的交点坐标只是近似值，而用代数方法求出的方程组的解才是准确的；第
(5)
问是从形的方面求一元一次不等式的解集．通过该题全面了解二元一次方程组的解与两条直线的交点坐标的关系，这样，所学过的一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式就和谐地统一起来了．
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【
针对训练
】
4
．已知函数
y
1
＝
kx
－
2
和
y
2
＝－
3x
＋
b
的图象相交于点
A(2
，－
1)
．
(1)
求
k
，
b
的值，并在同一坐标系中画出两个函数的图象．
(2)
利用图象求出当
x
取何值时有：
①
y
1
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