2019年江苏省苏州市高新区第四中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列四个数中，是负数的是（ ）
A．|﹣2| B．（﹣2）2 C．﹣（﹣2） D．﹣|﹣2|
2．从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．球
3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口44亿，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．44×108 B．4.4×109 C．4.4×108 D．4.4×1010
4．如图所示的四个图案是四国冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，要测量被池塘隔开的A，B两点的距离，小明在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，并分别找出它们的中点D，E，连接DE，现测得DE＝45米，那么AB等于（ ）
A．90米 B．88米 C．86米 D．84米
6．如图，将△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，若OA＝4，∠AOB＝35°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BDO＝60° B．∠BOC＝25° C．OC＝4 D．BD＝4
7．一组数据：2，﹣1，0，3，﹣3，2．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．0，2 B．1.5，2 C．1，2 D．1，3
8．某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱
B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多
C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱
D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱
9．若a＜b，则下列各式一定成立的是（ ）
A．a+3＞b+3 B． C．a﹣1＜b﹣1 D．3a＞3b
10．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y
轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为（ ）
A． B．3 C． D．5
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
12．已知a，b是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则代数式a+b的值为 ．
13．从长度分别为3，4，6，9的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为 ．
14．如图，边长为a，b的长方形的周长为16，面积为10，则a2b+ab2＝
15．在同一平面内，将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（∠C＝60°，∠F＝45°），其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则∠CGF＝ °．
16．一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 （用含的n式子表示，n为正整数）．
17．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A、B分别在l3、l2上，则tanα的值是 ．
18．如果二次函数y＝x2+3kx+2k﹣4图象对称轴为直线x＝3，那么二次函数的最小值是 ．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（10分）（1）计算﹣（﹣1）0+12×3﹣1﹣|﹣5|
（2）化简1﹣．
20．（8分）解不等式组：把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解．
21．（8分）小亮一家到桃林口水库游玩．在岸边码头P处，小亮和爸爸租船到库区游玩，妈妈在岸边码头P处观看小亮与爸爸在水面划船，小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行，划行速度是20米/分钟，划行10分钟后到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处，在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
22．（8分）我校为了迎接体育中考，了解学生的体育成绩，从全校1000名九年级学生中随机抽取了部分学生进行体育测试，其中“跳绳”成绩制作图如下：
成绩段
频数
频率
160≤x＜170
5
0.1
170≤x＜180
10
a
180≤x＜190
b
0.14
190≤x＜200
16
c
200≤x＜210
12
0.24
根据图表解决下列问题：
（1）本次共抽取了 名学生进行体育测试，表（1）中，a＝ ，b＝ c＝ ；
（2）补全图（2）；
（3）“跳绳”数在180（包括180）以上，则此项成绩可得满分．那么，你估计全校九年级有多少学生在此项成绩中获满分？
23．（8分）不透明的袋子中装有4个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们分别标号：1、2、3、4
（1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两次取的球标号相同”的概率
（2）随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和等于4”的概率．
24．（8分）如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB＝AC，tan∠ABC＝．求BC的长．
25．（9分）已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ＝45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN．
（1）求证：△ABM∽△NDA；
（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．
26．（10分）某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器超出5个的部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x（x＞5）个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
（3）当需要购买50个计算器时，买哪种品牌的计算器更合算？
27．（13分）已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y＝x交于点C，点P（m，0）在x轴上运动．
（1）求直线l的解析式；
（2）过点P作l的平行线交直线y＝x于点D，当m＝3时，求△PCD的面积；
（3）是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．
①求四边形ACFD的面积；
②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．
2019年江苏省苏州市高新区第四中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】先化简，再利用负数的意义判定．
【解答】解：A、|﹣2|＝2，是正数；
B、（﹣2）2＝4，是正数；
C、﹣（﹣2）＝2，是正数；
D、﹣|﹣2|＝﹣2，是负数．
故选：D．
【点评】此题考查绝对值、相反数以、乘方以及负数的意义等基础知识．
2．【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱．
【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱．
故选：A．
【点评】此题考查利用三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．
3．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：44亿＝4.4×109．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：根据轴对称图形的概念，A、B、C都不是轴对称图形，D是轴对称图形．
故选：D．
【点评】
本题主要考查轴对称图形，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
5．【分析】根据中位线定理可得：AB＝2DE＝90米．
【解答】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB，
∵DE＝45米，
∴AB＝2DE＝90米，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6．【分析】由△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD知∠AOC＝∠BOD＝60°，AO＝CO＝4、BO＝DO，据此可判断C；由△AOC、△BOD是等边三角形可判断A选项；由∠AOB＝35°，∠AOC＝60°可判断B选项，据此可得答案．
【解答】解：∵△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°，AO＝CO＝4、BO＝DO，故C选项正确；
则△AOC、△BOD是等边三角形，
∴∠BDO＝60°，故A选项正确；
∵∠AOB＝35°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝60°﹣35°＝25°，故B选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质．
7．【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3、4个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是1，得到这组数据的众数．
【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列﹣3，﹣1，0，2，2，3，
第3、4个两个数的平均数是（0+2）÷2＝1，
所以中位数是1；
在这组数据中出现次数最多的是2，
即众数是2，
故选：C．
【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
8．【分析】A、观察函数图象，可得出：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；
B、观察函数图象，可得出：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；
C、利用待定系数法求出：当x≥25时，yA与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x＝35时yA的值，将其与50比较后即可得出结论C正确；
D、利用待定系数法求出：当x≥50时，yB与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x＝70时yB的值，将其与120比较后即可得出结论D错误．
综上即可得出结论．
【解答】解：A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；
B、观察函数图象，可知：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；
C、设当x≥25时，yA＝kx+b，
将（25，30）、（55，120）代入yA＝kx+b，得：
，解得：，
∴yA＝3x﹣45（x≥25），
当x＝35时，yA＝3x﹣45＝60＞50，
∴每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱，结论C正确；
D、设当x≥50时，yB＝mx+n，
将（50，50）、（55，65）代入yB＝mx+n，得：
，解得：，
∴yB＝3x﹣100（x≥50），
当x＝70时，yB＝3x﹣100＝110＜120，
∴结论D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
9．【分析】利用不等式的基本性质化简，判断即可．
【解答】解：由a＜b，得到a+3＜b+3，＜，a﹣1＜b﹣1，3a＜3b，
故选：C．
【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
10．【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．
【解答】
解：
过点D做DF⊥BC于F
由已知，BC＝5
∵四边形ABCD是菱形
∴DC＝5
∵BE＝3DE
∴设DE＝x，则BE＝3x
∴DF＝3x，BF＝x，FC＝5﹣x
在Rt△DFC中，
DF2+FC2＝DC2
∴（3x）2+（5﹣x）2＝52
∴解得x＝1
∴DE＝1，FD＝3
设OB＝a
则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a）
∵点D、C在双曲线上
∴1×（a+3）＝5a
∴a＝
∴点C坐标为（5，）
∴k＝
故选：C．
【点评】本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质．解题关键是通过勾股定理构造方程．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．
【解答】解：根据题意知3﹣2x≠0，
解得：x≠，
故答案为：x≠．
【点评】本题主要考查自变量得取值范围的知识点，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．
12．【分析】根据根与系数的关系可得出a+b＝3，此题得解．
【解答】解：∵a、b是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，
∴a+b＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
13．【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以求得能组成三角形的概率．
【解答】解：从长度分别为3，4，6，9的四条线段中任取三条的所有可能性是：
（3，4，6）、（3，4，9）、（3，6，9）、（4，6，9），
能组成三角形的可能性是：（3，4，6）、（4，6，9），
∴能组成三角形的概率为：＝，
故答案为．
【点评】
本题考查列表法和树状图法、三角形三边关系，解答此类问题的关键是写出所有的可能性．
14．【分析】根据长方形的周长及面积可得出a+b＝8、ab＝10，将其代入a2b+ab2＝ab（a+b）中即可求出结论．
【解答】解：∵长方形的周长为16，面积为10，
∴a+b＝8，ab＝10，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×8＝80．
故答案为：80．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及长方形的周长及面积，根据长方形的周长及面积找出a+b＝8、ab＝10是解题的关键．
15．【分析】根据直角三角形的性质得到AD＝CD，求得∠DAC＝∠C＝60°根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝60°，
∴∠EAG＝120°，
∴∠AGE＝180°﹣120°﹣45°＝15°，
∴∠CGF＝∠QGE＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
16．【分析】观察分母的变化为a的1次幂、2次幂、3次幂…n次幂；分子的变化为：2、5、10、17…n2+1；分式符号的变化为：+、﹣、+、﹣…（﹣1）n+1．
【解答】解：∵＝（﹣1）2•，
＝（﹣1）3•，
＝（﹣1）4•，
…
∴第7个式子是，
第n个式子为：．
故答案是：，．
【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
17．【分析】过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD＝BE，然后利用勾股定理列式求出AC，然后利用锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC＝BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝1，
∴DE＝3，
∴tan∠α＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
18．【分析】根据二次函数y＝x2+3kx+2k﹣4图象对称轴为直线x＝3，可以求得k的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可求得该函数的最小值，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+3kx+2k﹣4图象对称轴为直线x＝3，
∴＝3，得k＝﹣2，
∴y＝x2﹣6x﹣8＝（x﹣3）2﹣17，
∴当x＝3时，y取得最小值，此时y＝﹣17，
故答案为：﹣17．
【点评】本题考查二次函数的性质、最值和图象，解答本题的关键是明确题意，求出k的值，利用二次函数的性质解答．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．【分析】（1）利用零指数幂、负整数指数幂的意义和绝对值的意义进行计算；
（2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行通分即可．
【解答】解：（1）原式＝8﹣1+12×﹣5
＝8﹣1+4﹣5
＝6；
（2）原式＝1﹣•
＝1﹣
＝
＝﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了分式的混合运算．
20．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得，x≤3，
由②得，x＞﹣2，
故不等式组的解集为：﹣2＜x≤3，
在数轴上表示为：
．
其整数解为：﹣1，0，1，2，3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．【分析】作PQ⊥AB于Q，根据已知，∠APQ＝30°．解直角三角形求出PB即可；
【解答】解：作PQ⊥AB于Q，根据已知，∠APQ＝30°．
则AQ＝AP
∵AP＝20×10＝200
∴AQ＝100
∴PQ＝＝100，
在Rt△BPQ中，sinB＝，
∴PB＝100÷0.60≈288米
∴此时，小亮与妈妈相距288米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．【分析】（1）根据成绩段160≤x＜170的频数与频率求出抽取学生总数，进而求出a，b，c的值即可；
（2）根据成绩段180≤x＜190的频数，补全图2即可；
（3）根据）“跳绳”数在180（包括180）以上人数的频率乘以1000即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：5÷0.1＝50；a＝10÷50＝0.2；b＝50×0.14＝7；c＝16÷50＝0.32；
故答案为：50；0.2；7；0.32；
（2）成绩段180≤x＜190的频数为7，补全图2，如图所示：
；
（3）根据题意得：1000×（0.14+0.32+0.24）＝700（名），
则估计全校九年级有700名学生在此项成绩中获满分．
【点评】此题考查了频数分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
23．【分析】（1）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次取的球标号相同的结果数，然后根据概率公式求解
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次取出的球标号和等于4的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次取的球标号相同的结果数为4，
所以“两次取的球标号相同”的概率＝＝；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和等于4的结果数为2，
所以“两次取出的球标号和等于4”的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
24．【分析】连接AO，交BC于点E，连接BO，求出＝，根据垂径定理得出OA⊥BC，BC
＝2BE，设AE＝x，则BE＝3x，OE＝5﹣x，根据勾股定理得出方程（3x）2+（5﹣x）2＝52，求出方程的解即可．
【解答】解：连接AO，交BC于点E，连接BO，
∵AB＝AC，
∴＝，
又∵OA是半径，
∴OA⊥BC，BC＝2BE，
在Rt△ABE中，∵tan∠ABC＝，
∴＝，
设AE＝x，则BE＝3x，OE＝5﹣x，
在Rt△EO中，BE2+OE2＝OB2，
∴（3x）2+（5﹣x）2＝52，
解得：x1＝0（舍去），x2＝1，
∴BE＝3x＝3，
∴BC＝2BE＝6．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形，用了方程思想，难度适中．
25．【分析】（1）由正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，可证得∠ABM＝∠ADN＝135°，又由∠MAN＝45°，可证得∠BAM＝∠AND＝45°﹣∠DAN，即可证得△ABM∽△NDA；
（2）证出四边形BMND是平行四边形，再证出∠BDN＝90°，继而求得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，
∵BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，
∴∠ABM＝∠ADN＝135°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＝∠AND＝45°﹣∠DAN，
∴△ABM∽△NDA；
（2）解：当∠BAM＝22.5°时，四边形BMND为矩形；理由如下：
∵∠BAM＝22.5°，∠EBM＝45°，
∴∠AMB＝22.5°，
∴∠BAM＝∠AMB，
∴AB＝BM，
同理AD＝DN，
∵AB＝AD，∴BM＝DN，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠BDN＝∠DBM＝90°
∴∠BDN+∠DBM＝180°，
∴BM∥DN
∴四边形BMND为平行四边形，
∵∠BDN＝90°，
∴四边形BMND为矩形．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质．注意能证得当四边形BMND为矩形时，△ABM是等腰三角形是难点．
26．【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据题意用含x的代数式表示出y1、y2即可；
（3）把x＝50代入两个函数关系式进行计算，比较得到答案．
【解答】解：（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为x、y元，由题意得，
，
解得．
答：A、B两种品牌的计算器的单价分别为30元、32元；
（2）y1＝24x，
y2＝160+（x﹣5）×32×0.7＝22.4x+48；
（3）当x＝50时，y1＝24x＝1200，
y2＝22.4x+48＝1168，
∵1168＜1200，
∴买B品牌的计算器更合算．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用和一次函数的应用，正确找出等量关系列出方程组并正确解出方程组、掌握一次函数的性质是解题的关键．
27．【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得直线l的解析式；
（2）联立直线l和直线y＝x，可求得C点坐标，由条件可求得直线PD的解析式，同理可求得D点坐标，则可分别求得△POD和△POC的面积，则可求得△PCD的面积；
（3）由P、A、C的坐标，可分别表示出PA、PC和AC的长，由等腰三角形的性质可得到关于m的方程，则可求得m的值，则可求得P的坐标．
【解答】解：
（1）设直线l解析式为y＝kx+b，
把A、B两点坐标代入可得，解得，
∴直线l解析式为y＝﹣2x+12；
（2）解方程组，可得，
∴C点坐标为（4，4），
设PD解析式为y＝﹣2x+n，把P（3，0）代入可得0＝﹣6+n，解得n＝6，
∴直线PD解析式为y＝﹣2x+6，
解方程组，可得，
∴D点坐标为（2，2），
∴S△POD＝×3×2＝3，S△POC＝×3×4＝6，
∴S△PCD＝S△POC﹣S△POD＝6﹣3＝3；
（3）∵A（6，0），C（4，4），P（m，0），
∴PA2＝（m﹣6）2＝m2﹣12m+36，PC2＝（m﹣4）2+42＝m2﹣8m+32，AC2＝（6﹣4）2+42＝20，
当△PAC为等腰三角形时，则有PA＝PC、PA＝AC或PC＝AC三种情况，
①当PA＝PC时，则PA2＝PC2，即m2﹣12m+36＝m2﹣8m+32，解得m＝1，此时P
点坐标为（1，0）；
②当PA＝AC时，则PA2＝AC2，即m2﹣12m+36＝20，解得m＝6+2或m＝6﹣2，此时P点坐标为（6+2，0）或（6﹣2，0）；
③当PC＝AC时，则PC2＝AC2，即m2﹣8m+32＝20，解得m＝2或m＝6，当m＝6时，P与A重合，舍去，此时P点坐标为（2，0）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（1，0）或（6+2，0）或（6﹣2，0）或（2，0）．
【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、三角形的面积、等腰三角形的性质、勾股定理、分类讨论思想及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得C、D的坐标是解题的关键，在（3）中用P点坐标分别表示出PA、PC的长是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
28．【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）①连接CD，则可知CD∥x轴，由A、F的坐标可知F、A到CD的距离，利用三角形面积公式可求得△ACD和△FCD的面积，则可求得四边形ACFD的面积；②由题意可知点A处不可能是直角，则有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°，当∠ADQ＝90°时，可先求得直线AD解析式，则可求出直线DQ解析式，联立直线DQ和抛物线解析式则可求得Q点坐标；当∠AQD＝90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），设直线AQ的解析式为y＝k1x+b1，则可用t表示出k′，设直线DQ解析式为y＝k2x+b2，同理可表示出k2，由AQ⊥DQ则可得到关于t的方程，可求得t的值，即可求得Q点坐标．
【解答】解：
（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴F（1，4），
∵C（0，3），D（2，3），
∴CD＝2，且CD∥x轴，
∵A（﹣1，0），
∴S四边形ACFD＝S△ACD+S△FCD＝×2×3+×2×（4﹣3）＝4；
②∵点P在线段AB上，
∴∠DAQ不可能为直角，
∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°，
i．当∠ADQ＝90°时，则DQ⊥AD，
∵A（﹣1，0），D（2，3），
∴直线AD解析式为y＝x+1，
∴可设直线DQ解析式为y＝﹣x+b′，
把D（2，3）代入可求得b′＝5，
∴直线DQ解析式为y＝﹣x+5，
联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或，
∴Q（1，4）；
ii．当∠AQD＝90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），
设直线AQ的解析式为y＝k1x+b1，
把A、Q坐标代入可得，解得k1＝﹣（t﹣3），
设直线DQ解析式为y＝k2x+b2，同理可求得k2＝﹣t，
∵AQ⊥DQ，
∴k1k2＝﹣1，即t（t﹣3）＝﹣1，解得t＝，
当t＝时，﹣t2+2t+3＝，
当t＝时，﹣t2+2t+3＝，
∴Q点坐标为（，）或（，）；
综上可知Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中注意把四边形转化为两个三角形，在②利用互相垂直直线的性质是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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