2019年龙岩市永定县金丰片区中考数学一模试卷（含答案解析）.doc

2019 年福建省龙岩市永定县金丰片区中考数学一模试卷 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． 晴 B． 浮尘 C． 大雨 D． 大雪 2．2017 年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌．综合 实力稳步提升．全市地区生产总值达到 280000 亿元，将 280000 用科学记数法表示为（　　） A．280×103 B．28×104 C．2.8×105 D．0.28×106 3．下列计算正确的是（　　） A．x2﹣3x2＝﹣2x4 B．（﹣3x2）2＝6x2 C．x2y•2x3＝2x6y D．6x3y2÷（3x）＝2x2y2 4．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1 的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．140° 5．一次函数 y＝x﹣2 的图象经过点（　　） A．（﹣2，0） B．（0，0） C．（0，2） D．（0，﹣2） 6．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD 的正 切值是（　　） A． B． C． D． 7．在△ABC 中，已知∠A、∠B 都是锐角，|sinA﹣ |+（1﹣tanB）2＝0，那么∠C 的度数为（　　） A．75° B．90° C．105° D．120° 8．一个布袋内只装有 1 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（　　） A． B． C． D． 9．如图，P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点，E、F 分别为 PB、PC 的中点，△PEF、△PDC、△ PAB 的面积分别为 S、S1、S2，若 S＝2，则 S1+S2＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．不能确定 10．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝ ．点 P 是斜边 AB 上一个动点．过点 P 作 PQ ⊥AB，垂足为 P，交边 AC（或边 CB）于点 Q，设 AP＝x，△APQ 的面积为 y，则 y 与 x 之间的 函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11．3 的算术平方根是　 　． 12．分解因式：x3﹣2x2+x＝　 　． 13．如图，等边△OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为　 　．14．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直 金几何？” 译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两．问每头牛、每只羊各 值金多少两？” 设每头牛值金 x 两，每只羊值金 y 两，可列方程组为　 　． 15．如图，一等腰三角形，底边长是 18 厘米，底边上的高是 18 厘米，现在沿底边依次从下往上画 宽度均为 3 厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第　 　个． 16．如图，已知在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝3 ，在△ABC 内作第一个内接正方形 DEFG；然后取 GF 的中点 P，连接 PD、PE，在△PDE 内作第二个内接正方形 HIKJ；再取线段 KJ 的中点 Q，在△QHI 内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第 2014 个内接正方形的边长为　 　． 三．解答题（共 9 小题） 17．解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 18．先化简，再求值：（2﹣ ）÷ ，其中 x＝2． 19．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在 BC，AB 上，且∠ADE＝60°． 求证：△ADC∽△DEB． 20．已知圆锥的底面半径为 3，母线长为 6，求此圆锥侧面展开图的圆心角．21．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年 10 月份的 14000 元/m2 下降到 12 月份的 11340 元/m2． （1）求 11、12 两月平均每月降价的百分率是多少？ （2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年 2 月份该市的商品房成交均价是否 会跌破 10000 元/m2？请说明理由． 22．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”， 让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了 部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． （1）这次被调查的同学共有　 　人； （2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据； （3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 50 人食用 一餐．据此估算，该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐． 23．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AE 是 BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交 AE 于点 M，经过 B， M 两点的⊙O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F，FB 为⊙O 的直径． （1）求证：AM 是⊙O 的切线； （2）当 BE＝3，cosC＝ 时，求⊙O 的半径． 24．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为 M，直线 y＝m 与抛物线交于点 A，B，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上 A，B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为该抛物线 对应的准蝶形，线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶．（1）由定义知，取 AB 中点 N，连结 MN，MN 与 AB 的关系是　 　． （2）抛物线 y＝ 对应的准蝶形必经过 B（m，m），则 m＝　 　，对应的碟宽 AB 是　 　． （3）抛物线 y＝ax2﹣4a﹣ （a＞0）对应的碟宽在 x 轴上，且 AB＝6． ①求抛物线的解析式； ②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点 P（xp，yp），使得∠APB 为锐角，若有，请求出 yp 的 取值范围．若没有，请说明理由． 25．已知⊙O 的半径为 5，弦 AB 的长度为 m，点 C 是弦 AB 所对优弧上的一动点． （1）如图①，若 m＝5，则∠C 的度数为　 　°； （2）如图②，若 m＝6． ①求∠C 的正切值； ②若△ABC 为等腰三角形，求△ABC 面积．2019 年福建省龙岩市永定县金丰片区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． 晴 B． 浮尘C． 大雨 D． 大雪 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合． 2．2017 年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌．综合 实力稳步提升．全市地区生产总值达到 280000 亿元，将 280000 用科学记数法表示为（　　） A．280×103 B．28×104 C．2.8×105 D．0.28×106 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对 值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 280000 用科学记数法表示为 2.8×105． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．下列计算正确的是（　　）A．x2﹣3x2＝﹣2x4 B．（﹣3x2）2＝6x2 C．x2y•2x3＝2x6y D．6x3y2÷（3x）＝2x2y2 【分析】根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单项式的乘除法逐一计算可得． 【解答】解：A、x2﹣3x2＝﹣2x2，此选项错误； B、（﹣3x2）2＝9x4，此选项错误； C、x2y•2x3＝2x5y，此选项错误； D、6x3y2÷（3x）＝2x2y2，此选项正确； 故选：D． 【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、 单项式的乘除法法则． 4．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1 的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．140° 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答． 【解答】解：∵DB⊥BC，∠2＝50°， ∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣50°＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠3＝40°． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键． 5．一次函数 y＝x﹣2 的图象经过点（　　） A．（﹣2，0） B．（0，0） C．（0，2） D．（0，﹣2） 【分析】分别把 x＝0，y＝0 代入解析式 y＝x﹣2 即可求得对应的 y，x 的值． 【解答】解：当 x＝0 时，y＝﹣2；当 y＝0 时，x＝2， 因此一次函数 y＝x﹣2 的图象经过点（0，﹣2）、（2，0）． 故选：D． 【点评】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线 的解析式． 6．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD 的正 切值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CD＝AD，再根据等边对等角的性质 可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A 的正切值，即为 tan∠ACD 的值． 【解答】解：∵CD 是 AB 边上的中线， ∴CD＝AD， ∴∠A＝∠ACD， ∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴tan∠A＝ ， ∴tan∠ACD 的值 ． 故选：D． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等 边对等角的性质，求出∠A＝∠ACD 是解本题的关键． 7．在△ABC 中，已知∠A、∠B 都是锐角，|sinA﹣ |+（1﹣tanB）2＝0，那么∠C 的度数为（　　） A．75° B．90° C．105° D．120° 【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出sinA＝ ，tanB＝1，进而得出∠A＝30°， ∠B＝45°，即可得出答案． 【解答】解：∵|sinA﹣ |+（1﹣tanB）2＝0，∴|sinA﹣ |＝0，（1﹣tanB）2＝0， ∴sinA＝ ，tanB＝1， ∴∠A＝30°，∠B＝45°， ∴∠C 的度数为：180°﹣30°﹣45°＝105°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及偶次方的性质，正确得出 sinA＝ ，tanB＝1 是解题关键． 8．一个布袋内只装有 1 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并 搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可． 【解答】解：列表得： 黑 白 白 黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） ∵共 9 种等可能的结果，两次都是黑色的情况有 1 种， ∴两次摸出的球都是黑球的概率为 ， 故选：D． 【点评】本题考查了列表法与树状图法的知识，解决本题时采用了两个独立事件同时发生的概率 等于两个独立事件单独发生的概率的积，难度不大． 9．如图，P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点，E、F 分别为 PB、PC 的中点，△PEF、△PDC、△ PAB 的面积分别为 S、S1、S2，若 S＝2，则 S1+S2＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．不能确定【分析】过 P 作 PQ 平行于 DC，由 DC 与 AB 平行，得到 PQ 平行于 AB，可得出四边形 PQCD 与 ABQP 都为平行四边形，进而确定出△PDC 与△PCQ 面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等， 再由 EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到 EF 为 BC 的一半，且 EF 平行于 BC，得出△ PEF 与△PBC 相似，相似比为 1：2，面积之比为 1：4，求出△PBC 的面积，而△PBC 面积＝△ CPQ 面积+△PBQ 面积，即为△PDC 面积+△PAB 面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出 所求的面积． 【解答】解：过 P 作 PQ∥DC 交 BC 于点 Q，由 DC∥AB，得到 PQ∥AB， ∴四边形 PQCD 与四边形 APQB 都为平行四边形， ∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB， ∴S△PDC＝S△CQP，S△ABP＝S△QPB， ∵EF 为△PCB 的中位线， ∴EF∥BC，EF＝ BC， ∴△PEF∽△PBC，且相似比为 1：2， ∴S△PEF：S△PBC＝1：4，S△PEF＝2， ∴S△PBC＝S△CQP+S△QPB＝S△PDC+S△ABP＝S1+S2＝8． 故选：C． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定 与性质是解本题的关键． 10．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝ ．点 P 是斜边 AB 上一个动点．过点 P 作 PQ ⊥AB，垂足为 P，交边 AC（或边 CB）于点 Q，设 AP＝x，△APQ 的面积为 y，则 y 与 x 之间的 函数图象大致为（　　）A． B． C． D． 【分析】分点 Q 在 AC 上和 BC 上两种情况进行讨论即可． 【解答】解：当点 Q 在 AC 上时， ∵tanA＝ ，AP＝x， ∴PQ＝ x， ∴y＝ ×AP×PQ＝ ×x× x＝ x2； 当点 Q 在 BC 上时，如下图所示： ∵AP＝x，AB＝10，tanA＝ ， ∴BP＝10﹣x，PQ＝2BP＝20﹣2x， ∴y＝ •AP•PQ＝ ×x×（20﹣2x）＝﹣x2+10x， ∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．并且当 Q 点在 C 时， x＝8，y＝16． 故选：B． 【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点 Q 在 BC 上这种情 况． 二．填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11．3 的算术平方根是　 　． 【分析】根据开平方的意义，可得算术平方根．【解答】解：3 的算术平方根是 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个． 12．分解因式：x3﹣2x2+x＝　x（x﹣1）2　． 【分析】首先提取公因式 x，进而利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2． 故答案为：x（x﹣1）2． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关 键． 13．如图，等边△OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为　（1， ）　． 【分析】过 B 作 BD⊥OA 于 D，则∠BDO＝90°，根据等边三角形性质求出 OD，根据勾股定理 求出 BD，即可得出答案． 【解答】解： 过 B 作 BD⊥OA 于 D，则∠BDO＝90°， ∵△OAB 是等边三角形， ∴OD＝AD＝ OA＝ ＝1， 在 Rt△BDO 中，由勾股定理得：BD＝ ＝ ， ∴点 B 的坐标为（1， ）， 故答案为：（1， ）． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形性质和勾股定理等知识点，能正确作出辅助 线是解此题的关键． 14．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？” 译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两．问每头牛、每只羊各 值金多少两？” 设每头牛值金 x 两，每只羊值金 y 两，可列方程组为　 　． 【分析】根据“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两”，得到等量关 系，即可列出方程组． 【解答】解：根据题意得： ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的 等量关系． 15．如图，一等腰三角形，底边长是 18 厘米，底边上的高是 18 厘米，现在沿底边依次从下往上画 宽度均为 3 厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第　5　个． 【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几 张． 【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是 3， 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为 x， 则 ，解得 x＝3， 所以另一段长为 18﹣3＝15， 因为 15÷3＝5，所以是第 5 张． 故答案为：5 【点评】本题主要考查了相相似三角形的判定和性质，关键是根据似三角形的性质及等腰三角形 的性质的综合运用解答． 16．如图，已知在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝3 ，在△ABC 内作第一个内接正方形 DEFG；然后取 GF 的中点 P，连接 PD、PE，在△PDE 内作第二个内接正方形 HIKJ；再取线段 KJ 的中点 Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第 2014 个内接正方形的边长为　 　． 【分析】首先根据勾股定理得出 BC 的长，进而利用等腰直角三角形的性质得出 DE 的长，再利 用锐角三角函数的关系得出 ，即可得出正方形边长之间的变化规律，得出答案即 可． 【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝ ， ∴∠B＝∠C＝45°，BC＝ ， ∵在△ABC 内作第一个内接正方形 DEFG； ∴EF＝EC＝DG＝BD， ∴DE＝ BC ∴DE＝2， ∵取 GF 的中点 P，连接 PD、PE，在△PDE 内作第二个内接正方形 HIKJ；再取线段 KJ 的中点 Q，在△QHI 内作第三个内接正方形…依次进行下去， ∴ ， ∴EI＝ KI＝ HI， ∵DH＝EI， ∴HI＝ DE＝ ， 则第 n 个内接正方形的边长为：2× ， ∴则第 2014 个内接正方形的边长为 2× ＝2× ＝ ． 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了正方形的性质以及数字变化规律和勾股定理等知识，根据已知得出正方 形边长的变化规律是解题关键． 三．解答题（共 9 小题）17．解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大 大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式 3（x﹣2）≥x﹣4，得：x≥1， 解不等式 ＞x﹣1，得：x＜4， 则不等式组的解集为 1≤x＜4， 将解集表示在数轴上如下： 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取 大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 18．先化简，再求值：（2﹣ ）÷ ，其中 x＝2． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即可解 答本题． 【解答】解：（2﹣ ）÷ ＝ ＝ ＝ ＝ ， 当 x＝2 时，原式＝ ． 【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 19．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在 BC，AB 上，且∠ADE＝60°． 求证：△ADC∽△DEB．【分析】依据△ABC 是等边三角形，即可得到∠B＝∠C＝60°，再根据∠CAD＝∠BDE，即可判 定△ADC∽△DEB． 【解答】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠CAD+60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB＝∠BDE+60°， ∴∠CAD＝∠BDE， ∴△ADC∽△DEB． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识．解题时注意：有两组 角对应相等的两个三角形相似． 20．已知圆锥的底面半径为 3，母线长为 6，求此圆锥侧面展开图的圆心角． 【分析】易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开 图的角度，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：∵圆锥底面半径是 3， ∴圆锥的底面周长为 6π， 设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为 n°， ＝6π， 解得 n＝180， 答：此圆锥侧面展开图的圆心角是 180°． 【点评】考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周 长． 21．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年 10 月份的 14000 元/m2 下降到 12 月份的 11340 元/m2． （1）求 11、12 两月平均每月降价的百分率是多少？ （2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年 2 月份该市的商品房成交均价是否会跌破 10000 元/m2？请说明理由． 【分析】（1）设 11、12 两月平均每月降价的百分率是 x，那么 4 月份的房价为 14000（1﹣x）， 12 月份的房价为 14000（1﹣x）2，然后根据 12 月份的 11340 元/m2 即可列出方程解决问题； （2）根据（1）的结果可以计算出今年 2 月份商品房成交均价，然后和 10000 元/m2 进行比较即 可作出判断． 【解答】解：（1）设 11、12 两月平均每月降价的百分率是 x， 则 11 月份的成交价是：14000（1﹣x）， 12 月份的成交价是：14000（1﹣x）2 ∴14000（1﹣x）2＝11340， ∴（1﹣x）2＝0.81， ∴x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）． 答：11、12 两月平均每月降价的百分率是 10%； （2）会跌破 10000 元/m2． 如果按此降价的百分率继续回落，估计今年 2 月份该市的商品房成交均价为： 11340（1﹣x）2＝11340×0.81＝9185.4＜10000． 由此可知今年 2 月份该市的商品房成交均价会跌破 10000 元/m2． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键 的数量关系，然后列出方程是解题的关键． 22．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”， 让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了 部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． （1）这次被调查的同学共有　1000　人； （2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据； （3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 50 人食用 一餐．据此估算，该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐． 【分析】（1）用不剩的人数除以其所占的百分比即可； （2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可； （3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 50 人用一餐，再根据全校的总人数是 18000 人，列式计算即可． 【解答】解：（1）这次被调查的学生共有 600÷60%＝1000 人， 故答案为：1000； （2）剩少量的人数为 1000﹣（600+150+50）＝200 人， 补全条形图如下： （3） ， 答：估计该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供 900 人食用一餐． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得 到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接 反映部分占总体的百分比大小． 23．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AE 是 BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交 AE 于点 M，经过 B， M 两点的⊙O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F，FB 为⊙O 的直径． （1）求证：AM 是⊙O 的切线； （2）当 BE＝3，cosC＝ 时，求⊙O 的半径．【分析】（1）连结 OM，易证 OM∥BC，由于 AE 是 BC 边上的高线，从而可知 AM⊥OM，所以 AM 是⊙O 的切线． （2）由于 AB＝AC，从而可知 EC＝BE＝3，由 cosC＝ ＝ ，可知：AC＝ EC＝ ，易证△ AOM∽△ABE，所以 ，再证明 cos∠AOM＝cosC＝ ，所以 AO＝ ，从而可求出 OM ＝ 【解答】解：（1）连结 OM． ∵BM 平分∠ABC ∴∠1＝∠2 又 OM＝OB ∴∠2＝∠3 ∴OM∥BC ∵AE 是 BC 边上的高线 ∴AE⊥BC， ∴AM⊥OM ∴AM 是⊙O 的切线 （2）∵AB＝AC ∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC， ∴E 是 BC 中点 ∴EC＝BE＝3 ∵cosC＝ ＝ ∴AC＝ EC＝ ∵OM∥BC，∠AOM＝∠ABE ∴△AOM∽△ABE ∴又∵∠ABC＝∠C ∴∠AOM＝∠C 在 Rt△AOM 中 cos∠AOM＝cosC＝ ， ∴ ∴AO＝ AB＝ +OB＝ 而 AB＝AC＝ ∴ ＝ ∴OM＝ ∴⊙O 的半径是 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的 性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识的能力． 24．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为 M，直线 y＝m 与抛物线交于点 A，B，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上 A，B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为该抛物线 对应的准蝶形，线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶． （1）由定义知，取 AB 中点 N，连结 MN，MN 与 AB 的关系是　MN⊥AB，MN＝ AB　． （2）抛物线 y＝ 对应的准蝶形必经过 B（m，m），则 m＝　2　，对应的碟宽 AB 是　4　． （3）抛物线 y＝ax2﹣4a﹣ （a＞0）对应的碟宽在 x 轴上，且 AB＝6． ①求抛物线的解析式； ②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点 P（xp，yp），使得∠APB 为锐角，若有，请求出 yp 的 取值范围．若没有，请说明理由． 【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案； （2）利用已知点为 B（m，m），代入抛物线解析式进而得出 m 的值，即可得出 AB 的值； （3）①根据题意得出抛物线必过（3，0），进而代入求出答案； ②根据 y＝ x2﹣3 的对称轴上 P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，进而得出答案． 【解答】解：（1）MN 与 AB 的关系是：MN⊥AB，MN＝ AB， 如图 1，∵△AMB 是等腰直角三角形，且 N 为 AB 的中点， ∴MN⊥AB，MN＝ AB， 故答案为：MN⊥AB，MN＝ AB； （2）∵抛物线 y＝ 对应的准蝶形必经过 B（m，m）， ∴m＝ m2， 解得：m＝2 或 m＝0（不合题意舍去）， 当 m＝2 则，2＝ x2， 解得：x＝±2， 则 AB＝2+2＝4； 故答案为：2，4； （3）①由已知，抛物线对称轴为：y 轴， ∵抛物线 y＝ax2﹣4a﹣ （a＞0）对应的碟宽在 x 轴上，且 AB＝6． ∴抛物线必过（3，0），代入 y＝ax2﹣4a﹣ （a＞0）， 得，9a﹣4a﹣ ＝0，解得：a＝ ， ∴抛物线的解析式是：y＝ x2﹣3； ②由①知，如图 2，y＝ x2﹣3 的对称轴上 P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角， ∴在此抛物线的对称轴上有这样的点 P，使得∠APB 为锐角，yp 的取值范围是 yp＜﹣3 或 yp＞ 3． 【点评】此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的 性质是解题关键． 25．已知⊙O 的半径为 5，弦 AB 的长度为 m，点 C 是弦 AB 所对优弧上的一动点． （1）如图①，若 m＝5，则∠C 的度数为　30　°； （2）如图②，若 m＝6． ①求∠C 的正切值； ②若△ABC 为等腰三角形，求△ABC 面积．【分析】（1）连接 OA，OB，判断出△AOB 是等边三角形，即可得出结论； （2）①先求出 AD＝10，再用勾股定理求出 BD＝8，进而求出 tan∠ADB，即可得出结论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论． 【解答】解（1）如图 1，连接 OB，OA， ∴OB＝OC＝5， ∵AB＝m＝5， ∴OB＝OC＝AB， ∴△AOB 是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠ACB＝ ∠AOB＝30°， 故答案为 30； （2）①如图 2，连接 AO 并延长交⊙O 于 D，连接 BD， ∵AD 为⊙O 的直径， ∴AD＝10，∠ABD＝90°， 在 Rt△ABD 中，AB＝m＝6，根据勾股定理得，BD＝8， ∴tan∠ADB＝ ＝ ， ∵∠C＝∠ADB， ∴∠C 的正切值为 ； ②Ⅰ、当 AC＝BC 时，如图 3，连接 CO 并延长交 AB 于 E， ∵AC＝BC，AO＝BO， ∴CE 为 AB 的垂直平分线，∴AE＝BE＝3， 在 Rt△AEO 中，OA＝5，根据勾股定理得，OE＝4， ∴CE＝OE+OC＝9， ∴S△ABC＝ AB×CE＝ ×6×9＝27； Ⅱ、当 AC＝AB＝6 时，如图 4， 连接 OA 交 BC 于 F， ∵AC＝AB，OC＝OB， ∴AO 是 BC 的垂直平分线， 过点 O 作 OG⊥AB 于 G， ∴∠AOG＝ ∠AOB，AG＝ AB＝3， ∵∠AOB＝2∠ACB， ∴∠ACF＝∠AOG， 在 Rt△AOG 中，sin∠AOG＝ ＝ ， ∴sin∠ACF＝ ， 在 Rt△ACF 中，sin∠ACF＝ ， ∴AF＝ AC＝ ， ∴CF＝ ， ∴S△ABC＝ AF×BC＝ × × ＝ ； Ⅲ、当 BA＝BC＝6 时，如图 5，由对称性知，S△ABC＝ ．【点评】此题是圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角 形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．