2019年济南市历下区数学一模试题及答案

2019 年历下区九年级数学第一次模拟考试 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分．） 1．2019 的相反数是（ ） A．2019 B．－2019 C．— 1 2019 D． 1 2019 2．如图所示的圆柱体从正面看得到的图形可能是（ ） 3．据统计，2018 年全国参与区、县级以上组织举办的体育活动的人数就达到了约 15 000 000 人． 数据 15 000 000 用科学记数法表示为（ ） A. 15×106 B. 1.5×107 C.1.5×108 D. 0.15×l08 4．如图，∠1＝65°，CD∥/EB，则∠B 的度数为（ ） A. 115° B.ll0° C.105° D.65° 5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )个 A.0 B.1 C.2 D.3 6．下列运算中，计算正确的是( ) A.2a＋3a＝5a2 B.(3a2)3 ＝27a6 C.x6÷x2＝x3 D.(a＋b)2＝a2＋b2 7．若2x－1 3 ＝5 与 kx－1＝15 的解相同，则 k 的值为( ) A.8 B.6 C.－2 D.2 8．在一个不透明的袋子里装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸 球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.2 附近，则估计袋中的白球大约有( )个 A.10 B.15 C.20 D.25 9．如图，△ABC 是等边三角形，点 P 在△ABC 内，PA＝2，将△PAB 绕点 A 逆时针旋转得到△QAC， 则 PQ 的长等于( ) A．2 B. 3 C．3 2 D．1 10. 如图，小雅同学在利用标杆 BE 测量建筑物的高度时，测得标杆 BE 高 1.2m，又知 AB∶BC＝ 1∶8，则建筑物 CD 的高是( ) A.9.6m B.10.8m C.12m D.14m 11.如图，在△ABC 中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC 绕一逆时针方向旋转 40°得到△ADE，点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分的面积为( ) A.14 3 π－6 B．33＋π C．33 8 π 一 3 D．25 9 π 12.已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(0＜2a≤b)与 x 轴最多有一个交点．以下四个结论：①abc＞0；②该抛 物线的对称轴在 x＝一 1 的右侧；③关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＋1＝0 无实数根；④a＋b＋c b ≥2．其 中正确的结论有( ) A.1 个 B．2 个 C.3 个 D.4 个 二、其空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分，把正确答案填在题中横线上） 1 A C D BE P Q C BA 40° E D C A B13．因式分解：m2－2mn＋n2＝___________； 14.若一元二次方程 x2－ax＋1＝0 有两个相等的实数根，则 a 的值是___________； 15.如图，□OABC 的顶点 O、A、C 的坐标分别是(0，0)，(4，0)，(2，3)，则点 B 的坐标为 ___________； 16．计算： 1 a－2÷ a a2－4＝___________； 17．如图，已知直线 y＝－2x＋5 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将△AOB 沿直线 AB 翻折后， 设点 O 的对应点为点 C，双曲线 y＝k x(x＞0）经过点 C，则 k 的值 为 ___________； 18.如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在线段 BC、CD 上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF 分 别与 BD 相交于点 M、N，下列说法中：①BE＋DF＝EF；②点 A 到线段 EF 的距离一定等于正方形 的边长；③若 tan∠BAE＝1 2，则 tan∠DAF＝1 3；④若 BE＝2，DF＝3，则 S△AEF＝15．其中结论正确 的是___________；（将正确的序号填写在横线上） 三、解答题（本大题共 9 小题，共 78 分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分 6 分）计算： 12＋(1 3)－1－(π－3.14)0－tan60°． 20.（本题满分 6 分）解不等式组：{2x＋3 ≥ 5 ＜x )，并写出它的最小整数解． 21．（本题满分 6 分） 如图，在□ABCD 中，E、F 为对角线 BD 上的两点，且∠BAE＝∠DCF． 求证：BF＝DE． x y BC AO x y A C B O N M F C DA B E22。（本题满分 8 分） 22． (本题满分 8 分） 为迎接“五一劳动节”的到来，历下区某志愿者服务团队计划制作 360 件手工艺品，献给社区中有 代表性的劳动者们，由于制作工具上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工 50%，结果提 前 10 天完成任务，求原计划每天制作多少件手工品？ 23．（本题满分 8 分） 如图，AB 是⊙O 的直径．CD 切⊙O 于点 C，BE⊥CD 于 E，连接 AC、BC． （1）求证：BC 平分∠ABE； （2）若⊙O 的半径为 2，∠A＝ 60°，求 CE 的长． 24．（本题满分 10 分） F DA CB E E A B C O D 历下区历史文化悠久，历下一名，取意于大舜帝耕作于历山之下。这位远古圣人为济南留下了 影响深远的大舜文化，至今已绵延两千年．某校就同学们对“舜文化”的了解程度进行随机抽样调查， 将调查结果绘制成如下两幅统计图： 根据统计图的信息，解答下列问题： (1)本次共调查 名学生，条形统计图中 m＝ ； (2)若该校共有学生 1200 名，请估算该校约有多少名学生不了解“舜文化”； (3)谓查结果中，该校九年级(2)班有四名同学相当优秀，了解程度为“很了解”，他们是三名男生、— 名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人去市里参加“舜文化”知识竞赛，用树状或列表法，求 恰好抽中一男生一女生的概率． 25．（本题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数 y＝m x(m≠0) 的图象交于 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的坐标为(n，6)，点 C 的坐标为(－2，0)，且 tan∠ACO＝2． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求点 B 的坐标； (3)在 x 轴上是否存在点 E，使│AE－BE│有最大值，如果存在，请求出点 E 坐标；若不存在， 请说明理由． x y C B A O26.（本题满分 12 分） 在数学课堂上，小斐同学和小可同学分别拿着一大一小两个等腰直角三角板，可分别记做△ABC 和△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°． 问题的产生： 两位同学先按照图 1 摆放，点 D，E 在 AB，AC 上，发现 BD 和 CE 在数量和位置关系上分别满 足 BD＝CE，BD⊥CE． 问题的探究： (1)将△ADE 绕点 A 逆时针旋转一定角度．如图 2．点 D 在△ABC 内部，点 E 在△ABC 外部，连 结 BD，CE，上述结论依然成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 问题的延伸： 继续将△ ADE 绕点 A 逆时针旋转．如图 3．点_D，E 都在△ABC 外部，连结 BD, CE，CD， EB，BD 与 CE 相交于 H 点． (2)若 BD＝ 19，求四边形 BCDE 的面积； (3)若 AB＝3，AD＝2，设 CD2 ＝x，EB2＝y，求 y 与 x 之间的函数关系式． H E AEA E A B C CB B C D D D27．（本题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝—1 2x2＋bx＋c，经过点 A(1，3)、 B(0，1)，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 C． (1)求抛物线的表达式及其顶点坐标 (2)如图 1，点 M 是第一象限中 BC 上方抛物线上的一个动点，过点肘作 MH⊥于 BC 于点 H，作 ME⊥x 轴于点 E，交 BC 于点 F，在点 M 运动的过程中，△MFH 的周长是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值；若不存在，请说明理由． (3)如图 2，连接 AB，在 y 轴上取一点 P，使△ABP 和△ABC 相似，请求出符合要求的点 P 坐 标． 历下区九年级一模数学试题答案 一、 选择题： BDBAC BDCAB DC 二、填空题：13． 14.±2 15. （6，3） 16. 17. 8 18.①②③ ④ 三、解答题 19. 解：原式 ……4 分 = ……6 分 x y x y F E H B CA O B CA O G ( )2nm − 2a a + 31332 −−+= 23 +20. 解： ， 由①得， ； ……2 分 由②得， ， ……4 分 故此不等式组的解集为： ． ……5 分 所以此不等式的最小整数解为 x=1 ……6 分 21.证明： 四边形 为平行四边形 ， ……1 分 ……2 分 在 与 中 ……4 分 ∴BE=DF ……5 分 ∴BF=DE ……6 分 22.设原计划每天能制作 x 件手工品， 可得： ， ……4 分 解得：x=12， ……6 分 经检验 x=12 是原方程的解， ……7 分 答：原计划每天能制作 12 件手工品． ……8 分 23. （1）证明： 是⊙O 的切线，切点为 ， ， ……1 分 ， ， ， ……2 分 连接 OC，可得 ， ； ……3 分 ， 平分 ； ……4 分 （2） 是⊙O 的直径， ， ……5 分    − 1≥x  ABCD / /AB CD∴ AB CD= ABD CDB∴∠ = ∠ ABE∆ CDF∆ BAE DCF CD AB ABD BDC ∠ = ∠  = ∠ = ∠ ( )ABE CDF ASA∴∆ ≅ ∆ 105.1 360360 =− xx CD C OC DE∴ ⊥ BE DE⊥ / /CO BE∴ OCB EBC∴∠ = ∠ OC OB= OCB OBC∴∠ = ∠ OBC EBC∴∠ = ∠ BC∴ ABE∠ AB 90ACB∴∠ = °， ， ⊙O 的半径为 2， ， ， ……6 分 ， ……7 分 平分 ， ， ． ……8 分 24.解：（1）60，18； ……4 分 （2） （人 ， ……5 分 答：该校约有 240 名学生不了解“舜文化”； ……6 分 （3）列表如下： 男 男 男 女 男 （男，男） （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） 由上表可知，共 12 种可能，其中一男一女的可能性有 6 种，分别是（男，女）三种，（女，男）三 种， ． ……10 分 25.解：（1）过点 作 轴于 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ， ， ， ， 60A∠ = ° 30ABC∴∠ = ° 4AB∴ = 2AC∴ = 2 2 2 3BC AB AC∴ = − = BC ABE∠ 30CBE∴∠ = ° 1 32CE BC∴ = = 121200 24060 × = ) ( ) 6 1 12 2P∴ = =一男一女 A AD x⊥ D C ( 2,0)− A ( ,6)n 6AD∴ = 2CD n= + tan 2ACO∠ =， ……1 分 故 ， ， 反比例函数表达式为： ……2 分 又 点 、 在直线 上， ，解得： ， ……3 分 一次函数的表达式为： ； ……4 分 （2）由 得： ， ……5 分 解得： 或 ， ……6 分 ， ； ……7 分 （3）作 B 点关于 x 轴的对称点 B’，可得 B’（-3,2） 当 A,B’,E 三点构成三角形时，AE-BE=AE-B’E＜AB’ 当 A,B’,E 三点共线时，AE-BE=AE-B’E=AB’ ……8 分 所以当 A,B’,E 三点共线时， 有最大值； 此时，由 A(1,6)、B’（-3,2）可得 AB’解析式为 y=x+5 ……9 分 当 y=0 时，x=-5，所以 E 点坐标为（-5,0） ……10 分 26.解：（1）成立 ……1 分 理由如下：延长 ，分别交 、 于 、 ， 和 都是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ……2 分 在 和 中， ， ∴ 6 22 AD CD n = =+ (1,6)A 1 6 6m∴ = × = ∴ 6y x =  A C y kx b= + ∴ 6 2 0 k b k b + = − + = 2 4 k b =  = ∴ 2 4y x= + 6 2 4 y x y x  =  = + 6 2 4xx = + 1x = 3x = − (1,6)A ( 3, 2)B∴ − − AE BE− BD AC CE F G ABC∆ ADE∆ AB AC∴ = AD AE= 90BAC DAE∠ = ∠ = ° BAD BAC DAC∠ = ∠ − ∠ CAE DAE DAC∠ = ∠ − ∠ BAD CAE∴∠ = ∠ ABD∆ ACE∆ AB AC BAD CAE AD AE = ∠ = ∠  =， ……3 分 ， ， ……4 分 ， ，即 ； ……5 分 （2）① 和 都是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ……6 分 ， ， ， ， ……7 分 ……8 分 ， ……9 分 ②∵ ……10 分 = ……11 分 ． ……12 分 ABD ACE∴∆ ≅ ∆ BD CE∴ = ABD ACE∠ = ∠ AFB GFC∠ = ∠ 90CGF BAF∴∠ = ∠ = ° BD CE⊥ ABC∆ ADE∆ AB AC∴ = AD AE= 90BAC DAE∠ = ∠ = ° BAD BAC DAC∠ = ∠ + ∠ CAE DAE DAC∠ = ∠ + ∠ BAD CAE∴∠ = ∠ ABD ACE∴∆ ≅ ∆ BD CE∴ = ABD ACE∠ = ∠ AOB FOC∠ = ∠ 90BFC BAC∴∠ = ∠ = ° BCE DCEBCDES S S∆ ∆∴ = +四边形 1 1 1 19 2 2 2 2CE BF CE DF CE BD= × × + × × = × × = 90BHC∠ = ° 222222 HBEHHDCHEBCD +++=+∴ 2222 EHDHBHCH +++ 2 2(3 2) (2 2) 26= + = 26y x∴ = −解：（1）将 ， ，代入 ， 解得 ， ． 抛物线的解析式为 ． ……2 分 顶点坐标为 ． ……3 分 （2）由 ，C（4,3）得直线 BC 解析式为： ……4 分 设 M ，则得 F（ ） 则 MF= = ……5 分 ∵ ∴MF 有最大值，当 m=2 时，MF 最大值为 2 ……6 分 将直线 与 轴交点记作 ， 易得 BD:CD:BC=1:2: 因为 ME∥y 轴，∴∠MFH=∠DBC 又∵∠CDB=∠MHP=90，∴△MHF∽△CDB ∴FH:MH:MF=1:2: ∴ ……7 分 所以 的最大值为 ……8 分 （3） ， 为公共角， ． ……9 分 ． ……10 分 当 时， ， ， ， ， ． ……11 分 当 时， ， (1,3)A (0,1)B 21 2y x bx c= − + + 5 2b = 1c = ∴ 21 5 12 2y x x= − + + ∴ 5 33( , )2 8 (0,1)B 12 1 += xy )12 5 2 1,( 2 ++− mmm 12 1 +m )12 1(12 5 2 1 2 +−++− mmm mm 22 1 2 +− 02 1