2019年济南市市中区数学一模试题及答案

1 2019 年市中区第一次模拟数学试题 一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分，每小题只有一个选项符合题意） 1．－6 的绝对值是( ) A．－6 B． C．6 D． 2．如图所示的几何体的左视图是( ) 3．近年来，随着交通网络的不断完善，我市近郊游持续升温. 据统计，在今年“五一”期间， 某风景区接待游览的人数约为 203000 人，这一数据用科学记数法表示为( ) A.20.3×104 人 B.2.03×105 人 C.2.03×104 人 D.2.03×103 人 4.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A． B． C． D． 5．如图，已知 AB∥CD，AD 平分∠BAE，∠D=38°，则∠AEC 的度数是（ ） A．19° B．38° C．72° D 76° 6．下列运算正确的是（ ） A． B．(－2a3)2＝4a6 C．(a－2)(a＋1)＝a2＋a－2 D．(a－b)2＝a2－b2 7．化简：（- ）÷ 的结果是( ) A．-m-1 B．-m+1 C．-mn+m D．-mn-n 8．多多同学统计了去年 1～8 月全班同学的课外阅读数量 绘制了折线统计图，下列说法正确的是（ ） A.1～8 月全班同学的课外阅读数量逐渐增加 B. 众数是 42 C.中位数是 58 D.每月阅读数量超过 40 的有 4 个月 9.如图，在平面直角坐标系中，点A，C 在x 轴上，点C 的坐标为（﹣1，0， AC=2．将 Rt△ABC 先绕点C 顺时针旋转90°，再向右平移 3 个单位长 度， 则变换后点A 的对应点坐标是（ ） A.（2，2） B（1，2） C（﹣1，2） D（2，﹣1） 10.若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+kb+1=0 有两个不相等的实数根，则一次函数 y=kx+b 的大致图 象可能是（ ） A． B． C． D． 11．有这样一道题：如图，在正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中 E，F，G 分别在 AB， BC，FD 上，连接 DH，如果 BC＝12，BF＝3． 则 tan∠HDG 的值为（ ） A． B． C． D . 12．如图，抛物线 y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标 A（﹣1，3），与 x 轴的一个交点 B（﹣4，0）， 直线 y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于 A，B 两点，下列结论： ①2a﹣b＝0；②abc＜0；③抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是（3，0）； ④方程 ax2+bx+c﹣3＝0 有两个相等的实数根； ⑤当﹣4＜x＜﹣1 时，则 y2＜y1． 其中正确的是（　　） A.①②③ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③④ 6 1− 6 1 422 2aaa =+ m n mm n +2 2 1 4 1 5 2 3 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 2 3 4 5 6 7 8 某班学生 1～8 月课外阅 读数量 折线统计图 36 70 58 58 42 28 75 83 本数 月份 （8 题） 1 2 3 4 5 6 7 82 （第 16 题） 30°60° 北 A B C 二、填空题（本大题共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分.把答案填在题中的横线上）． 13.分解因式：m2﹣9=_______。 14. 在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其他完全相同的球，这 a 个球中红色球只有 3 个，每次将球摇 匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱通过大量试验后发现，摸到红球的频率稳定在 25％， 那么可以推算出 a 大约是 。 15.分式方程 的解为 ____________. 16.在一次夏令营活动中，小明同学从营地 出发，要到 地的北偏东 60°方向的 处，他先沿 正东方向走了 200m 到达 地，再沿北 偏东 30°方向走，恰能到达目的地 (如图)，那 么，由此可知， 两地相距 m. 17. 如图是本地区一种产品 30 天的销售图象，图①是产品日销售量 y（单位：件）与时间 t（单位； 天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润 z（单位：元）与时间 t（单位：天）的函数关系， 第 27 天的日销售利润是________元. 18.如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABOC 是正方形，点 A 的坐标为(1，1)，弧 是以点 B 为 圆心，BA 为半径的圆弧；弧 是以点 O 为圆心， 为半径的圆弧，弧 是以点 C 为圆心， 为半径的圆弧，弧 是以点 A 为圆心， 为半径的圆弧.继续以点 B，O，C，A 为圆心按 上述作法得到的曲线 …称为正方形的“渐开线”，则点 的坐标是________． 第 17 题图 第 18 题图 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 78 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19.(本小题满分 6 分 ）计算： ﹣ +2sin30°+（ -3）0 20.(本小题满分 6 分）解不等式组： ，并写出它的所有整数解。 21.(本小题满分 6 分）已知：如图，在▱ABCD 中，O 为对角线 BD 的中点，过点 O 的直线 EF 分别交 AD，BC 于 E，F 两点，连结 BE，DF． 求证：DE=BF． 22.(本小题满分 8 分 ）如图，学校准备修建一个面积为 48m2 的矩形花园，它的一边靠墙，其余三 边利用长 20m 的围栏，已知墙长 9m，问围成矩形的长和宽各是多少？ 2 12 =− x x A A C B C B C、 1AA 21AA 1OA 32 AA 2CA 43 AA 3AA 54321 AAAAAA 2019A 12 1)2 1( − π3 23．(本小题满分 8 分 ）如图，⊙O 的直径 AB＝8，C 为圆周上一点，AC＝4，过点 C 作⊙O 的切线 l，过点 B 作 l 的垂线 BD，垂足为 D，BD 与⊙O 交于点 E. (1)求∠AEC 的度数； (2)求证：四边形 OBEC 是菱形． 24. (本小题满分 10 分 ）某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生 的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其 中一门）．对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下 列问题： （1）本次调查的学生共有　　人，在扇形统计图中，m 的值是　　； （2）将条形统计图补充完整； （3）在被调查的学生中，选修书法的有 2 名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取 2 名同学 代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的 2 名同学恰好是 1 名男同学和 1 名女同 学的概率． 25.(本小题满分 10 分 ）如图直线 y=kx 与双曲线 y=﹣ 交于 A、B 两点，点 C 为第三象限内一点． （1）若点 A 的坐标为（a，3），求 a 的值； （2）当 k=﹣ ，且 CA=CB，∠ACB=90°时，求 C 点的坐标； （3）当△ABC 为等边三角形时，点 C 的坐标为（m，n），试求 m、n 之间的关系式．4 26.(本小题满分 12 分 ）如图，正方形 ABCD 中，AB＝2 ，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一 动点，OE＝2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得 DF，连接 AE，CF． （1）求证：AE＝CF； （2）若 A，E，O 三点共线，连接 OF，求线段 OF 的长． （3）求线段 OF 长的最小值． 27.( 本小题满分 12 分 ）已知顶点为 A 抛物线 经过点 ，点 ． （1）求抛物线的表达式并写出顶点 A 的坐标； （2）如图 1，直线 AB 与 x 轴相交于点 M，y 轴相交于点 E，抛物线与 y 轴相交于点 F，在直线 AB 上有一点 P，若∠OPM=∠MAF，求△POE 的面积； （3）如图 2，点 Q 是折线 A﹣B﹣C 上一点，过点 Q 作 QN∥y 轴，过点 E 作 EN∥x 轴，直线 QN 与直 线 EN 相交于点 N，连接 QE，将△QEN 沿 QE 翻折得到△QEN1，若点 N1 落在 x 轴上，请直接写出 Q 点 的坐标． 5 数学试题参考答案及评分意见 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B B D B A C A B D C 二、填空题 13．（m+3）(m-3) 14．12 15．X=4 16． 200 17．875 18．（-2019,1） 三、解答题 ： 19.解：原式=2 ﹣2+4× +1----------------------------4 分 =2 ．------------------------------------------------------------6 分 20.解：由原不等式组，得 ……………………2 分 即 ……………………4 分 所以不等式组的解集是：﹣1＜x≤2；……………………5 分 ∵x 为整数 ∴x=0,1,2 …………………… 6 分 21.解：证明：在平行四边形 ABCD 中 ∵AD∥BC AD=BC ∴∠ADB=∠CBD．…………………………………………2 分 ∵O 为 BD 中点 ∴BO=DO -------------------------- 3 分 在△EOD 和△FOB 中 ， ∴△DOE≌△BOF（ASA）；---------------------------5 分 ∴DE=BF----------------------------------------6 分 22.解：设宽为 x m，则长为（20﹣2x）m． 由题意，得 x•（20﹣2x）=48， 解得 x1=4，x2=6． 当 x=4 时，长为 20﹣2×4=12＞9（舍去）， 当 x=6 时，长为 20﹣2×6=8m． 答：围成矩形的长为 8m、宽为 6m． 23.(1)解：在△AOC 中， ∵⊙O 的直径 AB＝8 ∴AO＝OC＝4， ∵AC＝4 ∴△AOC 是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∵∠AEC、∠AOC 所对的都是弧 AC ∴∠AEC＝30° (2 证明：∵⊙O 的切线 l ∴OC⊥l， ∵BD⊥l， ∴OC∥BD， ∴∠ABD＝∠AOC＝60°， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴△AEB 为直角三角形，∠EAB＝30°， ∴∠EAB＝∠AEC， ∴CE∥OB， 又∵CO∥EB， ∴四边形 OBEC 为平行四边形， 又∵OB＝OC＝4， ∴四边形 OBEC 是菱形． 24 解：（1）20÷40%=50（人） 15÷50=30% 答：本次调查的学生共有 50 人，在扇形统计图中，m 的值是 30%．…………2 分 （2）50×20%=10（人）6 50×10%=5（人）.................4 分 ．………………6 分 （3）∵5﹣2=3（名）， ∴选修书法的 5 名同学中，有 3 名男同学，2 名女同学， 男 男 男 女 女 男 / （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） / （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，男） / （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） / （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） （女，女） / 所有等可能的情况有 20 种，所抽取的 2 名同学恰好是 1 名男同学和 1 名女同学的情况有 12 种，……………………8 分 则 P（一男一女）= = 答：所抽取的 2 名同学恰好是 1 名男同学和 1 名女同学的概率是 ．…………………10 分 26.解：（1）由于点 A 在反比例函数图象上， 所以 3=﹣ ，解得 a=﹣2； （2）连接 CO，作 AD⊥y 轴于 D 点，作 CE 垂直 y 轴于 E 点， ∵∠ACB=90°，CA=CB， ∴OC= AB=OA，∠AOC=90° ∵∠AOD+∠COE=90°，∠COE+∠OCE=90°， ∴∠OCE=∠DOA 在△ADO 和△OEC 中 ∴△ADO≌△OEC， ∴CE=OD，OE=AD 由 k=﹣ 时，∴y=﹣ x， ∵点 A 是直线 y=kx 与双曲线 y=﹣ 的交点， 所以 解得 x=±2，y=±3 ∴A 点坐标为（﹣2，3）， ∴CE=OD=3，EO=DA=2， 所以 C（﹣3，﹣2） （3）连接 CO，作 AD⊥y 轴于 D 点，作 CE⊥y 轴于 E 点， ∵△ABC 为等边三角形 ∴∠AOC=90°，∴∠OCE=30° ∵∠AOD+∠COE=90°，∠COE+∠OCE=90°， ∴∠OCE=∠DOA ∴△ADO∽△OEC， ∴相似比为 1： ， 因为 C 的坐标为（m，n），7 所以 CE=﹣m，OE=﹣n， ∴AD=﹣ n，OD=﹣ m， 所以 A（ n，﹣ m），代入 y=﹣ 中， 得 mn=18 26.（1）证明：如图 1，由旋转得：∠EDF＝90°，ED＝DF， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴∠ADC＝∠EDF， 即∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDF， ∴∠ADE＝∠CDF， 在△ADE 和△CDF 中， ∵ ， ∴△ADE≌△CDF， ∴AE＝CF； （2）解：如图 2，过 F 作 OC 的垂线，交 BC 的延长线于 P， ∵O 是 BC 的中点，且 AB＝BC＝2 ， ∵A，E，O 三点共线， ∴OB＝ ， 由勾股定理得：AO＝5， ∵OE＝2， ∴AE＝5﹣2＝3， 由（1）知：△ADE≌△CDF， ∴∠DAE＝∠DCF，CF＝AE＝3， ∵∠BAD＝∠DCP， ∴∠OAB＝∠PCF， ∵∠ABO＝∠P＝90°， ∴△ABO∽△CPF， ∴ ＝ ＝2， ∴CP＝2PF， 设 PF＝x，则 CP＝2x， 由勾股定理得：32＝x2+（2x）2， x＝ 或﹣ （舍）， ∴FP＝ ，OP＝ + ＝ ， 由勾股定理得：OF＝ ＝ ，8 （3）解：如图 3，由于 OE＝2，所以 E 点可以看作是以 O 为圆心，2 为半径的半圆上运动， 延长 BA 到 P 点，使得 AP＝OC，连接 PE， ∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF， ∴△PAE≌△OCF， ∴PE＝OF， 当 PE 最小时，为 O、E、P 三点共线， OP＝ ＝ ＝5 ， ∴PE＝OF＝OP﹣OE＝5 ﹣2， ∴OF 的最小值是 5 ﹣2． 27. 解：（1）把点 代入 ， 解得：a=1， ∴抛物线的解析式为： ；------------------------------2 分 由 知 A（ ，﹣2）.------------------------------3 分 （2） 设直线 AB 解析式为：y=kx+b，代入点 A，B 的坐标， 得： ， 解得： ， ∴直线 AB 的解析式为：y=﹣2x﹣1，------------------------------5 分 易求 E（0，1）， ， ， 若∠OPM=∠MAF， ∴OP∥AF， ∴△OPE∽△FAE， ∴ ， ∴ ， 设点 P（t，﹣2t﹣1），则： 解得 ， ， 由对称性知；当 时，也满足∠OPM=∠MAF，9 ∴ ， 都满足条件， ∵△POE 的面积= ， ∴△POE 的面积为 或 ．------------------------------9 分 （3）若点 Q 在 AB 上运动，如图 1， 设 Q（a，﹣2a﹣1），则 NE=﹣a、QN=﹣2a， 由翻折知 QN′=QN=﹣2a、N′E=NE=﹣a， 由∠QN′E=∠N=90°易知△QRN′∽△N′SE， ∴ = = ，即 = = =2， ∴QR=2、ES= ， 由 NE+ES=NS=QR 可得﹣a+ =2， 解得：a=﹣ ， ∴Q（﹣ ， ）；------------------------------10 分 若点 Q 在 BC 上运动，且 Q 在 y 轴左侧，如图 2， 设 NE=a，则 N′E=a， 易知 RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3， ∴QR= 、SE= ﹣a， 在 Rt△SEN′中，（ ﹣a）2+12=a2， 解得：a= ， ∴Q（﹣ ，2）；------------------------------11 分 若点 Q 在 BC 上运动，且点 Q 在 y 轴右侧，如图 3， 设 NE=a，则 N′E=a， 易知 RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3， ∴QR= 、SE= ﹣a， 在 Rt△SEN′中，（ ﹣a）2+12=a2， 解得：a= ，10 ∴Q（ ，2）．------------------------------12 分 综上，点 Q 的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ，2）或（ ，2）．