安徽省合肥市十校联考2019年中考数学一模试卷（含解析）.doc

‎2019年安徽省合肥市十校联考中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）‎ ‎1．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列（　　）‎ A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣a＜﹣b＜a＜b C．﹣b＜a＜﹣a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a ‎2．‎2018年10月24日港珠澳大桥全线通车，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳大桥总长度‎55000米，则数据55000用科学记数法表示为（　　）‎ A．55×105 B．5.5×‎104 ‎C．0.55×105 D．5.5×105‎ ‎3．下列运算正确的是（　　）‎ A．6x3﹣5x2＝x B．（﹣‎2a）2＝﹣‎2a2 ‎ C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．﹣2（a﹣1）＝﹣‎2a+2‎ ‎4．如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为（　　）‎ A．25° B．45° C．35° D．30°‎ ‎5．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示 ‎ 23‎ 成绩（米）‎ ‎4.50‎ ‎4.60‎ ‎4.65‎ ‎4.70‎ ‎4.75‎ ‎4.80‎ 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（　　）‎ A．4.65、4.70 B．4.65、‎4.75 ‎C．4.70、4.75 D．4.70、4.70‎ ‎7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，根据图象信息，下列结论错误的是（　　）‎ A．abc＜0 B．‎2a+b＝‎0 ‎C．‎4a﹣2b+c＞0 D．‎9a+3b+c＝0‎ ‎8．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则sin∠EDB的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），……直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1、l2、l3、…、ln分别交于点A1、A2、A3、…、An；函数y＝2x的图象与直线l1、l2、l3、…、ln分别交于点B1、B2、B3、…、Bn．如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A‎1A2B2B1的面积记作S2，四边形A‎2A3B3B2的面积记作S3，…，四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2018＝（　　）‎ A．2017.5 B．‎2018 ‎C．2018.5 D．2019‎ 23‎ ‎10．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（　　）‎ A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°‎ 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）‎ ‎11．把多项式3mx﹣6my分解因式的结果是　 　．‎ ‎12．不等式组的所有整数解的积为　 　．‎ ‎13．如图，一次函数y＝k1x+b的图象过点A（0，3），且与反比例函数y＝的图象相交于B、C两点．若AB＝BC，则k1•k2的值为　 　．‎ ‎14．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝　 　．‎ 三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）‎ ‎15．用适当的方法解方程：‎ ‎（1）（x+1）（x﹣2）＝x+1；‎ ‎（2）（2x﹣5）2﹣（x﹣2）2＝0．‎ 23‎ ‎16．某一天，水果经营户老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，后再到水果市场去卖，已知猕猴桃和芒果当天的批发价和零售价如表所示：‎ 品名 猕猴桃 芒果 批发价（元/千克）‎ ‎20‎ ‎40‎ 零售价（元/千克）‎ ‎26‎ ‎50‎ ‎（1）他购进的猕猴桃和芒果各多少千克？‎ ‎（2）如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚多少钱？‎ 四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）‎ ‎17．有这样一个题目：‎ 按照给定的计算程序，确定使代数式n（n+2）大于2000的n的最小正整数值．想一想，怎样迅速找到这个n值，请与同学们交流你的体会．‎ 小亮尝试计算了几组n和n（n+2）的对应值如下表：‎ n ‎50‎ ‎40‎ n（n+2）‎ ‎2600‎ ‎1680‎ ‎（1）请你继续小亮的尝试，再算几组填在上表中（几组随意，自己画格），并写出满足题目要求的n的值；‎ ‎（2）结合上述过程，对于“怎样迅速找到n值”这个问题，说说你的想法．‎ ‎18．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．‎ ‎（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；‎ ‎（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；‎ 23‎ ‎（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．‎ 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）‎ ‎19．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．‎ 求证：四边形AEDF是菱形．‎ ‎20．如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝60°，∠BEQ＝45°；在点F处测得∠AFP＝45°，∠BFQ＝90°，EF＝‎2km．‎ ‎（1）判断AB、AE的数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果保留根号）．‎ 六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）‎ ‎21．抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：‎ ‎（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？‎ ‎（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；‎ ‎（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？‎ 23‎ ‎（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．‎ 七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）‎ ‎22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．‎ ‎（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；‎ ‎（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；‎ ‎（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．‎ 八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）‎ ‎23．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，点D在边AC上，连接BD，过A作BD的垂线交BD的延长线于点E．‎ ‎（1）若M，N分别为线段AB，EC的中点，如图1，求证：MN⊥EC；‎ ‎（2）如图2，过点C作CF⊥EC交BD于点F，求证：AE＝2BF；‎ ‎（3）如图3，以AE为一边作一个角等于∠BAC，这个角的另一边与BE的延长线交于P点，O为BP的中点，连接OC，求证：OC＝（BE﹣PE）．‎ 23‎ 23‎ ‎2019年安徽省合肥市十校联考中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）‎ ‎1．【分析】利用有理数大小的比较方法可得﹣a＜b，﹣b＜a，b＞0＞a进而求解．‎ ‎【解答】解：观察数轴可知：b＞0＞a，且b的绝对值大于a的绝对值．‎ 在b和﹣a两个正数中，﹣a＜b；在a和﹣b两个负数中，绝对值大的反而小，则﹣b＜a．‎ 因此，﹣b＜a＜﹣a＜b．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】有理数大小的比较方法：正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．‎ ‎2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将数据55000用科学记数法表示为5.5×104．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎3．【分析】A、原式不能合并，错误；‎ B、原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；‎ C、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断；‎ D、原式去括号得到结果，即可做出判断．‎ ‎【解答】解：A、原式不能合并，错误；‎ B、原式＝‎4a2，错误；‎ C、原式＝a2+b2﹣2ab，错误；‎ D、原式＝﹣‎2a+2，正确，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，去括号与添括号，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎4．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠1，再根据等边三角形的性质求出∠‎ 23‎ ‎2，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠α＝∠2．‎ ‎【解答】解：如图，∵m∥n，‎ ‎∴∠1＝25°，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠ACB＝60°，‎ ‎∴∠2＝60°﹣25°＝35°，‎ ‎∵l∥m，‎ ‎∴∠α＝∠2＝35°．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质是解题的关键，利用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．‎ ‎5．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．‎ ‎【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ ‎6．【分析】根据中位数、众数的定义即可解决问题．‎ ‎【解答】解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70，4.75．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查中位数、众数的定义，解题的关键是记住中位数、众数的定义，属于中考基础题．‎ ‎7．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（A）由图象可知：a＜0，c＞0，‎ 对称轴x＝＞0，‎ 23‎ ‎∴b＞0，‎ ‎∴abc＜0，故A正确；‎ ‎（B）由对称轴可知：＝1，‎ ‎∴‎2a+b＝0，故正确；‎ ‎（C）当x＝﹣2时，y＜0，‎ ‎∴‎4a﹣2b+c＜0，故C错误；‎ ‎（D）（﹣1，0）与（3，0）关于直线x＝1对称，‎ ‎∴‎9a+3b+c＝0，故D正确；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查二次函数，解题的关键熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．‎ ‎8．【分析】由于所求的∠EDB是圆周角，因此可将其转化到另外一个圆周角来求解，设圆O与小正方形网格的另外一个切点为F，连接EF、BF、BE，因此∠EDB＝∠EFB＝45°，所以sin∠EDB＝．‎ ‎【解答】解：设圆O与小正方形网格的另一个切点为F，连接BF、BE，‎ ‎∵，‎ ‎∴∠EDB＝∠EFB，‎ 由题意知：EB＝BF，‎ ‎∴∠EFB＝45°，‎ ‎∴sin∠EDB＝sin∠EFB＝，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查圆周角定理的应用，如若条件出现的角是圆周角，可考虑圆周角定理将其转移到适合的位置进行求解．‎ ‎9．【分析】根据直线解析式求出An﹣1Bn﹣1，AnBn的值，再根据直线ln﹣1与直线ln互相平行并判断出四边形An﹣1AnBnBn﹣1是梯形，然后根据梯形的面积公式求出Sn的表达式，然后把n 23‎ ‎＝2013代入表达式进行计算即可得解．‎ ‎【解答】解：根据题意，An﹣1Bn﹣1＝2（n﹣1）﹣（n﹣1）＝2n﹣2﹣n+1＝n﹣1，‎ AnBn＝2n﹣n＝n，‎ ‎∵直线ln﹣1⊥x轴于点（n﹣1，0），直线ln⊥x轴于点（n，0），‎ ‎∴An﹣1Bn﹣1∥AnBn，且ln﹣1与ln间的距离为1，‎ ‎∴四边形An﹣1AnBnBn﹣1是梯形，‎ Sn＝（n﹣1+n）×1＝（2n﹣1），‎ 当n＝2018时，S2018＝（2×2018﹣1）＝2017.5．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，读懂题意，根据直线解析式求出An﹣1Bn﹣1，AnBn的值是解题的关键，要注意脚码的对应关系，这也是本题最容易出错的地方．‎ ‎10．【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．‎ ‎【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，‎ ‎∴AC＝BC，∠DAC＝30°，‎ ‎∴AC＝CH，‎ ‎∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，‎ ‎∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，‎ ‎∴∠DAC＝∠ACH＝30°，‎ ‎∵AE＝CF，‎ ‎∴△AEC≌△CFH，‎ ‎∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，‎ ‎∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，‎ 此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，‎ ‎∴∠AFB＝105°，‎ 故选：B．‎ 23‎ ‎【点评】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF+CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．‎ 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）‎ ‎11．【分析】直接提取公因式‎3m，进而分解因式即可．‎ ‎【解答】解：3mx﹣6my＝‎3m（x﹣2y）．‎ 故答案为：‎3m（x﹣2y）．‎ ‎【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．‎ ‎12．【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解相乘即可求解．‎ ‎【解答】解：，‎ 解不等式①得：x≥﹣，‎ 解不等式②得：x≤50，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣≤x≤50，‎ ‎∴不等式组的整数解为﹣1，0，1…50，‎ 所以所有整数解的积为0，‎ 故答案为：0．‎ 23‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．‎ ‎13．【分析】设一次函数的解析式为y＝k1x+3，反比例函数解析式y＝，都经过B点，得等式k1x+3x﹣k2＝0，得到再由AB＝BC，点C的横坐标是点B横坐标的2倍，不防设x2＝2x1，列出x1，x2关系等式，据此可以求出k1•k2的值．‎ ‎【解答】解：k1•k2＝﹣2，是定值．理由如下：‎ ‎∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A（0，3），‎ ‎∴设一次函数的解析式为y＝k1x+3，反比例函数解析式y＝，‎ ‎∴k1x+3＝，‎ 整理得k1x2+3x﹣k2＝0，‎ ‎∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，‎ ‎∵AB＝BC，‎ ‎∴点C的横坐标是点B横坐标的2倍，不防设x2＝2x1，‎ ‎∴x1+x2＝3x1＝﹣，x1x2＝2x12＝﹣，‎ ‎∴﹣＝（﹣）2，‎ 整理得，k1k2＝﹣2，是定值．‎ 故答案为﹣2．‎ ‎【点评】本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是运用好AB＝BC这一条件，此题有一定的难度，需要同学们细心领会．‎ ‎14．【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，进而可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出＝，进而可得出＝，此题得解．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ 23‎ ‎∴＝（）2＝（）＝，‎ ‎∴＝＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．‎ 三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）‎ ‎15．【分析】（1）利用因式分解法求解可得；‎ ‎（2）利用因式分解法求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）＝0，‎ 则（x+1）（x﹣3）＝0，‎ ‎∴x+1＝0或x﹣3＝0，‎ 解得：x1＝﹣1，x2＝3；‎ ‎（2）∵[（2x﹣5）+（x﹣2）][（2x﹣5）﹣（x﹣2）]＝0，‎ ‎∴（3x﹣7）（x﹣3）＝0，‎ 则3x﹣7＝0或x﹣3＝0，‎ 解得：x1＝，x2＝3．‎ ‎【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．‎ ‎16．【分析】（1）设购进猕猴桃x千克，购进芒果y千克，由总价＝单价×数量结合老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）根据利润＝销售收入﹣成本，即可求出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设购进猕猴桃x千克，购进芒果y千克，‎ 根据题意得：，‎ 23‎ 解得：．‎ 答：购进猕猴桃20千克，购进芒果30千克．‎ ‎（2）26×20+50×30﹣1600＝420（元）．‎ 答：如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚420元钱．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．‎ 四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）‎ ‎17．【分析】（1）取n＝44与n＝43，分别计算n（n+2），即可完成表格，从而确定满足题目要求的n的值；‎ ‎（2）根据表格中给出的n＝50与n＝40时n（n+2）的对应值，将它们与2000比较，得出n＜45，取n＝44计算，根据此时n（n+2）＞2000，再取n＝43计算，根据43×45＝1935＜2000，即可求出n的值．‎ ‎【解答】解：（1）填表如下：‎ n ‎50‎ ‎40‎ ‎44‎ ‎43‎ n（n+2）‎ ‎2600‎ ‎1680‎ ‎2024‎ ‎1935‎ 由上表可得，满足条件的n值为44；‎ ‎（2）由于n与（n+2）是连续的两个偶数，确定使代数式n（n+2）大于2000的n的最小正整数值，因为50×52＝2600，40×42＝1680，2600﹣2000＝600＞2000﹣1680＝320，所以n＜45，取n＝44计算，发现44×46＝2024＞2000，再取n＝43计算，由于43×45＝1935＜2000，从而确定满足条件的n值为44．‎ ‎【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，理解题意，根据表格得出n＜45是解题的关键．‎ ‎18．【分析】（1）延长BO，CO到B′C′，使OB′，OC′的长度是OB，OC的2倍．顺次连接三点即可；‎ ‎（2）从直角坐标系中，读出B′、C′的坐标；‎ ‎（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．‎ ‎【解答】解：（1）‎ 23‎ ‎（2）B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）；‎ ‎（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．‎ ‎【点评】本题综合考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键．很多信息是需要从图上看出来的．‎ 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）‎ ‎19．【分析】由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°证△AEO≌△AFO，推出EO＝FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．‎ ‎【解答】证明：∵AD平分∠BAC ‎∴∠BAD＝∠CAD 又∵EF⊥AD，‎ ‎∴∠AOE＝∠AOF＝90°‎ ‎∵在△AEO和△AFO中 ‎，‎ ‎∴△AEO≌△AFO（ASA），‎ ‎∴EO＝FO，‎ ‎∵EF垂直平分AD，‎ ‎∴EF、AD相互平分，‎ ‎∴四边形AEDF是平行四边形 又EF⊥AD，‎ ‎∴平行四边形AEDF为菱形．‎ ‎【点评】‎ 23‎ 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．‎ ‎20．【分析】（1）根据SAS即可证明△AEF≌△ABF，得到AB＝AE；‎ ‎（2）作AH⊥PQ，垂足为H．设AE＝x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函数表示出HE与HF，从而可得到关于x的方程，解方程即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）相等．‎ ‎∵∠BEQ＝45°，∠BFQ＝90°，‎ ‎∴∠EBF＝∠BEQ＝45°，‎ ‎∴EF＝BF，‎ 又∵∠AFP＝45°，‎ ‎∴∠BFA＝45°．‎ 在△AEF与△ABF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEF≌△ABF（SAS），‎ ‎∴AB＝AE；‎ ‎（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为H．‎ 设AE＝xkm，‎ 则AH＝xsin60°km，HE＝xcos60°km，‎ ‎∴HF＝HE+EF＝xcos60°+2，‎ Rt△AHF中，AH＝HF•tan60°，‎ ‎∴xsin60°＝（xcos60°+2）•tan60°，‎ 解得：x＝‎12km 即AB＝AE＝‎12km．‎ 答：两个岛屿A与B之间的距离约为‎12km．‎ 23‎ ‎【点评】此题考查了方向角问题．注意能运用了三角函数，把求线段的问题转化为方程求解的问题是解此题的关键，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．‎ 六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）‎ ‎21．【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；‎ ‎（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；‎ ‎（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；‎ ‎（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）10÷20%＝50，‎ 所以本次抽样调查共抽取了50名学生；‎ ‎（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；‎ 补全条形图如图所示：‎ ‎（3）700×＝56，‎ 所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；‎ ‎（4）画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，‎ 23‎ 所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．‎ 七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）‎ ‎22．【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；‎ ‎（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；‎ ‎（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；‎ 设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），‎ 将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．‎ ‎（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．‎ 设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），‎ ‎∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，‎ EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．‎ ‎∵点C的坐标为（﹣2，3），‎ 23‎ ‎∴点Q的坐标为（﹣2，0），‎ ‎∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，‎ ‎∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．‎ ‎（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，‎ ‎∴点N的坐标为（0，3）．‎ ‎∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．‎ ‎∵点C的坐标为（﹣2，3），‎ ‎∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．‎ 令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．‎ ‎∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，‎ ‎∴MN＝CM，‎ ‎∴AM+MN＝AM+MC＝AC，‎ ‎∴此时△ANM周长取最小值．‎ 当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，‎ ‎∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．‎ ‎∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），‎ ‎∴AC＝＝3，AN＝＝，‎ ‎∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．‎ ‎∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．‎ 23‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．‎ 八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）‎ ‎23．【分析】（1）连接EM、CM，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EM＝CM；再由等腰三角形三线合一的性质得 出结论；‎ ‎（2）证明△AEC∽△BFC，得，由AC＝2BC得AE＝2BF；‎ ‎（3）证明△ACB∽△AEP，得，从而知道AE＝2PE，由AE＝2BF得PE＝BF；根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得OC＝EF，代入得结论．‎ ‎【解答】证明：（1）如图1，连接EM、CM，‎ ‎∵AE⊥BE，M是AB的中点，‎ ‎∴EM＝AB，CM＝AB，‎ ‎∴EM＝CM，‎ 23‎ ‎∵N是EC的中点，‎ ‎∴MN⊥EC；‎ ‎（2）如图2，∵∠ECF＝90°，∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠ECA+∠ACF＝90°，∠ACF+∠FCB＝90°，‎ ‎∴∠ECA＝∠FCB，‎ ‎∵∠CFB＝∠ECF+∠CEF＝90°+∠CEF，‎ ‎∠AEC＝∠AEB+∠CEF＝90°+∠CEF，‎ ‎∴∠CFB＝∠AEC，‎ ‎∴△AEC∽△BFC，‎ ‎∴，‎ ‎∵AC＝2BC，‎ ‎∴AE＝2BF；‎ ‎（3）如图3，过点C作CF⊥EC交BD于点F，‎ ‎∵∠AEP＝∠ACB＝90°，∠BAC＝∠PAE，‎ ‎∴△ACB∽△AEP，‎ ‎∴，‎ ‎∵AC＝2BC，‎ ‎∴AE＝2PE，‎ ‎∵AE＝2BF，‎ ‎∴PE＝BF，‎ ‎∵O为BP的中点，‎ ‎∴PO＝BO，‎ ‎∴EO＝FO，‎ ‎∴CO＝EF＝（BE﹣BF）＝（BE﹣PE）．‎ 23‎ ‎【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的对应边相等得出两边的倍数关系；同时，在直角三角形中，如果有斜边上的中线，可以运用斜边上的中线性质得出两边之间的倍数关系；对于证明垂直的关系除了利用角的大小来证明外，也可以利用等腰三角形的三线合一来证明．‎ 23‎