第十九章 一次函数
一、选择题
1.在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的( )
A．v＝2m－2
B．v＝m2－1
C．v＝3m－3
D．v＝m＋1
2.下列y关于x的函数中，是正比例函数的是( )
A．y＝x2
B．y＝
C．y＝
D．y＝
3.一次函数y＝kx－6(k＜0)的图象大致是( )
A．
B．
C．
D．
4.下列函数是一次函数的是( )
A．y＝4x2－1
B．y＝－
C．y＝
D．y＝
5.已知a是方程(x＋2)(x－1)＝0的解，则对于一次函数y＝ax＋a的判断错误的是( )
A． 图象可能经过一、二、三象限
B． 图象一定经过二、三象限
C． 图象一定经过点(－1,0)
D．y一定随着x的增大而增大
6.若y＝(a－2)＋5是一次函数，则a的值是( )
A． －2
B． 2
C． ±2
D． ±
7.直角三角形中一个锐角的度数y与另一个锐角度数x的函数关系式为( )
A．y＝180°－x(0°＜x＜90°)
B．y＝90°－x(0°＜x＜90°)
C．y＝180°－x(0°≤x≤90°)
D．y＝90°－x(0°≤x≤90°)
8.已知函数y＝，当x＝2时，函数值y为( )
A． 5
B． 6
C． 7
D． 8
二、填空题
9.根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为________.
10.购买某种练习本的数量x(本)与所需钱数y(元)之间的函数图象如图所示，则所需钱数y(元)与练习本的本数x(本)之间的函数关系式是________．
11.函数y＝(k＋2)x＋k2－4中，当k＝________ 时，它是x的一个正比例函数．
12.若一次函数的图象经过点(1,1)与(0，－1)，则这个函数的解析式为________．
13.已知一个正比例函数的图象经过点(－2,6)，则这个正比例函数的表达式是________．
14.函数y＝－x2＋4，当函数值为－4时，自变量x的取值为________，当函数值为4时，自变量x的取值为________．
15.已知y与2x成正比例，且当x＝1时y＝4，则y关于x的函数解析式是________．
16.已知函数y＝3x－6，当x＝0时，y＝________；当y＝0时，x＝________.
三、解答题
17.某酒厂生产A、B两种品牌的酒，每天两种酒共生产600瓶，每种酒每瓶的成本和利润如下表所示．设每天共获利y元，每天生产A种品牌的酒x瓶.
(1)请写出y关于x的函数关系式；
(2)如果该厂每天至少投入成本25 000元，且生产B种品牌的酒不少于全天产量的55%，那么共有几种生产方案？并求出每天至少获利多少元？
18.在同一坐标平面内画出下列各组函数的图象(不写画法)：
(1)y＝x和y＝2x；
(2)y＝x和y＝x；
19.已知某企业生产的产品每件出厂价为70元，其成本价为25元，同时在生产过程中，平均每生产一件产品有1 m3的污水排出，为达到排污标准，现有以下两种处理污水的方案可供选择．
方案一：将污水先净化处理后再排出，每处理1 m3污水的费用为3元，并且每月排污设备损耗为24 000元．
方案二：将污水排到污水厂统一处理，每处理1 m3污水的费用为15元，设该企业每月生产x
件产品，每月利润为y元．
(1)分别写出该企业一句方案一和方案二处理污水时，y与x的函数关系式；
(2)已知该企业每月生产1 000件产品，如果你是该企业的负责人，那么在考虑企业的生产实际前提下，选择哪一种污水处理方案更划算？
20.有甲、乙两家通讯公司，甲公司每月通话(不区分通话地点)的收费标准如图所示；乙公司每月通话的收费如表所示．
(1)观察如图，写出甲公司用户月通话时间不超过400分钟时应付的话费金额；
(2)求出甲公司的用户通话时间超过400分钟后，通话费用y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式；(写出计算过程)
(3)王先生由于工作需要，从4月份开始经常去外市出差，估计每月各种通话时间的比例是本地接听时间：本地拨打时间：外地通话时间＝2：1：1.设王先生每月的各种通话时间总和为t(分)，通话费用为y(元)．你认为t不少于多少时间时，入乙通讯公司比入甲公司更合算？请用计算方法说明理由．
乙公司每月收费标准
21.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象．
(1)y＝x；(2)y＝－3x.
22.下列各题：
①汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系；
②圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系；
③一棵树现在高50 cm，每个月长高2 cm，x月后这个棵树的高度为y(cm)；
④某种大米的单价是2.2元/千克，花费y元与购买大米x千克之间的关系．
其中y是x的一次函数的为________．(填序号)．
答案解析
1.【答案】B
【解析】一般情况下是把最大的一对数据代入函数关系式后通过比较得出最接近的关系式．
当m＝4时，A.v＝2m－2＝6；B.v＝m2－1＝15；C.v＝3m－3＝9；D.v＝m＋1＝5.故选B.
2.【答案】B
【解析】根据正比例函数y＝kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案．
3.【答案】D
【解析】∵一次函数y＝kx－6中，k＜0，
∴直线从左往右下降，
又∵常数项－6＜0，
∴直线与y轴交于负半轴，
∴直线经过第二、三、四象限，
故选D.
4.【答案】B
【解析】∵一次函数的一般形式为y＝kx＋b(k≠0)，
y＝－＝－x，
∴y＝－是一次函数．
故选B.
5.【答案】D
【解析】∵根据题意，把x＝a代入方程(x＋2)(x－1)＝0，
得(a＋2)(a－1)＝0，
∴a＝－2或a＝1.
∴当a＝－2或a＝1时，一次函数y＝ax＋a的图象如下图所示：
从图象上，可以看出，
A，图象可能经过第一、二、三象限(当a＝1时)，故A正确；
B，图象一定经过二、三象限(无论a＝－2或a＝1)，故B正确；
C，图象一定经过点(－1,0)(无论a＝－2或a＝1)，故C正确；
D，当a＝－2时，y随着x的增大而减小，故D错误，
故选D.
6.【答案】A
【解析】由题意得：a2－3＝1，且a－2≠0，解得a＝－2，故选A.
7.【答案】B
【解析】根据直角三角形两个锐角和为90°，即可写出y与x之间的关系式．
∵x＋y＝90°，
∴y＝90°－x(0°＜x＜90°)，
故选B.
8.【答案】A
【解析】利用已知函数关系式结合x的取值范围，进而将x＝2代入求出即可．
∵x≥0时，y＝2x＋1，
∴当x＝2时，y＝2×2＋1＝5，
故选A.
9.【答案】1
【解析】设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，再把x＝－2，y＝3；x＝1时，y＝0代入即可得出k、b的值，故可得出一次函数的解析式，再把x＝0代入即可求出p的值．
一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵x＝－2时y＝3；x＝1时，y＝0，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝－x＋1，
∴当x＝0时，y＝1，即p＝1.
10.【答案】y＝0.5x
【解析】通过图象可以发现，每本练习本0.5元，所以所需钱数y(元)与练习本的本数x(本)之间的函数关系式是y＝0.5x.
11.【答案】2
【解析】根据正比例函数的定义得到：k2－4＝0且k＋2≠0，由此求得k的值．
依题意得：k2－4＝0且k＋2≠0，
解得k＝2.
故答案是2.
12.【答案】y＝2x－1
【解析】设一次函数的解析式是y＝kx＋b，把A(1,1)、B(0，－1)代入解析式得到方程组，求出方程组的解即可．
设一次函数的解析式是y＝kx＋b，
把A(1,1)、B(0，－1)代入得
解方程组得
∴一次函数的解析式是y＝2x－1.
13.【答案】y＝－3x
【解析】设函数解析式为y＝kx，将(－2,6)代入函数解析式，得
－2k＝6.
解得k＝－3，
函数解析式为y＝－3x，
故答案为y＝－3x.
14.【答案】±2 0
【解析】分别将函数值代入函数关系式，然后解方程即可求出自变量x的值．
函数值为－4时，－x2＋4＝－4，
x2＝8，
解得x＝±2；
函数值为4时，－x2＋4＝4，
x2＝0，
解得x＝0.
故答案为±2；0.
15.【答案】y＝4x
【解析】设所求的函数解析式为：y＝k·2x(k≠0)，
将x＝1，y＝4代入，得：4＝k·2，
所以k＝2.
则y关于x的函数解析式是：y＝4x.
故答案为y＝4x.
16.【答案】－6 2
【解析】把x＝0代入函数y＝3x－6得：y＝－6；
把y＝0代入函数y＝3x－6
得：3x－6＝0，
解得x＝2.
17.【答案】解 (1)由题意，每天生产A种品牌的酒x瓶，则每天生产B种品牌的酒(600－x)瓶，
∴y＝20x＋15(600－x)＝9 000＋5x.
(2)根据题意得
解得266≤x≤270，
∵x为整数，
∴x＝267,268,269,270，
该酒厂共有4种生产方案：
①生产A种品牌的酒267瓶，B种品牌的酒333瓶；
②生产A种品牌的酒268瓶，B种品牌的酒332瓶；
③生产A种品牌的酒269瓶，B种品牌的酒331瓶；
④生产A种品牌的酒270瓶，B种品牌的酒330瓶；
∵每天获利y＝9 000＋5x，y是关于x的一次函数，且随x的增大而增大，
∴当x＝267时，y有最小值，y最小＝9 000＋5×267＝10 335元．
【解析】(1)根据获利y＝A种品牌的酒的获利＋B种品牌的酒的获利，即可解答．
(2)根据生产B种品牌的酒不少于全天产量的55%，A种品牌的酒的成本＋B种品牌的酒的成本≥25 000，列出方程组，求出x的取值范围，根据x为正整数，即可得到生产方案；再根据一次函数的性质，即可求出每天至少获利多少元．
18.【答案】解 (1)如图所示：
；
(2)如图所示：
.
【解析】根据“两点确定一条直线”作出图象；
(1)函数图象经过原点，则把x＝1代入相应的函数解析式求得相应的y值，求得函数图象上的一个坐标，然后连接原点即可得到函数图象；
(2)函数图象经过原点，则把x＝6代入相应的函数解析式求得相应的y值，求得函数图象上的一个坐标，然后连接原点即可得到函数图象；
19.【答案】解 (1)因为工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，由题意得
选择方案一时，月利润为y1＝(70－25)x－(3x＋24 000)＝42x－24 000，
选择方案二时，月利润为y2＝(70－25)x－15x＝30x；
(2)当x＝1 000时，y1＝42x－24 000＝18 000，
y2＝30x＝30 000，
∵y1＜y2.
∴选择方案一更划算．
【解析】(1)方案一的等量关系是利润＝产品的销售价－成本价－处理污水的费用－设备损耗的费用，方案二的等量关系是利润＝产品的销售价－成本价－处理污水的费用．可根据这两个等量关系来列出关于利润和产品件数之间的函数关系式；
(2)可将(1)中得出的关系式进行比较，判断出哪个方案最省钱．
20.【答案】解 (1)30元；
(2)设y＝kt＋b，
∵直线过点(400,30)，(500,70)，
∴得
∴甲公司的用户通话时间超过400分钟后，通话费用y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式为y＝0.4t－130；
(3)甲：y1＝
乙：y2＝50＋t＝50＋，
∵y2＞50＞30，
∴满足题意要求的t＞400.
即0.4t－130≥50＋，
得t≥1200，
∴t不少于1200分钟时，入乙比甲合算．
【解析】(1)观察图象，即可求得甲公司用户月通话时间不超过400分钟时应付的话费金额；
(2)首先设通话费用y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式为y＝kx＋b，由直线过点(400,30)，(500,70)，利用待定系数法即可求得答案；
(3)根据题意求得甲乙公司通话费用y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式，然后比较，利用不等式求解，即可求得答案．
21.【答案】解 (1)该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线．
当x＝0时，y＝0.
当x＝2时，y＝3，
则该直线经过点(0,0)，(2,3)．
其图象如下图所示；
(2)该函数是正比例函数，函数图象是过原点的一条直线．
当x＝0时，y＝0.
当x＝1时，y＝－3，
则该直线经过点(0,0)，(1，－3)．
其图象如图所示．
【解析】(1)该函数图象是经过第一、三象限，且过原点的一条直线；
(2)该函数图象是经过第二、四象限，且过原点的一条直线．
22.【答案】①③④
【解析】根据题意列出函数表达式：
①y＝60x；②y＝πx2；③y＝2x＋50；④y＝2.2x；符合y＝kx＋b(k≠0)的有①③④，
故答案为①③④.
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