2018年辽宁省抚顺市新宾县中考数学模拟试卷（四）
一、选择题（本大题共10小题，每题2分，满分20分）
1．如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，则其左视图是（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．如果关于x的一元二次方程x2﹣kx+2＝0中，k是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4 C．y＝（x+2）2+6 D．y＝（x﹣4）2+6
6．设点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则一次函数y＝﹣2x+k的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD的长为（ ）
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A．1 B． C．2 D．
8．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是（ ）
A．80° B．110° C．120° D．140°
9．一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，下列结论正确的是（ ）
A．b2＞4ac B．ac＞0 C．a﹣b+c＞0 D．4a+2b+c＜0
二、填空题（本大题共8小题，每题2分，满分16分）
11．有五张分别印有等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为 ．
12．若|a﹣4|+＝0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
13．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC＝，则对角线AC的长为 ．
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14．如图，AB是⊙O的直径，AB＝13，AC＝5，则tan∠ADC＝ ．
15．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为 ．
16．如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为 cm2．
17．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B．取线段OB的中点C，连结PC并延长交x轴于点D，则△APD的面积为 ．
18．如图，点P、Q是反比例函数y＝图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1 S2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
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三、解答题（本大题共2个小题，第19题8分，第20题6分，满分14分）
19．（1）计算： cos45°﹣tan45°；
（2）计算： sin60°+tan60°﹣2cos230°
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD交于点H．
（1）求证：四边形DEBC是平行四边形；
（2）若BD＝6，求DH的长．
四、解答题（本大题共2个小题，每题8分，满分16分）
21．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．
（1）求AB的长（结果保留根号）；
（2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.7，≈1.4）
22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y＝
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的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO＝，OB＝4，OE＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF＝4S△DFO，求点D的坐标．
五、解答题（满分8分）
23．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．
六、解答题（满分8分）
24．我市某工艺厂，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得到如下数据：
销售单价x（元∕件）
…
30
40
50
60
…
每天销售量y（件）
…
500
400
300
200
…
（1）上表中x、y的各组对应值满足一次函数关系，请求出y与x的函数关系式；
（2）物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
七、解答题（满分8分）
25．如图，∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，DB⊥MN于点B，连接BC．
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（1）当MN绕A旋转到如图1位置时，线段AB、BC、BD之间满足怎样的数量关系，请写出你的猜想，并证明你的猜想．
（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，则CB＝ ．
八、解答题（满分10分）
26．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
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2018年辽宁省抚顺市新宾县中考数学模拟试卷（四）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题2分，满分20分）
1．【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2，3，1．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
2．【分析】根据勾股定理求出AC的长，根据余弦的定义解答即可．
【解答】解：如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝，
∴cosA＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵＝＞＝，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵＝＜＜，
∴选择甲参赛，
故选：A．
【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
4．【分析】
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首先根据题意计算出所有基本事件总数，然后根据题意求出一元二次方程具有两个不等实数根时所包含的基本事件数，进而计算出答案．
【解答】解：二次方程有两个不等实数根，由根的判别式可得 k2﹣8＞0，
k＝1，k2﹣8＝﹣7，不符合题意；
k＝2，k2﹣8＝﹣4，不符合题意，
k＝3，k2﹣8＝1，符合题意，
k＝4，k2﹣8＝8，符合题意；
k＝5，k2﹣8＝17，符合题意；
k＝6，k2﹣8＝28，符合题意．
共有6种等可能的结果，4种符合题意，根的概率是：＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．
【解答】解：将y＝x2﹣2x+3化为顶点式，得y＝（x﹣1）2+2．
将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2+4，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
6．【分析】根据反比例函数图象的性质得出k的取值范围，进而根据一次函数的性质得出一次函数y＝﹣2x+k的图象不经过的象限．
【解答】解：∵点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，
∴x1＜x2＜0时，y随x的增大而增大，
∴k＜0，
∴一次函数y＝﹣2x+k的图象不经过的象限是：第一象限．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得出k的取值范围是解题关键．
7．【分析】由条件可证明△CBD∽△CAB，可得到＝，代入可求得CD．
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【解答】解：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴CD＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
8．【分析】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），连接BD，AD，如图所示，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，在四边形APBO中，根据四边形的内角和求出∠AOB的度数，再利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出∠ADB的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求出∠ACB的度数．
【解答】解：连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），
连接BD，AD，如图所示：
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，又∠P＝40°，
∴∠AOB＝360°﹣（∠OAP+∠OBP+∠P）＝140°，
∵圆周角∠ADB与圆心角∠AOB都对弧AB，
∴∠ADB＝∠AOB＝70°，
又四边形ACBD为圆内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
则∠ACB＝110°．
故选：B．
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
9．【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
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【解答】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项正确；
D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
10．【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，则可对C选项进行判断；由于x＝2时，函数值大于0，则有4a+2b+c＞0，于是可对D选项进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，所以C选项错误；
∵当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠
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0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共8小题，每题2分，满分16分）
11．【分析】直接利用中心对称图形和轴对称图形分析，再结合概率公式得出答案．
【解答】解：等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形是：正方形、矩形、正六边形共3种，
故从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式以及中心对称图形和轴对称图形的概念，正确应用概率公式是解题关键．
12．【分析】根据题意可求出a与b的值，然后根据一元二次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：由|a﹣4|+＝0，
∴a＝4，b＝1
将a＝4，b＝1代入kx2+ax+b＝0，
∴kx2+4x+1＝0，
∴
解得：k≤4且k≠0
故答案为：k≤4且k≠0
【点评】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
13．【分析】连接BD，交AC与点O，首先根据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出AC的长．
【解答】解：连接BD，交AC与点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，
∵AB＝15，sin∠BAC＝，
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∴sin∠BAC＝＝，
∴BO＝9，
∴AB2＝OB2+AO2，
∴AO＝＝＝12，
∴AC＝2AO＝24，
故答案为24．
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题难度不大．
14．【分析】根据勾股定理求出BC的长，再将tan∠ADC转化为tanB进行计算．
【解答】解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝12，
∴tan∠ADC＝tanB＝＝，
故答案为．
【点评】本题考查了圆周角定理和三角函数的定义，要充分利用转化思想思考问题，属于中考常考题型．
15．【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，AD＝BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△DEF∽△BCF，再根据E是AD中点，易求出相似比，从而可求△BCF的面积，再利用△BCF与△DEF是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求△DCF的面积，进而可求▱ABCD的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△DEF：S△BCF＝（）2，
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又∵E是AD中点，
∴DE＝AD＝BC，
∴DE：BC＝DF：BF＝1：2，
∴S△DEF：S△BCF＝1：4，
∴S△BCF＝4，
又∵DF：BF＝1：2，
∴S△DCF＝2，
∴S▱ABCD＝2（S△DCF+S△BCF）＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质．解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高两个三角形面积比等于底之比，先求出△BCF的面积．
16．【分析】根据三视图易得此几何体为圆锥，再根据圆锥侧面积公式＝（底面周长×母线长）÷2 可计算出结果．
【解答】解：由题意得底面直径为2，母线长为2，
∴几何体的侧面积为×2×2π＝2π，
故答案为：2π．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，以及圆锥的侧面积公式的应用，关键是找到等量关系里相应的量．
17．【分析】根据已知条件证得△PBC≌△DOC，再根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．
【解答】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，
∴S矩形APBO＝|k|＝8，
在△PBC与△DOC中，，
∴△PBC≌△DOC（ASA），
∴S△APD＝S矩形APBO＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了反比例函数系数k
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的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，全等三角形的判定和性质，证明△PBC≌△DOC是解题的关键．
18．【分析】设p（a，b），Q（m，n），根据三角形的面积公式即可求出结果．
【解答】解；设p（a，b），Q（m，n），
则S△ABP＝AP•AB＝a（b﹣n）＝ab﹣an，
S△QMN＝MN•QN＝（m﹣a）n＝mn﹣an，
∵点P，Q在反比例函数的图象上，
∴ab＝mn＝k，
∴S1＝S2．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
三、解答题（本大题共2个小题，第19题8分，第20题6分，满分14分）
19．【分析】（1）首先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算减法即可．
（2）首先计算特殊角的三角函数值，再计算乘方，然后计算乘法，最后计算加减法即可．
【解答】解：（1）cos45°﹣tan45°
＝×﹣1
＝1﹣1
＝0；
（2）sin60°+tan60°﹣2cos230°
＝×+﹣2×
＝+﹣
＝．
【点评】
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此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20．【分析】（1）由AB＝2CD，E是AB的中点得出DC＝BE，再结合AB∥CD即可得证；
（2）先证△EDM∽△FBM得＝，由BC＝DE，F为BC的中点得出＝＝2，继而知DH＝2HB，结合DH+HB＝6可得答案．
【解答】证明：（1）∵E是AB的中点，
∴AB＝2EB，
∵AB＝2CD，
∴DC＝BE，
又∵AB∥CD，即DC∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形．
（2）∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BC＝DE，BC∥DE，
∴△EDM∽△FBM，
∴＝，
∵BC＝DE，F为BC的中点，
∴BF＝BC＝DE，
∴＝＝2，
∴DH＝2HB，
又∵DH+HB＝6，
∴DH＝4．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质．
四、解答题（本大题共2个小题，每题8分，满分16分）
21．【分析】（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；
（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．
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【解答】解：（1）由题意得，在Rt△ADC中，tan30°＝＝，
解得AD＝24．
在 Rt△BDC 中，tan60°＝＝，
解得BD＝8
所以AB＝AD﹣BD＝24﹣8＝16（米）．
（2）汽车从A到B用时2秒，所以速度为16÷2＝8≈13.6（米/秒），
因为13.6（米/秒）＝48.96千米/小时＞45千米/小时
所以此校车在AB路段超速．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．
22．【分析】（1）由边的关系可得出BE＝6，通过解直角三角形可得出CE＝3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；
（2）由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．
【解答】解：（1）∵OB＝4，OE＝2，
∴BE＝OB+OE＝6．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB＝90°．
在Rt△BEC中，∠CEB＝90°，BE＝6，tan∠ABO＝，
∴CE＝BE•tan∠ABO＝6×＝3，
结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝﹣2×3＝﹣6，
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∴反比例函数的解析式为y＝﹣．
（2）∵点D在反比例函数y＝﹣第四象限的图象上，
∴设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝4，tan∠ABO＝，
∴OA＝OB•tan∠ABO＝4×＝2．
∵S△BAF＝AF•OB＝（OA+OF）•OB＝（2+）×4＝4+．
∵点D在反比例函数y＝﹣第四象限的图象上，
∴S△DFO＝×|﹣6|＝3．
∵S△BAF＝4S△DFO，
∴4+＝4×3，
解得：n＝，
经验证，n＝是分式方程4+＝4×3的解，
∴点D的坐标为（，﹣4）．
【点评】本题考查了解直角三角形、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是：（1）求出点C的坐标；（2）根据三角形的面积间的关系找出关于n的分式方程．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数是关键．
五、解答题（满分8分）
23．【分析】（1）证明：连接CO，证得∠OCA＝∠CAE，由平行线的判定得到OC∥FD，再证得OC⊥CE，即可证得结论；
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（2）证明：连接BC，由圆周角定理得到∠BCA＝90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可证得结论．
【解答】（1）证明：连接CO，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠OCA＝∠CAE，
∴OC∥FD，
∵CE⊥DF，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）证明：连接BC，
在Rt△ACE中，AC＝＝＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BCA＝∠CEA，
∵∠CAE＝∠CAB，
∴△ABC∽△ACE，
∴＝，
∴，
∴AB＝5，
∴AO＝2.5，即⊙O的半径为2.5．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键．
23
六、解答题（满分8分）
24．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数关系式，将解析式配方成顶点式，结合x的取值范围利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设这个一次函数为y＝kx+b（k≠0）
∵这个一次函数的图象经过（30，500）（40，400）这两点，
则，
∴解得k＝﹣10，b＝800，
∴函数关系式是：y＝﹣10x+800；
（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，
依题意得：W＝（x﹣20）（﹣10x+800）
＝﹣10x2+1000x﹣16000
＝﹣10（x﹣50）2+9000，
∴当x＝50时，W有最大值9000．且当x≤50时W的值随着x值的增大而增大，
∵x≤45，
∴当x＝45时，w＝﹣10（45﹣50）2+9000＝8750（元），
答：当销售单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为8750元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用销量×单件利润＝总利润得出函数解析式是解题关键．
七、解答题（满分8分）
25．【分析】（1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，由余角的性质可得∠BCD＝∠ACE，可证△ACE≌△DCB，可得AE＝DB，CE＝CB，可证BD+AB＝CB；
（2）连接AD，过点D作DF⊥BC于点F，由题意可证点A，点C，点D，点B四点共圆，可得∠CAD＝∠CBD＝45°，由勾股定理可求BF，CF的长，即可求BC的长．
【解答】解：（1）BD+AB＝CB
理由如下：如图，过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
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∵∠ACB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE
∵DB⊥MN
∴∠ABC+∠CBD＝90°，
∵CE⊥CB
∴∠ABC+∠CEA＝90°，
∴∠CBD＝∠CEA．
又∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB（AAS），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE＝CB．
又∵BE＝AE+AB，
∴BE＝BD+AB，
∴BD+AB＝CB
（2）连接AD，过点D作DF⊥BC于点F，
∵AC＝CD，∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，
∵∠ACD＝∠ABD＝90°，
∴点A，点C，点D，点B四点共圆，
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∴∠CAD＝∠CBD＝45°，且CF⊥BC
∴∠FBD＝∠FDB＝45°，且BD＝
∴BF＝DF＝1，
∵∠BCD＝30°，DF⊥BC
∴CF＝DF＝
∴BC＝CF+BF＝+1
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
八、解答题（满分10分）
26．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）设点P（m， m2+2m+1），表示出PE＝﹣m2﹣3m，再用S四边形AECP＝S△AEC+S△APC＝AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可；
（3）先判断出PF＝CF，再得到∠PCA＝∠EAC，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可．
【解答】解：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x+1，
（2）∵AC∥x轴，A（0，1）
∴x2+2x+1＝1，
∴x1＝﹣6，x2＝0，
∴点C的坐标（﹣6，1），
∵点A（0，1）．B（﹣9，10），
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
设点P（m， m2+2m+1）
∴E（m，﹣m+1）
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∴PE＝﹣m+1﹣（m2+2m+1）＝﹣m2﹣3m，
∵AC⊥EP，AC＝6，
∴S四边形AECP
＝S△AEC+S△APC
＝AC×EF+AC×PF
＝AC×（EF+PF）
＝AC×PE
＝×6×（﹣m2﹣3m）
＝﹣m2﹣9m
＝﹣（m+）2+，
∵﹣6＜m＜0
∴当m＝﹣时，四边形AECP的面积的最大值是，
此时点P（﹣，﹣）；
（3）∵y＝x2+2x+1＝（x+3）2﹣2，
∴P（﹣3，﹣2），
∴PF＝yF﹣yP＝3，CF＝xF﹣xC＝3，
∴PF＝CF，
∴∠PCF＝45°
同理可得：∠EAF＝45°，
∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q（t，1）且AB＝9，AC＝6，CP＝3
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴，
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∴，
∴t＝﹣4或t＝﹣8（不符合题意，舍）
∴Q（﹣4，1）
②当△CQP∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t＝3或t＝﹣15（不符合题意，舍）
∴Q（3，1）
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．
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