2018 年山东省济南市中区中考数学模拟试卷（6 月份）
一．选择题（满分 48 分，每小题 4 分）
1．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内
生产总值从 54 万亿元增长 80 万亿元，稳居世界第二，其中 80 万亿用科学记数法表示为
（ ）
A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013
3．如图，直线 AB∥CD，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠4＝180°
4．下列所给的汽车标志图案中， 既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．（b2）3＝b5 B．x3÷x3＝x
C．5y3•3y2＝15y5 D．a+a2＝a36．在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是：8、10、9、
7、7、9、8、9，下列说法不正确的是（ ）
A．众数是 9 B．中位数是 8.5
C．极差是 3 D．平均数是 8.4
7．计算（﹣ ）3 的结果是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．
8．若关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A．k≤5 B．k≤5，且 k≠1 C．k＜5，且 k≠1 D．k＜5
9．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线 y＝﹣x+b 上，则 y1，y2，y3 的值的大
小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y1＞y2
10．某测量队在山脚 A 处测得山上树顶仰角为 45°（如图），测量队在山坡上前进 600 米到
D 处 ，再测得树顶的仰角为 60°，已知这段山坡的坡角为 30°，如果树高为 15 米，则
山高为（ ）（精确到 1 米， ＝1.732）．
A．585 米 B．1014 米 C．805 米 D．820 米
11．如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC、CD 的中点，连接 AE，BF 交
于点 G，将△BCF 沿 BF 对折，得到△BPF，延长 FP 交 BA 延长线于点 Q，下列结论正
确都有（ ）个．
①QB＝QF；②AE⊥BF；③BG＝ ；④sin∠BQP＝ ；④S 四边形 ECFG＝2S△BGEA．5 B．4 C．3 D．2
12．（4 分 ）如图，抛物线 m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与 x 轴于点 A、B（点 A 在点 B 的左
侧），与 y 轴交于点 C．将抛物线 m 绕点 B 旋转 180°，得到新的抛物线 n，它的顶点为
C1，与 x 轴的另一个交点为 A1．若四边形 AC1A1C 为矩形，则 a，b 应满足的关系式为
（ ）
A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5
二．填空题（满分 24 分，每小题 4 分）
13．因式分解 5x2y﹣10xy2＝ ．
14．在一个不透明的盒子中装有除了颜色以外没有任何其他区别的 1 个黑球和 2 个红球，从
盒子中任意取出 1 个球，取出红球的概率是 ．
15．分式方 程 ＝ 的解是 ．
16．一个扇形的圆心角为 150°，弧长为 5πcm2，则此扇形的半径为 cm．
17．如果点（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是反比例函数 y＝ 图象上的三个点，则 y1、
y2、y3 的大小关系是 ．
18．如图，已知函数 y1＝3x+b 和 y2＝ax﹣3 的图象交于点 P（﹣2，﹣5），则不等式 3x+b＞ax
﹣3 的解集为 ．三．解答题（共 9 小题，满分 78 分）
19．（6 分）计算：（ ）﹣2﹣ +（ ﹣4）0﹣ cos45°．
20．（6 分）解不等式组
21．（6 分）如图，▱ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，OE＝OF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若 BD＝EF，连接 DE、BF，判断四边形 EBFD 的形状，并说明理由．
22．（8 分）某学校初二年级在元旦汇演中需要外出租用同一种服装若干件，已知在没有任
何优惠的情况下，甲服装店租用 2 件和在乙服装店租用 3 件共需 280 元，在甲服装店租
用 4 件和在乙服装店租用一件共需 260 元．
（1）求两个服装店提供的单价分别是多少？
（2）若该种服装提前一周订货则甲乙两个租售店都可以给予优惠，具体办法如下：甲服装
店按原价的八折进行优惠；在乙服装店如果租用 5 件以上，且超出 5 件的部分可按原价
的六折进行优惠；设需要租用 x 件服装，选择甲店则需要 y1 元，选择乙店则需要 y2 元，
请分别求出 y1，y 关于 x 的函数关系式；
（3）若租用的服装在 5 件以上，请问租用多少件时甲乙两店的租金相同？
23．（8 分）如图，AB、AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D．过点 A 作⊙O 的切
线与
OD 的延长线交于点 P，PC、AB 的延长线交于点 F．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段 CF 的长．
24．（10 分）某商场，为了吸引顾客，在“白色情人节”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡
购物满 200 元者，有两种奖励方案供选择：一是直接获得 20 元的礼金券，二是得到一次
摇奖的机会．已知在摇奖机内装有 2 个红球和 2 个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者
必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色（如表）决定送礼金券的多少．
球 两红 一红一白 两白
礼金券（元） 18 24 18
（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．
（2）如果一名顾客当天在本店购物满 200 元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析
选择哪种方案较为实惠．
25．（10 分）如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D 为 B 点关于 AC 的对称点，
反比例函数 y＝ 的图象经过 D 点．
（1）证明四边形 ABCD 为菱形；
（2）求此反比例函数的解析式；
（3）已知在 y＝ 的图象（x＞0）上一点 N，y 轴正半轴上一点 M，且四边形 ABMN 是平
行四边形，求 M 点的坐标．
26．（12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，将对角线 AC 绕对角线交点 O 旋转，分别交边 AD、BC 于点 E、F，点 P 是边 DC 上的一个动点，且保持 DP＝AE，连接 PE、
PF，设 AE＝x（0＜x＜3）．
（1）填空：PC＝ ，FC＝ ；（用含 x 的代数式表示）
（2）求△PEF 面积的最小值；
（3）在运动过程中，PE⊥PF 是否成立？若成立，求出 x 的值；若不成立，请说明理由．
27．（12 分）如图，抛物线 y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左
边），与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点．
（1）求点 A、B、C 的坐标；
（2）点 M（m，0）为线段 AB 上一点（点 M 不与点 A、B 重合），过点 M 作 x 轴的垂线，
与直线 AC 交于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P 作 PQ∥AB 交抛物线于点 Q，过点 Q
作 QN⊥x 轴于点 N，可得矩形 PQNM．如图，点 P 在点 Q 左边，试用含 m 的式子表示
矩形 PQNM 的周长；
（3）当矩形 PQNM 的周长最大时，m 的值是多少？并求出此时的△AEM 的面积；
（4）在（3）的条件下，当矩形 PMNQ 的周长最大时，连接 DQ，过抛物线上一点 F 作 y
轴的平行线，与直线 AC 交于点 G（点 G 在点 F 的上方）．若 FG＝2 DQ，求点 F 的坐
标．参考答案
一．选择题
1．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故 D 符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内
生产总值从 54 万亿元增长 80 万亿元，稳居世界第二，其中 80 万亿用科学记数法表示为
（ ）
A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值
时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
解：80 万亿用科学记数法表示为 8×1013．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中 1
≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
3．如图，直线 AB∥CD，则下列结论正确的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠4＝180°
【分析】依据 AB∥CD，可得∠3+∠5＝180°，再根据∠5＝∠4，即可得出∠3+∠4＝180
°．
解：如图，∵AB∥CD，
∴∠3+∠5＝180°，
又∵∠5＝∠4，
∴∠3+∠4＝180°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
4．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重
合．5．下列运算正确的是（ ）
A．（b2）3＝b5 B．x3÷x3＝x
C．5y3•3y2＝15y5 D．a+a2＝a3
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、单项式乘以单项式和合
并同类项法则．
解：A、（b2）3＝b6，故此选项错误；
B、x3÷x3＝1，故此选项错误；
C、5y3•3y2＝15y 5，正确；
D、a+a2，无法计算，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算、单项式乘以单项式和合并
同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是：8、10、9、
7、7、9、8、9，下列说法不正确的是（ ）
A．众数是 9 B．中位数是 8.5
C．极差是 3 D．平均数是 8.4
【分析】由题意可知：一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数，则这组数据的
众数为 9；总数个数是偶数的，按从小到大的顺序，取中间两个数的平均数为中位数，则
中位数为 8.5；一组数据中最大数据与最小数据的差为极差，据此求出极差为 3；这组数
据的平均数＝（8+10+9+7+7+9+8+9）÷8＝8.375．
解：A、9 出现了 3 次，次数最多，所以众数是 9，故选项说法正确；
B、按从小到大排列为：7，7，8，8，9，9，9，10，中位数是：（8+9）÷2＝8.5，故选项
说法正确；
C、极差是：10﹣7＝3，故选项说法正确；
D、平均数＝（8+10+9+7+7+9+8+9）÷8＝8.375，故选项说法不正确．
故选：D．
【点评】考查了中位数、众数、平均数与极差的概念，是基础题，熟记定义是解决本题的关键．
7．计算（﹣ ）3 的结果是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．
【分析】原式分子分母分别立方，计算即可得到结果．
解：原式＝﹣ ＝﹣ ．
故选：C．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．若关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A．k ≤5 B．k≤5，且 k≠1 C．k＜5，且 k≠1 D．k＜5
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于 k 的一元一次不等式组，
解之即可得出结论．
解：∵关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0 有实数根，
∴ ，
解得：k≤5 且 k≠1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根
的判别式，找出关于 k 的一元一次不等式组是解题的关键．
9．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线 y＝﹣x+b 上，则 y1，y2，y3 的值的大
小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y1＞y2
【分析】先根据直线 y＝﹣x+b 判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判
断即可．
解：∵直线 y＝﹣x+b，k＝﹣1＜0，
∴y 随 x 的增大而减小，
又∵﹣2＜﹣1＜1，∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当 k＞0，y 随
x 的增大而增大；当 k＜0，y 随 x 的增大而减小．
10．某测量队在山脚 A 处测得山上树顶仰角为 45°（如图），测量队在山坡上前进 600 米到
D 处，再测得树顶的仰角为 60°，已知这段山坡的坡角为 30°，如果树高为 15 米，则
山高为（ ）（精确到 1 米， ＝1.732）．
A．585 米 B．1014 米 C．805 米 D．820 米
【分析】过点D 作 DE⊥AC，可得到△ACB 是等腰直角三角形，直角△ADE 中满足解直角
三角形的条件．可以设 EC＝x，在直角△BDF 中，根据勾股定理，可以用 x 表示出 BF，
根据 AC＝BC 就可以得到关于 x 的方程，就可以求出 x，得到 BC，求出山高．
解：过点 D 作 DF⊥AC 于 F．
在直角△ADF 中，AF＝AD•cos30°＝300 米，DF＝ AD＝300 米．
设 FC＝x，则 AC＝300 +x．
在直角△BDE 中，BE＝ DE＝ x，则 BC＝300+ x．
在直角△ACB 中，∠BAC＝45°．
∴这个三角形是等腰直角三角形．
∴AC＝BC．
∴300 +x＝300+ x．
解得：x＝300．
∴BC＝AC＝300+300 ．
∴山高是 300+ 300 ﹣15＝285+300 ≈805 米．
故选：C．【点评】本题的难度较大，建立数学模型是关键．根据勾股定理，把问题转化为方程问
题．
11．如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC、CD 的中点，连接 AE，BF 交
于点 G，将△BCF 沿 BF 对折，得到△BPF，延长 FP 交 BA 延长线于点 Q，下列结论正
确都有（ ）个．
①QB＝QF；②AE⊥BF；③BG＝ ；④sin∠BQP＝ ；④S 四边形 ECFG＝2S△BGE
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】①△BCF 沿 BF 对折，得到△BPF，利用角的关系求出 QF＝QB；
②首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°，即可得到 AE⊥BF；
③利用等面积法求得 BG 的长度；
④利用 QF＝QB，解出 BP，QB，根据正弦的定义即可求解；
⑤根据 AA 可证△BGE 与△BCF 相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可
求解．
解：①根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠ BF C，∠FPB＝90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QF＝QB，故正确；②∵E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点，
∴CF＝BE，
在△ABE 和△BCF 中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF，故正确；
③由②知，△ABE≌△BCF，则 AE＝BF＝ ＝ ，
∵AE⊥BF
∴ AB•BE＝ AE•BG，故 BG＝ ＝ ＝ ．
故错误；
④由①知，QF＝QB，
令 PF＝k（k＞0），则 PB＝2k
在 Rt△BPQ 中，设 QB＝x，
∴x2＝（x﹣k）2+4k2，
∴x＝ ，
∴sin∠BQP＝ ＝ ，故正确；
⑤∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∵BE＝ BC，BF＝ BC，∴BE：BF＝1： ，
∴△BGE 的面积：△BCF 的面积＝1：5，
∴S 四边形 ECFG＝4S△BGE，故错误．
综上所述，共有 3 个结论正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、
相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边
的大小不变，找准对应边，角的关系求解．
12．如图，抛物线 m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与 x 轴于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），
与 y 轴交于点 C．将抛物线 m 绕点 B 旋转 180°，得到新的抛物线 n，它的顶点为 C1，
与 x 轴的另一个交点为 A1．若四边形 AC1A1C 为矩形，则 a，b 应满足的关系式为（ ）
A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5
【分析】利用矩形性质得出要使平行四边形 AC1A1C 是矩形，必须满足 AB＝BC，即可求
出．
解：令 x＝0，得：y＝b．∴C（0，b）．
令 y＝0，得：ax2+b＝0，∴x＝± ，∴A（﹣ ，0），B（ ，0），
∴AB＝2 ，BC＝ ＝ ．要使平行四边形 AC1A1C 是矩形，必须满足 AB＝BC，
∴2 ＝ ．∴4×（﹣ ）＝b2﹣ ，
∴ab＝﹣3．
∴a，b 应满足关系式 ab＝﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称
的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
二．填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）
13．因式分解 5x2y﹣10xy2＝ 5xy（x﹣2y） ．
【分析】直接找出公因式 5xy，进而提取公因式得出答案．
解：5x2y﹣10xy2＝5xy（x﹣2y）．
故答案为：5xy（x﹣2y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14．在一个不透明的盒子中装有除了颜色以外没有任何其他区别的 1 个黑球和 2 个红球，从
盒子中任意取出 1 个球，取出红球的概率是 ．
【分析】用红色小球的个数除以球的总个数即可得出答案．
解：∵在一个不透明的盒子中装有除了颜色以外没有任何其他区别的 1 个黑球和 2 个红球，
∴从盒子中任意取出 1 个球，取出红球的概率是： ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查概率公式，掌握随机事件A 的概率 P（A）＝事件 A 可能出现的结果
数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．
15．分式方程 ＝ 的解是 x＝1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到
分式方程的解．
解：去分母得：x+3＝4x，
解得：x＝1，
经检验 x＝1 是分式方程的解．故答案为：x＝1．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化
为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16．一个扇形的圆心角为 150°，弧长为 5πcm2，则此扇形的半径为 6 cm．
【分析】直接利用弧长公式计算得出答案．
解：∵l＝ ＝5π，
解得：r＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键．
17．如果点（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是反比例函数 y＝ 图象上的三个点，则 y1、
y2、y3 的大小关系是 y2＞y3＞y1 ．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点
进行解答即可
解：∵1＞0，
∴反比例函数 y＝ 图象在一、三象限，并且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小，
∵﹣1＜0，
∴A 点在第三象限，
∴y1＜0，
∵2＞1＞0，
∴B、C 两点在第一象限，
∴y2＞y3＞0，
∴y2＞y3＞y1．
故答案是：y2＞y3＞y1．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标
一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
18．如图，已知函数 y1＝3x+b 和 y2＝ax﹣3 的图象交于点 P（﹣2，﹣5），则不等式 3x+b＞ax﹣3 的解集为 x＞﹣2 ．
【分析】根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．
解：由题意及图象得：不等式 3x+b＞ax﹣3 的解集为 x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2
【点评】此题考查了一次函数与一元一次不等式，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结
合思想是解本题的关键．
三．解答题（共 9 小题，满分 78 分）
19．（6 分）计算：（ ）﹣2﹣ +（ ﹣4）0﹣ cos45°．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得
出答案．
解：原式＝4﹣3+1﹣ ×
＝2﹣1
＝1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（6 分）解不等式组
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
解：
∵解不等式①得：x＞1.5，
解不等式②得：x≥1.6，
∴不等式组的解集是 x≥1.6．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
21．（6 分）如图，▱ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，OE＝OF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若 BD＝EF，连接 DE、BF，判断四边形 EBFD 的形状，并说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出OB＝OD，由 SAS 证明△BOE≌△DOF 即可；
（2）先证明四边形 EBFD 是平行四边形，再由对角线相等即可得出四边形 EBFD 是矩
形．
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OB＝OD，
在△BOE 和△DOF 中，
，
∴△BOE≌△DOF；
（2）四边形 EBFD 是矩形，
连接 BE、DF，
由（1）知△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，OE＝OF，
∴四边形 BEDF 是平行四边形，
又∵BD＝EF，
∴平行四边形 BEDF 是矩形
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、矩形的判定；熟练掌握
平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．22．（8 分）某学校初二年级在元旦汇演中需要外出租用同一种服装若干件，已知在没有任
何优惠的情况下，甲服装店租用 2 件和在乙服装店租用 3 件共需 280 元，在甲服装店租
用 4 件和在乙服装店租用一件共需 260 元．
（1）求两个服装店提供的单价分别是多少？
（2）若该种服装提前一周订货则甲乙两个租售店都可以给予优惠，具体办法如下：甲服装
店按原价的八折进行优惠；在乙服装店如果租用 5 件以上，且超出 5 件的部分可按原价
的六折进行优惠；设需要租用 x 件服装，选择甲店则需要 y1 元，选择乙店则需要 y2 元，
请分别求出 y1，y 关于 x 的函数关系式；
（3）若租用的服装在 5 件以上，请问租用多少件时甲乙两店的租金相同？
【分析】（1）设甲店每件租金x 元，乙店每件租金 y 元，根据甲服装店租用 2 件和在乙服装
店租用 3 件共需 280 元，在甲服装店租用 4 件和在乙服装店租用一件共需 260 元，列出方
程组解答即可；
（2）根据题意列出函数解析式即可；
（3）根据题意列出方程，进而解答即可．
解：（1）设甲店每件租金 x 元，乙店每件租金 y 元，由题可得： ，
解得 ，
答：两个服装店提供的单价分别是 50 元．60 元；
（2）根据题意可得：y1＝40x，
y2＝
（3）由 40x＝36x+120 得 x＝30
答：当 x＝30 时，两店相同．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是根据数量关系
列出关于 x、y 的二元一次方程组．
23．（8 分）如图，AB、AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D．过点 A 作⊙O 的切
线与
OD 的延长线交于点 P，PC、AB 的延长线交于点 F．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段 CF 的长．
【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切
线的性质定理可以得到：∠OCP＝90°，即 OC⊥PC，即可证得；
（2）先证△OBC 是等边三角形得∠COB＝60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF＝90°，
结合半径 OC＝5 可得答案．
解：（1）连接 OC，
∵OD⊥AC，OD 经过圆心 O，
∴AD＝CD，
∴PA＝PC，
在△OAP 和△OCP 中，
∵ ，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP
∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠OAP＝90°．
∴∠OCP＝90°，即 OC⊥PC
∴PC 是⊙O 的切线．
（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC 是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵AB＝10，
∴OC＝5，
由（1）知∠OCF＝90°，
∴CF＝OCtan∠COB＝5 ．
【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明
圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．
24．（10 分）某商场，为了吸引顾客，在“白色情人节”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡
购物满 200 元者，有两种奖励方案供选择：一是直接获得 20 元的礼金券，二是得到一次
摇奖的机会．已知在摇奖机内装有 2 个红球和 2 个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者
必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色（如表）决定送礼金券的多少．
球 两红 一红一白 两白
礼金券（元） 18 24 18
（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．
（2）如果一名顾客当天在本店购物满 200 元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析
选择哪种方案较为实惠．
【分析】（1）画树状图列出所有等可能 结果，再让所求的情况数除以总情况数即为所求的
概率；
（2）算出相应的平均收益，比较大小即可．
解：（1）树状图为：
∴一共有 6 种情况，摇出一红一白的情况共有 4 种，∴摇出一红一白的概率＝ ＝ ；
（2）∵两红的概率 P＝ ，两白的概率 P＝ ，一红一白的概率 P＝ ，
∴摇奖的平均收益是： ×18+ ×24+ ×18＝22，
∵22＞20，
∴选择摇奖．
【点评】本题主要考查的是概率的计算，画树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题
时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情
况数之比．
25．（10 分）如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D 为 B 点关于 AC 的对称点，
反比例函数 y＝ 的图象经过 D 点．
（1）证明四边形 ABCD 为菱形；
（2）求此反比例函数的解析式；
（3）已知在 y＝ 的图象（x＞0）上一点 N，y 轴正半轴上一点 M，且四边形 ABMN 是平
行四边形，求 M 点的坐标．
【分析】（1）由A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），利用勾股定理可求得 AB＝5＝BC，又
由 D 为 B 点关于 AC 的对称点，可得 AB＝AD，BC＝DC，即可证得 AB＝AD＝CD＝
CB，继而证得四边形 ABCD 为菱形；
（2）由四边形 ABCD 为菱形，可求得点 D 的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比
例函数的解析式；
（3）由四边形 ABMN 是平行四边形，根据平移的性质，可求得点 N 的横坐标，代入反比
例函数解析式，即可求得点 N 的坐标，继而求得 M 点的坐标．解：（1）∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），
∴OA＝4，OB＝3，OC＝2，
∴AB＝ ＝5，BC＝5，
∴AB＝BC，
∵D 为 B 点关于 AC 的对称点，
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝AD＝CD＝CB，
∴四边形 ABCD 为菱形；
（2）∵四边形 ABCD 为菱形，
∴D 点的坐标为（5，4），反比例函数 y＝ 的图象经过 D 点，
∴4＝ ，
∴k＝20，
∴反比例函数的解析式为：y＝ ；
（3）∵四边形 ABMN 是平行四边形，
∴AN∥BM，AN＝BM，
∴AN 是 BM 经过平移得到的，
∴首先 BM 向右平移了 3 个单位长度，
∴N 点的横坐标为 3，
代入 y＝ ，
得 y＝ ，
∴M 点的纵坐标为： ﹣4＝ ，
∴M 点的坐标为：（0， ）．
【点评】此题属于反比例函数综合题，考查了菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析
式以及平行四边形的性质．注意掌握坐标与图形的关系是关键．
26．（12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，将对角线 AC 绕对角线交点 O 旋转，分别交边 AD、BC 于点 E、F，点 P 是边 DC 上的一个动点，且保持 DP＝AE，连接 PE、
PF，设 AE＝x（0＜x＜3）．
（1）填空：PC＝ 3﹣x ，FC＝ x ；（用含 x 的代数式表示）
（2）求△PEF 面积的最小值；
（3）在运动过程中，PE⊥PF 是否成立？若成立，求出 x 的值；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO，可证△AEO≌△CFO，
可得 AE＝CF＝x，由 DP＝AE＝x，可得 PC＝3﹣x；
（2）由 S△EFP＝S 梯形 EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，可得 S△EFP＝x2﹣ x+6＝（x﹣ ）2+ ，
根据二次函数的性质可求△PEF 面积的最小值；
（3）若 PE⊥PF，则可证△DPE≌△CFP，可得 DE＝CP，即 3﹣x＝4﹣x，方程无解，则不
存在 x 的值使 PE⊥PF．
解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形
∴AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO
∴∠DAC＝∠ACB，且 AO＝CO，∠AOE＝∠COF
∴△AEO≌△CFO（ASA）
∴AE＝CF
∵AE＝x，且 DP＝AE
∴DP＝x，CF＝x，DE＝4﹣x，
∴CP＝3﹣x，PC＝CD﹣DP＝3﹣x
故答案为：3﹣x，x
（2）∵S△EFP＝S 梯形 EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP ，
∴S△EFP＝ ﹣ ﹣ ×x×（3﹣x）＝x2﹣ x+6＝（x﹣ ）2+
∴当 x＝ 时，△PEF 面积的最小值为
（3）不成立理由如下：若 PE⊥PF，则∠EPD+∠FPC＝90°
又∵∠EPD+∠DEP＝90°
∴∠DEP＝∠FPC，且 CF＝DP＝AE，∠EDP＝∠PCF＝90°
∴△DPE≌△CFP（AAS）
∴DE＝CP
∴3﹣x＝4﹣x
则方程无解，
∴不存在 x 的值使 PE⊥PF，
即 PE⊥PF 不成立．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的
性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
27．（12 分）如图，抛物线 y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左
边），与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点．
（1）求点 A、B、C 的坐标；
（2）点 M（m，0）为线段 AB 上一点（点 M 不与点 A、B 重合），过点 M 作 x 轴的垂线，
与直线 AC 交于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P 作 PQ∥AB 交抛物线于点 Q，过点 Q
作 QN⊥x 轴于点 N，可得矩形 PQNM．如图，点 P 在点 Q 左边，试用含 m 的式子表示
矩形 PQNM 的周长；
（3）当矩形 PQNM 的周长最大时，m 的值是多少？并求出此时的△AEM 的面积；
（4）在（3）的条件下，当矩形 PMNQ 的周长最大时，连接 DQ，过抛物线上一点 F 作 y
轴的平行线，与直线 AC 交于点 G（点 G 在点 F 的上方）．若 FG＝2 DQ，求点 F 的坐
标．
【分析】（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C 的坐标；
（2）先确定出抛物线对称轴，用 m 表示出 PM，MN 即可；（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出 m，进而求出直线 AC 解析式，即
可；
（4）在（3）的基础上，判断出 N 应与原点重合，Q 点与 C 点重合，求出 DQ＝DC＝ ，
再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4 即可．
解：
（1）由抛物线 y＝﹣x2﹣2x+3 可知，C（0，3）．
令 y＝0，则 0＝﹣x2﹣2x+3，
解得，x＝﹣3 或 x＝l，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）由抛物线 y＝﹣x2﹣2x+3 可知，对称轴为 x＝﹣1．
∵M（m，0），
∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，
∴矩形 PMNQ 的周长＝2（PM+MN）＝（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2＝﹣2m2﹣8m+2．
（3）∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，
∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．
∵A（﹣3，0），C（0，3），
设直线 AC 的解析式 y＝kx+b，
∴
解得 k＝l，b＝3，
∴解析式 y＝x+3，
令 x＝﹣2，则 y＝1，
∴E（﹣2，1），
∴EM＝1，AM＝1，
∴S＝ AM×EM＝ ．
（4）∵M（﹣2，0），抛物线的对称轴为 x＝﹣l，
∴N 应与原点重合，Q 点与 C 点重合，∴DQ＝DC，
把 x＝﹣1 代入 y＝﹣x2﹣2x+3，解得 y＝4，
∴D（﹣1，4），
∴DQ＝DC＝ ．
∵FG＝2 DQ，
∴FG＝4．
设 F（n，﹣n2﹣2n+3），则 G（n，n+3），
∵点 G 在点 F 的上方且 FG＝4，
∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4．
解得 n＝﹣4 或 n＝1，
∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法
求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用 m 表示出矩形 PMNQ 的周长．
微信/支付宝扫码支付