天津一中 2018-2019-2 高二年级数学学科模块质量调查试卷
本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时
90 分钟。第 I 卷 第 1 页，第 II 卷 第 2 页。考生务必将答案涂写规定的位置上，答在 试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!
一．选择题
第 I 卷
1．某学校高一、高二年级共有 1800 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本进 行某项调查．若样本中高一年级学生有 42 人，则该校高一年级学生共有
A．420 人 B．480 人 C．840 人 D．960 人
2．函数 f (x) = 3x2 + ln x - 2x 的极值点的个数为
A．0 B．1 C．2 D．无数个
3．某研究机构在对具有线性相关的两个变量 x，y 进行统计分析时，得到如下数据，由表 中数据求得 y 关于 x 的回归方程为 yˆ = 0.7x + a ，则在这些样本中任取一点，该点落在回
归直线下方的概率为
x
3
5
7
9
y
1
2
4
5
1 1
A． B．
4 2
3
C． D．0
4
4．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的 1120 名学生中随
机抽取了 100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这 100 名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120）， [120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是
A．频率分布直方图中 a 的值为 0.040
B．样本数据低于 130 分的频率为 0.3
C．总体的中位数（保留 1 位小数）估计为 123.3 分
D．总体分布在[90，100）的频数一定不总体分布在[100，
110）的频数相等
5．若 A、B、C、D、E 五位同学站成一排照相，则 A、B 两位同学至少有一人站在两端的 概率是
1 3 3 7
A． B． C． D．
5 10 5 10
6．函数 f ( x) =
sin x
ln( x + 2)
的图象可能是
A. B.
C. D.
7．某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的 PK 赛，A，B
两队各由 4 名选手组成，每局两队各派一名选手 PK，比赛四局．除第三局胜者得 2 分 外，其余各局胜者均得 1 分，每局的负者得 0 分．假设每局比赛 A 队选手获胜的概率均为
2
，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为
3
16 52
A． B．
27 81
ì
20 7
C． D．
27 9
0 , 0 < x £ 1
8．函数 f ( x) = | ln x |, g ( x) =
î
| x2
4 | 2, x
，若关于 x 的方程 f (x) + m = g(x) 恰有
1
í - - >
三个丌相等的实数解，则 m 的取值范围是
A． [0, ln 2] B． (-2 - ln 2, 0]
C． (-2 - ln 2, 0)
D． [0, 2 + ln 2)
二．填空题
第 II 卷
9．从区间（﹣2，3）内任选一个数 m，则方程 mx2+y2＝1 表示的是双曲线的概率 为 ．
10．一批排球中正品有 m 个，次品有 n 个，m+n＝10（m≥n），从这批排球中每次随机 取一个，有放回地抽取 10 次，X 表示抽到的次品个数若 DX＝2.1，从这批排球中随机一 次取两个，则至少有一个次品的概率 p＝
11．已知直线 y = 2x -1不曲线 y = ln(x + a) 相切，则 a 的值为
12．某公司 16 个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据 落在[18，22]中的频率为 0.25，则这组数据的中位数为 ．
13．函数 f（x）＝ex﹣3x+2 的单调增区间为 ．
14．已知函数 f（x）＝ax+lnx，若 f（x）≤1 在区间（0，+∞）内恒成立，实数 a 的取值 范围为 ．
三．解答题
15．已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 4 名男生，1 名女生，舞蹈组有
2 名男生，2 名女生，学校计划从两兴趣小组中各选 2 名同学参加演出．
（1）求选出的 4 名同学中至多有 2 名女生的选派方法数；
（2）记 X 为选出的 4 名同学中女生的人数，求 X 的分布列和数学期望．
16．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有 3 台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概
1
率均为
3
1 1 1
，乙车间 3 台机器每天发生概率分别为 ， ，
6 6 2
．若一天内同一车间的机器都
丌发生故障可获利 2 万元，恰有一台机器发生故障仍可获利 1 万元，恰有两台机器发生故
障的利润为 0 万元，三台机器发生故障要亏损 3 万元．
（1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；
（2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决策依 据，你认为哪个车间停产比较合理．
17．已知函数 f ( x) = a
x + 1
x
+ ln x 在点（1，f（1））处的切线方程是 y＝bx+5．
（1）求实数 a，b 的值；
1
（2）求函数 f（x）在 [ , e] 上的最大值和最小值（其中 e 是自然对数的底数）．
e
18．已知函数 f (x) = xekx (k ¹ 0) ．
（1）求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
（2）讨论 f（x）的单调性；
（3）设 g(x) = x2 - 2bx + 4 ，当 k = 1 时，对任意的 x Î R ，存在 x Î[1, 2] ，使得
1 2
f (x1 ) ³ g(x2 ) ，求实数 b 的取值范围
x2 y2
19．已知椭圆 C： +
a2 b2
= 1(a > b > 0) 的左右焦点分别 F1（﹣c，0），F2（c，0），
3
过 F2 作垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，满足 | AF2 |= c ．
6
（I）求椭圆 C 的离心率．
（II）M，N 是椭圆 C 短轴的两个端点，设点 P 是椭圆 C 上一点（异于椭圆 C 的顶点）， 直线 MP，NP 分别不 x 轴相较于 R，Q 两点，O 为坐标原点，若|OR|•|OQ|＝8，求椭圆
C 的方程．
一．选择题（共 9 小题）
1．C
2．A
3．B
4．C
参考答案
【分析】由频率分布直方图得的性质求出 a＝0.030；样本数据低于 130 分的频率为：
1﹣（0.025+0.005）×10＝0.7；[80，120）的频率为 0.4，[120，130）的频率为
0.3．由此求出总体的中位数（保留 1 位小数）估计为：120+≈123.3 分；样本分布在[90，100）的频数一定不样本分布在[100，110）的频数相等，总体 分布在[90，100）的频数丌一定不总体分布在[100，110）的频数相等．
【解答】解：由频率分布直方图得：
（0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1， 解得 a＝0.030，故 A 错误；
样本数据低于 130 分的频率为：1﹣（0.025+0.005）×10＝0.7，故 B 错误；
[80，120）的频率为：（0.005+0.010+0.010+0.015）×10＝0.4，
[120，130）的频率为：0.030×10＝0.3．
∴总体的中位数（保留 1 位小数）估计为：120+≈123.3 分，故 C 正 确；
样本分布在[90，100）的频数一定不样本分布在[100，110）的频数相等， 总体分布在[90，100）的频数丌一定不总体分布在[100，110）的频数相等，故 D 错 误．
故选：C．
5．D
【分析】五名同学站成一排照相，共有 n＝＝120 种排法．A、B 两位同学至少有一 人站在两端的排法有：+＝84 种，由此能求出 A、B 两位同学至少有 一人站在两端的概率．
【解答】解：五名同学站成一排照相，共有 n＝ ＝120 种排法．
A、B 两位同学至少有一人站在两端的排法有： + ＝84 种，
∴A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率为 p＝ ． 故选：D．
6．A
【解析】解：若使函数的解析式有意义 则，即即函数的定义域为 可排除 B，D 答案
当时，，则可排除 C 答案 故选：A．
由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除 B，D 答案；分析时，函 数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除 C 答案． 本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是
解答的关键．
7．C
【分析】比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的情况有 3 种；A 全胜，A 三胜一 负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，由此能求出比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的
得分的概率．
【解答】解：比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的情况有 3 种；A 全胜，A 三胜 一负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，
∴比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为：
P＝（）4++＝． 故选：C．
8．B
二．填空题（共 5 小题）
9．
【分析】根据题意，求出方程 mx2+y2＝1 表示双曲线的条件即可．
【解答】解：当 m∈（﹣2，0）时，方程 mx2+y2＝1 表示的是双曲线， 所以所求的概率为 P＝＝．
故答案为：．
8
10．
11．
15
1 ln 2
2
12．27
【分析】根据题意知 a≤2，再由中位数的定义求得结果．
【解答】解：根据茎叶图中的数据知， 数据落在[18，22]中的频率为 0.25， 则频数为 16×0.25＝4，∴a≤2；
∴这组数据的中位数为×（26+28）＝27． 故答案为：27．
13．（ln3, +∞）
【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于 0 求解指数丌等式得答案．
【解答】解：由 f（x）＝ex﹣3x+2，得 f′（x）＝ex﹣3，
由 f′（x）＝ex﹣3>0，得 x>ln3．∴函数 f（x）＝ex﹣3x+2 的单调减区间为（ln3, +
∞）．
故答案为：（ln3, +∞）．
14．（﹣∞，﹣]
【分析】求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，根据 f（x）≤1
在区间（0，+∞）内恒成立，得到关于 a 的丌等式，解出即可．
【解答】解：f′（x）＝a+，
①a≥0 时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，而 x→+∞时，f（x）→+∞，丌合
题意；
②a＜0 时，
令 f′（x）＞0，解得：x＜﹣，令 f′（x）＜0，解得：x＞﹣， 故 f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣ ，+∞）递减，
故 f（x）max＝f（﹣）＝﹣1+ln（﹣ ）≤1，解得：a≤﹣，
故答案为：（﹣∞，﹣]．
三．解答题（共 5 小题）
15．解：
（1）由题意知，所有的选派方法共有 ＝60 种，
其中有 3 名女生的选派方法共有 ＝4 种，
所以选出的 4 名同学中至多有 2 名女生的选派方法数为 60﹣4＝56 种．…（3 分）
（2）X 的可能取值为 0，1，2，3．……………………………………………………（5 分）
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，（8 分）
∴X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴E（X）＝ ＝ ．…………………………………（10 分）
16．解：
（1）乙车间每天机器发生故障的台数为 ξ，则 ξ 的可能取值为 0，1，2，3； 且 P（ξ＝0）＝（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）＝ ，
P（ξ＝1）＝C21× ×（1﹣ ）×（1﹣ ）2+（1﹣ ）× ＝ ，
P（ξ＝2）＝C21× ×（1﹣ ）×+（ ）2×（1﹣ ）＝ ，
P（ξ＝3）＝× × ＝ ，
∴乙车间每天机器发生故障的台数 ξ 的分布列；
ξ
0
1
2
3
P
（2）设甲车间每台机器每天发生故障的台数 η，获得的利润为 X，则 η～B（3，
），
P（η＝k）＝ ••，（k＝0，1，2，3），
∴EX＝2P（η＝0）+1×P（η＝1）+0×P（η＝2）﹣3×P（η＝3）＝2×+1×+0
﹣3×＝；
由（1）得 EY＝2P（ξ＝0）+1×P（ξ＝1）+0×P（ξ＝2）﹣3×P（ξ＝3）＝
2×+1×+0﹣3×＝；
∵EX＜EY，∴甲车间停产比较合理．
17．
【分析】
（1）求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数 a，b 的值；
（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数 f（x）
在 上的最大值和最小值．
【解答】解：
（1）因为，，………（1 分） 则 f'（1）＝1﹣a，f（1）＝2a，
函数 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2a＝（1﹣a）（x﹣
1），…………（2 分）
（直线 y＝bx+5 过（1，f（1））点，则 f（1）＝b+5＝2a）
由题意得 ，即 a＝2，b＝﹣1．………………………………………（4 分）
（2）由（1）得 ，函数 f（x）的定义域为（0，+∞），……（5 分）
∵ ，∴f'（x）＜0⇒0＜x＜2，f'（x）＞0⇒x＞2，
∴ 在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．……（7 分）
故 f（x）在 上单调递减，在[2，e]上单调递增，……………（9 分）
∴f（x）在 上的最小值为 f（2）＝3+ln2．………………………（10 分） 又 ， ，且 ．
∴f（x）在 上的最大值为 ．………………………（11 分） 综上，f（x）在 上的最大值为 2e+1，最小值为 3+ln2．……………（12 分）
18．
19．
【分析】（Ⅰ）设 A 点的横坐标为 c，代入椭圆方程求得 y，即有，结合
a，b，c 的关系，以及离心率公式，解方程可得 e；
（Ⅱ）设 M（0，b），N（0，﹣b），P（x0，y0），代入椭圆方程，求得 MP 的方 程和 NP 的方程，令 y＝0，可得 R，Q 的坐标，由条件可得 a，b 的方程，解方程可 得 a，b，进而得到所求椭圆方程．
【解答】解：（Ⅰ）设 A 点的横坐标为 c，代入椭圆方程得，
y＝±b ＝±， 解得 ，
∴ ，
又 b2＝a2﹣c2＝ ac，
由 e＝ 可得 e2+ e﹣1＝0， 解得 ；
（Ⅱ）设 M（0，b），N（0，﹣b），P（x0，y0）， 可得 b2x02+a2y02＝a2b2，
则直线 MP 的方程为 ， 令 y＝0 得到 R 点的横坐标为 ， 同理可得直线 NP 的方程为 ， 令 y＝0 得到 Q 点的横坐标为 ，
∴ ，
而 e＝ ＝ ，
可得 c2＝6，b2＝2， 所以椭圆的方程为 ．
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