排列组合类型题及详解答案

第 1 页 共 9 页 排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例 1. 五人并排站成一排，如果 必须相邻且 在 的右边，则不同的排法有（ ） A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插 入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种 例 3.已知集合 ，集合 ，且 ，若 ，则满足条 件的集合 有多少个？ 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例 4.（1）A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 必须站在 的右边（ 可以不相邻）那么不同的排法有（ ） A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种 （2）由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去， 依次即可完成. 例 5.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相 同的填法有（ ） A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例 6.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法 种数是（ ） A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种 （2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案有（ ） A、 种 B、 种 C、 种 D、 种 , , , ,A B C D E ,A B B A {1,2,3, ,19,20}A =  1 2 3 4{ , , , }B a a a a= B A⊂ | | 1( , 1,2,3,4)i ja a i j− ≠ = B B A ,A B 4 4 4 12 8 4C C C 4 4 4 12 8 43C C C 4 4 3 12 8 3C C A 4 4 4 12 8 4 3 3 C C C A第 2 页 共 9 页 6.全员分配问题分组法: 例 7.（1）4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ （2）5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种 7.名额分配问题隔板法: 例 8：10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 例 9.马路上有编号为 1，2，3…，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端 的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例 10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项 工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不 同安排方案的种数是 A． 152 B. 126 C. 90 D. 54 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例 11 （1）从 1，2，3…，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7 整除，这两个数的取法（不计顺序） 共有多少种？ （2）从 1，2，3，…，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取法（不计顺序）有多少种？ 例 12. 电子表 10 点 20 分 08 秒时，显示的数字是 10:20:08，那么，从 8 点到 10 点内，电子表 6 个数码均不 相同的情况有多少种? 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 例 13.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4×100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩第 3 页 共 9 页 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例 14.现 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例 15.（1）6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是（ ） A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种 （2）8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种 不同排法？ 13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: 例 16.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有（ ） A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种 14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例 17.（1）四个不同球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ （2）9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要从中选 4 人进行混合双打训练，有多少种不同的选法？ 15.几何问题: 例 18.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ） A、70 种 B、64 种 C、58 种 D、52 种 （2）四面体的顶点和各棱中点共 10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有（ ） A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种 （3）记正方体的各条棱的中点构成的集合为 M，则过且仅过集合 M 的三个点的平面有多少个？ （4）正方体 8 个顶点可连成多少对异面直线？第 4 页 共 9 页 16.圆排问题单排法:把 个不同元素放在圆周 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的 排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末 位之分，下列 个普通排列： 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同， 个元素的圆 排列数有 种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的 元素全排列. 例 19.有 5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？ 17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置， 一般地 个不同元素排在 个不同位置的排列数有 种方法. 例 20.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？ 19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: 例 21. 某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至 少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方法有（ ） A．5 种 B．6 种 C．7 种 D．8 种 例 22．从 1 到 100 的一百个自然数中，每次取出两个数，使其和大于 100，这样的取法共有多少种？ 20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例 23.（1）30030 能被多少个不同偶数整除？ （ 2 ） 设 是 由 的 一 个 排 列 ， 把 排 在 的 左 边 且 比 小 的 数 的 个 数 称 为 的 顺 序 数 。如在排列 中，5 的顺序数为 1，3 的顺序数为 0. 则在由 这八个数字构 成的全排列中，同时满足 8 的顺序数为 2、7 的顺序数为 3、5 的顺序数为 3 的不同排列的种数为多少？ 21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理. 例 24.（1）圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？ （2）某城市的街区有 12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从 A 到 B 的最短 路径有多少种？ n n n 1 2 3 2 3 4 1 1, , , ; , , , , , ; , , ,n n n na a a a a a a a a a a −    n !n n 1n − n m nm 1 2, , , na a a 1,2, ,n ia ia ia ( 1,2, , )i n=  6,4,5,3,2,1 1,2, ,8第 5 页 共 9 页 22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可 瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用 A、B、C……表示写着 n 位友人名字的信封，a、b、c……表示 n 份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作 f(n)。假设把 a 错装进 B 里了，包含着这个错误的一切错装法分两类： （1）b 装入 A 里，这时每种错装的其余部分都与 A、B、a、b 无关，应有 f(n-2)种错装法。 （2）b 装入 A、B 之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除 a 之外的）n－1 个信纸 b、c……装入（除 B 以外的） n－1 个信封 A、C……，显然这时装错的方法有 f(n-1)种。 总之在 a 装入 B 的错误之下，共有错装法 f(n-2)+f(n-1)种。a 装入 C，装入 D……的 n－2 种错误之下，同样都有 f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此得到一个递推公式： f(n)=(n-1) f(n-1)+f(n-2) ，分别带入 n=2、3、4 等可推得结果。也 可用迭代法推导出一般公式： 例 25.设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放 一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？ 例 26、5 位同学原来坐成一排，现让他们重新坐，则至多有两位同学坐在其原来的位置的不同的坐法是多少？ 23.多人传球问题：（构造递推关系） 例 27、 （ ） 个人传球，第一次由 开始传球，可传给其他任何一个人，第二次由拿球者再传给其 他任何一个人，如此继续 ，则第 次球仍回到 的手中的传球方法种数是多少？ 24.上台阶问题： 例 28、10 级台阶，某人可一步跨一级，也可跨两级，也可跨三级。 （1）他 6 步就可上完台阶的方法数是多少？ （2）他上完台阶的方法总数是多少？ 25.方程的正整数解的个数问题：（隔板法） 例 29.方程 （ ， ）的正整数解有多少个？有多少非负整数解个？ 例 30. 将 20 个完全相同的球放入编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子中。 （1）若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？ （2）若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？ （3）若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？ ⋅ [ ] 1 1 1 1( ) ! [1 ( 1) ]1! 2! 3! ! nf n n n = ⋅ − + − +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ − 1 2, , , na a a 3n ≥ n 1a  k 1a 1 2 nx x x k+ + + = , *k n N∈ k n≥第 6 页 共 9 页 26.配对（配凑）问题： 例 31. 5 双相异的鞋共 10 只，现随机地取出 6 只，恰好能配成 2 双鞋的取法是多少？ 例 32. 50 名选手参加乒乓球淘汰赛比赛,需要打多少场才能产生冠军? 淘汰赛比赛规则是:要淘汰 1 名选手必须进行 1 场 比赛;反之,每进行 1 场比赛则淘汰 1 名选手。 例 33. 有 11 名翻译人员，其中 5 名是英语翻译人员，4 名是日语翻译人员，另 2 人英、日语均精通。现从中选出 8 人 组成两个翻译小组，其中 4 人翻译英语，另 4 人翻译日语，则有多少种不同的选派方式？ 27.染色问题： 例 34. 把圆分成 10 个不相等的扇形,并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色,但不允许相邻的扇形有相同的颜色,问共有 多少种染色法? 例 35.在如图所示的六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻空格不同色，请问一共有多少种 涂法？ 例 36. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图），现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且 相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？ （变式：若要栽种 5 种颜色的花？） 1 2 3 4 5 6第 7 页 共 9 页 排列组合问题经典题型答案 1.解析：把 视为一人，且 固定在 的右边，则本题相当于 4 人的全排列， 种，答案： . 2.解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为 种，再用甲乙去插 6 个空位有 种，不同的排法种数是 种， 选 . 3. 易知 互不相等且不相邻，则有 。 4.解析：（1） 在 的右边与 在 的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半，即 种，选 . （2）按题意，个位数字只可能是 0，1，2，3，4 共 5 种情况，分别有 个， 个，合并总 计 300 个,选 （ 种） 5.解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方 法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 3×3×1=9 种填法，选 . 6.解析：（1）先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有 种，选 . （2）答案： . 7.（1） （2） ，答案： . 8.解析：10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆至少一个，可以在 10 个小球 的 9 个空位中插入 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为 种. 9.解析：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 种方法,所以满足条件的关灯方案 有 10 种. 说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决. 10. 11.解析：（1）解析：被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时，他们的乘积就能被 7 整除，将这 100 个数组成的集合 视为全集 I,能被 7 整除的数的集合记做 共有 14 个元素,不能被 7 整除的数组成的集合记做 共有 86 个元素；由此可知，从 中任取 2 个元素的取法有 ，从 中任取一个，又从 中任 取一个共有 ，两种情形共符合要求的取法有 种. （2）解析：将 分成四个不相交的子集，能被 4 整除的数集 ；能被 4 除余 1 的数集 ，能被 4 除余 2 的数集 ，能被 4 除余 3 的数集 ，易见这四 个集合中每一个有 25 个元素；从 中任取两个数符合要；从 中各取一个数也符合要求；从 中任取两个数也符 合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 种. 12. 解：（1）08：a b ：c d ,其中 a、c 位可填 1,2，3,4,5；b、d 位可填 1,2,3,4,5,6,7,9. （2）09：a b ：c d ,其中 a、c 位可填 1,2，3,4,5；b、d 位可填 1,2,3,4,5,6,7,8. 先填 a、c，再填 b、d，共 13.解析：设全集=｛6 人中任取 4 人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元 素个数的公式得参赛方法共有： 种. 14.解析：老师在中间三个位置上选一个有 种，4 名同学在其余 4 个位置上有 种方法；所以共有 种。. 15.解析：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排，共 种，选 . （2）解析：看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有 种，某 1 个元素排在后半段的四个位置中 选一个有 种，其余 5 个元素任排 5 个位置上有 种，故共有 种排法. ,A B B A 4 4 24A = D 5 5A 2 6A 5 2 5 6 3600A A = B 1 2 3 4, , ,a a a a 4 17 2380C = B A B A 5 5 1 602 A = B 5 5A 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 4 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3, , ,A A A A A A A A A A A B 6 5 6 5 1 ( ) 3002 A A− = B 2 1 1 10 8 7 2520C C C = C A 2 3 4 3 36C A = 2 4 5 4 240C A = B 6 9 84C = 3 5C { }7,14,21, 98A =  { }1,2,3,4, ,100A =  A 2 14C A A 1 1 14 86C C 2 1 1 14 14 86 1295C C C+ = { }1,2,3 ,100I =  { }4,8,12, 100A =  { }1,5,9, 97B =  { }2,6, ,98C =  { }3,7,11, 99D =  A ,B D C 2 1 1 2 25 25 25 25 1225C C C C+ + = 2 2 5 62 1200A A = ( ) ( ) ( ) ( )n I n A n B n A B− − + ∩ 4 3 3 2 6 5 5 4 252A A A A= − − + = 1 3A 4 4A 1 4 3 4 72A A = 6 6 720A = C 2 4A 1 4A 5 5A 1 2 5 4 4 5 5760A A A =第 8 页 共 9 页 16.解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有 种,选. 解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台；甲型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有 台,选 . 17.解析：（1）先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 种，再排：在四个盒中每次排 3 个有 种，故 共有 种. （2）先取男女运动员各 2 名，有 种，这四名运动员混和双打练习有 中排法，故共有 种. 18.解析：（1）正方体 8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成 四面体，但 6 个表面和 6 个对角面的四个顶点共面 都不能构成四面体，所以四面体实际共有 个. （2）解析：10 个点中任取 4 个点共有 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共 面的情况为 ，四个面共有 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共 3 个；③过棱上三点与对棱中点的三 角形共 6 个.所以四点不共面的情况的种数是 种. （3）56 个。 。 ①一个面内取 GH 两点，另一个点取 F 时，即 8 个角； ②一个面内取 GH 两点，另一个点取 K 时， 24 个； ③一个面内取 HI 两点，那另一个点只能取 A 或 C， 24 个 （4）因为四面体中仅有 3 对异面直线，可将问题分解成正方体的 8 个顶点 可构成多 少个不同的四面体，从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有 个，所以 8 个顶点可连成的异面直线有 3×58=174 对. 19.解析：首先可让 5 位姐姐站成一圈，属圆排列有 种，然后在让插入其 间，每位 均可插入其姐姐的左边和右边，有 2 种方式，故不同的安排方式 种不同站法.说明：从 个不同元素中取 出 个元素作圆形排列共有 种不同排法. 20.解析：完成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到 车间也有 7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有 种不同方案. 21. 解析：C。设购买软件 片、磁盘 盒，则 ，所以 ； ， ； 。故共 7 种。 22. 解析： (包括两个数不同和相同的情形！) 23.解析：（1）先把 30030 分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数 2 必取，3，5，7，11，13 这 5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为 个（或 ）. （2）分析知 7 必排在 8 之后，5 必排在 7 之后. 且 8 的前面只有 2 个数，8、7 之间只有一个小于 7 的数，6 或在 7 之 前，或在 7、5 之间，或在 5 之后。 第一种情况：6 在 7 之前，形如：##8#7#5# ， ； 第 2 种情况： 6 在 7、5 之间 ，形如：##8#765# ， ； 第 3 种情况：6 在 5 之后，形如：##8#75## ， 所以共 144 种。 24.解析：（1）因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆 内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的 10 个点可以确定多少个不同的四边形，显然有 个，所以圆周上有 10 点， 以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有 个. 3 3 3 9 4 5 70C C C− − = C 2 1 1 2 5 4 5 4 70C C C C+ = C 2 4C 3 4A 2 3 4 4 144C A = 2 2 5 4C C 2 2A 2 2 2 5 4 2 120C C A = 4 8C 4 8 12 58C − = 4 10C 4 6C 4 64C 4 4 10 64 3 6 141C C− − − = 8 1 4 6 2 2 6 56+ × × + × × = 2 2 6× × = 2 2 6× × = 4 8 12 58C − = 4 4A 524 2 768× = n m 1 m nAm 67 x y 3, 2 60 70 500 , x y x y x y N ≥ ≥  + ≤  ∈ 3, 2,3,4x y= = 4x = 2,3,4y = 5, 2x y= = 2(1 2 49) 50 2500+ + + + = 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 32C C C C C C+ + + + + = 51 2 32⋅ = 1 4 3 4 72C A = 4 4 24A = 1 4 2 4 48C A = 4 10C 4 10 210C =第 9 页 共 9 页 （2）解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从 到 最短路线必须走 7 小段，其中：向东 4 段，向北 3 段；而且前 一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过 4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有 种. 25.解析：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 种，还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩 下 3，4，5 号球与 3，4，5 号盒子时，3 号球不能装入 3 号盒子，当 3 号球装入 4 号盒子时，4，5 号球只有 1 种装法， 3 号球装入 5 号盒子时，4，5 号球也只有 1 种装法，所以剩下三球只有 2 种装法，因此总共装法数为 种. 26.解：错排问题，分类解决： 27. 解析：设第 次球仍回到 的手中的传球方法种数是 ，则 ，且 ，所以 （ ）。 28. 解析：（1）设跨 1 级、2 级、3 级的步数分别为 ，则 ，解得 ，故方法数为 （ 2 ） 设 上 完 n 级 台 阶 的 方 法 数 为 ， 则 ， 且 ， 29．解析： ； 30．解析：（1） ；（2） ；（3）先在编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子中依次放入 0,1,2,3,4 个球，再 只要保证余下的 10 个球每个盒子至少放一个，则 31. 解析： 32. 解析：49. 33. 解析： 34. 解析：前 9 个扇形依次染色并不难,但第 10 个扇形既与第九个相邻也与第 1 个相邻,这两个扇形颜色可能相同也可能 不相同,所以直接用记数原理有困难,但建立递推关系并不难． 设将圆分成 n 个不相等的扇形时,满足题设的染法有 种．依次记 n 个扇形为 s ,…s .显然 a1=3.当 n=2 时，先对 s1 染 色，有 3 种方法；s1 染色后再对 s2 染色，有 2 种方法，故 a2=6.当 n≥3 时，我们依次对 s ,s2,…s 染色．对 s1 染色，有 3 种方法，对 s1 染色后再对 s2 染色有 2 种方法，同样的对 s3,s4…,sn 分别有 2 种方法，由乘法原理共有 3·2 n-1 种染色方 法．但这样做 sn 与 s1 有可能同色．即在 3·2 n-1 种染色方法中包含了 sn 与 s1 同色的染色方法．对于 sn 与 s1 同色的情形， 拆去 sn 与 s1 的边界使 sn 与 s1 合并，便得到将圆分为 n-1 个扇形时同色不相邻的染色方法，这样的情况有 an-1 种． 故 an=3·2 n-1-an-1 (n≥3)．所以 ，n≥3 时， ，∴a10=210+2=1026． 35.解：由题意，红黄蓝三种颜色，每种颜色恰好涂了两次，分为两类： 第一类可按一下步骤进行： 第 1 步：涂第一格，有 3 种方法； 第 2 步：涂第二格，有 2 种方法； 第 3 步：用与第一格不同的颜色涂第三格，有 1 种方法； 第 4 步：第四格可以涂与第三格颜色不同的，有 2 种方法。 第 5 步：用不同的两色涂剩下的两格，有 2 种方法； 所以有 3*2*1*2*2＝24 种 第二类可按一下步骤进行： 第 1 步：涂第一格，有 3 种方法；第 2 步：涂第二格，有 2 种方法；第 3 步：用与第一格相同的颜色涂第三格， 有 1 种方法；第 4 步：第四格只能用没有用过的颜色涂，有种方法。 第 5 步：第五格只能用涂第二格的颜色，第六格只能用涂第四格的颜色，有 1 种方法； 所以有 3*2*1*1*1＝6 种所以，共有 24+6＝30 种涂法。 36.解析:注意 4 种颜色的花都有种上。 （变式： ） A B 4 7 35C = 2 5C 2 52 20C = 0 1 2 5 5 5(5) (4) (3) 109C f C f C f+ + = k 1a ka 1 20, 1a a n= = − 1 1( 1)k k ka n a− −= − − 1 1 1 1( 1) [ ( 1) ]k k k ka n a nn n − −− ⋅ − = − − ⋅ − ( 1) ( 1) ( 1)k k k n na n − + − ⋅ −⇒ = *k N∈ , ,x y z 6 2 3 10 x y z x y z + + =  + + = 2,3,4 4,2,0 0,1,2 x y z =  =  = 2 3 2 4 6 6 3 6 15 60 15 90C C C C+ + = + + = ( )f n (1) 1, (2) 2, (3) 4f f f= = = ( ) ( 1) ( 2) ( 3)( 4)f n f n f n f n n= − + − + − ≥ (4) 7, (5) 13, (6) 24, (7) 44, (8) 81, (9) 149, (10) 274f f f f f f f∴ = = = = = = = 1 1 n kC − − 1 1 n k nC − + − 4 19 3876C = 4 24C 4 9 126C = 2 2 2 5 3 2 120C C⋅ ⋅ = 4 4 3 1 4 2 2 4 4 7 4 2 6 4 2 5 35 120 30 185C C C C C C C C+ + = + + = an 1 n 1 n 3 6a = 2 2 ( 1)n n na = + ⋅ − 3 4 (1 1 1 2) 120A + + + = 3 1 1 5 3 2[ (3 2) 2] 960A C C + + ⋅ =