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赣州市五校协作体2018-2019学年第二学期期中联考
高二数学理科试卷
命题学校：潭口中学 命题教师：李 迪 审题教师：廖忠贵
考试时间：2019年4月25 日 试卷满分：150分
第I卷
一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数满足（为虚数单位），则等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．已知命题：方程表示双曲线；命题：.命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知命题p：存在，，命题q：对任意x∈R，，下列命题为真命题的是( )
A．¬ q B．p且q C．p或(¬ q) D．(¬ p)且q
4．已知平面α内有一点M（1，-1，2），平面α的一个法向量=（2，-1，2），则下列点P在平面α内的是（ ）
A．4, B．0, C．3, D．
5．4种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，则不同排列方法的种数是
A．12 B．10 C．8 D．6
6．直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )．
A．4 B． C．2 D．
7．函数 的图象大致为 ( )
A． B． C． D．
8．已知的两个极值点分别为且，则函数（ ）
A． B． C．1 D．与b有关
9．已知动圆经过点，且截轴所得的弦长为4，则圆心的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
10．用数学归纳法证明不等式的过程中，从到时左边需增加的代数式是 ( )
A． B． C． D．
11．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线与双曲线交于两点，且的面积为（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
第II卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为________．
14．某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天.甲说：“你们的成绩都没有我高”乙说：“我的成绩一定比丙高 ”丙说：“你们的成绩都比我高 ”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第______名
15．设F是双曲线C：的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为________.
16．已知函数f (x)及其导数f ′(x)，若存在x0，使得f (x0)＝f ′(x0)，则称x0是f (x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是________．
①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝lnx；④f(x)＝tanx；⑤.
三、解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）
（1）设，用综合法证明：；
（2）用分析法证明：.
18．（本小题12分）如图，在边长为4的正方形中，点分别是的中点，点在上，且，将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.
试判断与平面的位置关系，并给出证明；
求二面角的余弦值.
19．（本小题12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
20．（本小题12分）已知抛物线C：过点
求抛物线C的方程；
设F为抛物线C的焦点，直线l：与抛物线C交于A，B两点，求的面积．
21．（本小题12分）已知椭圆C过点 ，两个焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．
22．（本小题12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在上有零点，求的取值范围。
赣州市五校协作体2018-2019学年第二学期期中联考
高二数学理科试卷参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
D
C
A
A
A
B
D
B
C
D
13．14．2
15．16．①③⑤
17．（1）
………………3分
而
………………5分
（2）要证，只需证，……6分
即证， ………………7分
只需证， ………………8分
即， ………………9分
而显然成立，故原不等式得证. ………………10分
18． 与平面的位置关系是平面. ………………1分
证明：在图中，连结交于，交于，则 ……2分
在图中，连结交于，连结. ………………3分
在中，有所以
又因为面，面，………………5分
故平面. ………………6分
解法一：在图中，连结交于，连结. ………………7分
图中的，即图中的所以
又所以面
又，所以面.则为二面角的平面角. ………………10分
易知，则在中，，则
在中，由余弦定理，得
所以二面角得余弦值为 ………………12分
解法二：以为原点，分别以的方向为轴，轴，
轴的正方向，建立如图空间直角坐标系 ………………7分
则，………………8分
于是 ………………9分
分别设平面，平面法向量为，
由得于是取，………………10分
又由得于是可取. ………………11分
因为
所以二面角的余弦值为 ………………12分
19．（1）∵，
∴．………………1分
由，解得或；………………3分
由，解得，………………5分
所以的递增区间为，递减区间为．………………6分
（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，………8分
所以极大值，极小值，………………10分
又，，………………11分
所以最大值，最小值．………………12分
20．（1）因为抛物线：过点，
所以，解得，………………3分
所以抛物线的方程为．………………4分
（2）由抛物线的方程可知，………………5分
直线与轴交于点，………………6分
联立直线与抛物线方程，………………8分
消去可得，………………9分
所以，………………10分
所以，
所以的面积为．………………12分
21．解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），
且c，………………1分
2a12，………………2分
则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．………………3分
∴椭圆C的标准方程为；………………4分
（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，
得|AB|，
由|AB|6，解得m＝±3，………………5分
此时；………………6分
当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，
联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．………………7分
△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．………………8分
设A（，），B（，），
则，．
由|AB|6，………………10分
整理得：，原点O到AB的距离d．………11分
∴
．
当时，△AOB面积有最大值为9．………………12分
综上，△AOB面积的最大值为9．
22．（1）因为，所以. ………………1分
①当时，因为，所以在上单调递增；……2分
②当时，令，解得或. ………………3分
令，解得，………………4分
则在，上单调递增；
在上单调递减. ………………5分
（2）因为，所以，
在上有零点，等价于关于的方程在上有解，
即在上有解. ………………6分
因为，所以.
令，则. ………………7分
令，，解得；
令，，解得，
则 上单调递减，在上单调递增，………………9分
因为 ，，………………10分
所以 ，
则， ，
故的取值范围为. ………………12分
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