课题名称：25.3用频率估计概率
1、基础夯实
单项选择题：（共10道需有答案和解析）
1、绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频数
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
则绿豆发芽的概率估计值是 （ ）
A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90
答案：B
分析：考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
本题考查了绿豆种子发芽的概率的求法．对于不同批次的绿豆种子的发芽率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法．
解答： =（0.960+0.940+0.955+0.950+0.948+0.956+0.950）÷7≈0.95，
当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.95，故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是0.95．故选B．
2、某人在做掷硬币实验时，投掷m次，正面朝上有n次（即正面朝上的频率是p= ）．则下列说法中正确的是（ ）
A．P一定等于, B．P一定不等于, C．多投一次，P更接近, D．投掷次数逐渐增加，P稳定在附近
答案：B
分析：考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．
利用频率估计概率时，只有做大量试验，才能用频率会计概率．
解答：∵硬币只有正反两面，∴投掷时正面朝上的概率为
11
，根据频率的概念可知投掷次数逐渐增加，P稳定在附近．故选D．
3、小明在一只装有红色和白色球各一只的口袋中摸出一只球，然后放回搅匀再摸出一只球，反复多次实验后，发现某种“状况”出现的机会约为50%，则这种状况可能是（ ）
A．两次摸到红色球 B．两次摸到白色球 C．两次摸到不同颜色的球 D．先摸到红色球，后摸到白色球
答案：C
分析：考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．
根据用频率估计概率的意义，从四个选项中选出出现的机会约为50%的情况．
解答：∵摸到红色和白色球的概率均为，∴反复多次实验后，发现某种“状况”出现的机会约为50%，这种状况可能是两次摸到不同颜色的球．故选C．
4、一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ）
A．28个 B．30个 C．36个 D．42个
答案：A
分析：本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．关键是根据白球和黑球的比得到相应的关系式．
共摸球400次，其中88次摸到黑球，那么有312次摸到白球；由此可知：摸到黑球与摸到白球的次数之比为88：312；已知有8个黑球，那么按照比例，白球数量即可求出．
解答：由题意得：白球有×8≈28个．故选A．
5、为验证“掷一个质地均匀的骰子，向上的点数为偶数的概率是0.5”，下列模拟实验中，不科学的是（ ）
A．袋中装有1个红球一个绿球，它们除颜色外都相同，计算随机摸出红球的概率
B．用计算器随机地取不大于10的正整数，计算取得奇数的概率
C．随机掷一枚质地均匀的硬币，计算正面朝上的概率
D．如图，将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、丙3个相同的扇形，转动转盘任其自由停止，计算指针指向甲的概率
答案：D
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分析：此题考查了模拟实验，选择和掷一个质地均匀的骰子类似的条件的试验验证掷一个质地均匀的骰子的概率，是一种常用的模拟试验的方法．
分析每个试验的概率后，与原来掷一个质地均匀的骰子的概率比较即可．
解答： A、袋中装有1个红球一个绿球，它们出颜色外都相同，随机摸出红球的概率是，故本选项正确；
B、用计算器随机地取不大于10的正整数，取得奇数的概率是，故本选项正确；
C、随机掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，故本选项正确；
D、将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、丙3个相同的扇形，转动转盘任其自由停止，指针指向甲的概率是，故本选项错误；
故选D．
6、从口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中有黑球10个和若干个白球，由此估计口袋中大约有多少个白球（ ）
A．10个B．20个 C．30个 D．无法确定
答案：B
分析：考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．
先由频率=频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．
解答：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，设口袋中大约有x个白球，则
解得x=20．故选B．
7、小鸡孵化场孵化出1000只小鸡，在60只上做记号，再放入鸡群中让其充分跑散，再任意抓出50只，其中做有记号的大约是（ ）
A．40只 B．25只 C．15只 D．3只
答案：D
分析：此题考查概率的应用．任意抓出50只中有记号的只数=50×做记号的小鸡概率．
先计算出做记号的小鸡概率为，再任意抓出50只，则其中做有记号的大约是只．
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解答：小鸡孵化场孵化出1000只小鸡，在60只上做记号，则做记号的小鸡概率为，再任意抓出50只，其中做有记号的大约是只．故选D．
8、一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（ ）
A．6 B．10 C．18 D．20
答案：D
分析：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解答：由题意可得，×100%=30%，
解得，n=20（个）．
故估计n大约有20个．
故选：D．
9、一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（ ）
A．红球比白球多 B．白球比红球多 C．红球，白球一样多 D．无法估计
答案：A．
分析：考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．易错点是得到红球可能的情况数．
计算出摸出红球的平均数后分析，若得到的平均数大于5，则说明红球比白球多，反之则不是．
解答： ∵5位同学摸到红球的频率的平均数为，
∴红球比白球多．
故选A．
10、关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）
A．频率等于概率；
B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近；
C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近；
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D．实验得到的频率与概率不可能相等
答案：B
分析：考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．
解答： A、频率只能估计概率；
B、正确；
C、概率是定值；
D、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．
故选B．
2、能力提升
非选择题（共5道）
1、有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个．为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后．发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为____．
答案：600个
分析：本题考查用频率估计概率，因为摸到红球的频率约为0.6，红球所占的百分比是60%，从而可求出解．
因为多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，所以红球所占的百分比也就是60%，根据总数可求出红球个数．
解答：∵摸到红球的频率约为0.6，
∴红球所占的百分比是60%．
∴1000×60%=600（个）．
故答案为：600个．
2、在“抛掷正六面体”的试验中，如果正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是____
答案：接近
分析：实验次数越多，出现某个数的变化趋势越接近于它所占总数的概率．
随着试验次数的增多，变化趋势接近与理论上的概率．
解答：如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是接近
3、从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数
100
400
800
1000
2000
5000
11
发芽种子粒数
85
298
652
793
1604
4005
发芽频率
0.850
0.745
0.815
0.793
0.802
0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为____（精确到0.1）．
答案：0.8
分析：本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
本题考查的是用频率估计概率，6批次种子粒数从100粒大量的增加到5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.801，所以估计种子发芽的概率为0.801，精确到0.1，即为0.8．
解答：∵种子粒数5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.801，
∴估计种子发芽的概率为0.801，精确到0.1，即为0.8．
故本题答案为：0.8．
4、晓刚用瓶盖设计了一个游戏：任意掷出一个瓶盖，如果盖面朝上则甲胜，如果盖面朝下则乙胜，你认为这个游戏____（是否公平）；如果以硬币代替瓶盖，同样做上述游戏，你认为这个游戏____（是否公平）．
答案：不公平，公平
分析：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
根据实际情况即可解答．瓶盖不是均匀的，而硬币均匀，所以两种情况不一样．
解答：因为瓶盖不是均匀的，故盖面朝上和盖面朝下的机会不是均等的；故这个游戏不公平．如果以硬币代替瓶盖，因为硬币是均匀的，故正面与反面向上机会相等；故这个游戏公平．
5、一个不透明的袋中装有2枚白色棋子和n枚黑色棋子，它们除颜色不同外，其余均相同．若小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%．则n很可能是___枚．
答案：8
分析：此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
根据黑色棋子的概率公式=80%，列出方程求解即可．
解答：不透明的布袋中的棋子除颜色不同外，其余均相同，共有n+2个棋子，其中黑色棋子n个，根据古典型概率公式知：P（黑色棋子）==80%，解得n=8．故答案为：8．
3、个性创新
选答题（共1-3个）
11
1、某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元．小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下：
奖券种类
紫气东来
花开富贵
吉星高照
谢谢惠顾
出现张数（张）
500
1000
2000
6500
（1）求“紫气东来”奖券出现的频率；
（2）请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物卷，哪种方式更合算？并说明理由．
分析：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，易错点是获得购物券得到金额的平均数．
（1）根据概率的求法，找准两点：
①、符合条件的情况数目；
②、全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率．
（2）算出每张奖券获得的购物券金额的平均数，与10比较即可．
解答：（1）或5%；
（2）平均每张奖券获得的购物券金额为100×+50×+20×+0×=14（元），
∵14＞10，
∴选择抽奖更合算．
2、研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？
操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．
活动结果：摸球实验活动一共做了50次，统计结果如下表：
球的颜色
无记号
有记号
红色
黄色
红色
黄色
摸到的次数
18
28
2
2
推测计算：由上述的摸球实验可推算：
（1）盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？
（2）盒中有红球多少个？
11
分析：此题主要考查了利用频率估计概率的问题，首先利用模拟实验得到盒中红球、黄球各占总球数的百分比，然后利用百分比即可求出盒中红球个数．
（1）根据表格数据可以得到50次摸球实验活动中，出现红球20次，黄球30次，由此即可求出盒中红球、黄球各占总球数的百分比；
（2）由题意可知50次摸球实验活动中，出现有记号的球4次，由此可以求出总球数，然后利用（1）的结论即可求出盒中红球．
解答：（1）由题意可知，50次摸球实验活动中，出现红球20次，黄球30次，
∴红球所占百分比为20÷50=40%，
黄球所占百分比为30÷50=60%，
答：红球占40%，黄球占60%；
（2）由题意可知，50次摸球实验活动中，出现有记号的球4次，
∴总球数为×8=100，
∴红球数为100×40%=40，
答：盒中红球有40个．
3、端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子．
（1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率；
（2）在吃粽子之前，小明准备用一个均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数1向上代表肉馅，点数2向上代表香肠馅，点数3，4向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由．
分析：树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，（1）此题属于不放回实验；（2）此题模拟的为放回实验；所以模拟的不正确．
解答：（1）
∴P（两只都为红枣馅）==；（3分）
（2）这样模拟不正确（4分）
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理由如下：连续两次掷骰子点数朝上的情况有（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）共16种，而满足条件的情况有4种（5分）
∴P（点数3，4向上）==≠p(两只均为红枣馅)（6分）
∴这样模拟不正确．（7分）
4、其他题型（自由添加）
1、如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字．小明做了60次投掷试验，结果统计如下：
朝下数字
1
2
3
4
出现的次数
16
20
14
10
（1）计算上述试验中“4朝下”的频率是____；
（2）“根据试验结果，投掷一次正四面体，出现2朝下的概率是．”的说法正确吗？为什么？
（3）随机投掷正四面体两次，请用列表或画树状图法，求两次朝下的数字之和大于4的概率．
答案：（1）
分析：本题主要考查列表法与树状图法求概率，以及频率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
（1）先由频率=频数÷试验次数算出频率；
（2）根据表格观察抛掷的次数增多时，频率稳定到哪个数值，这就是概率．
（3）列表列举出所有的可能的结果，然后利用概率公式解答即可．
解答：（1）“4朝下”的频率:；…
故答案为：．
（2）这种说法是错误的．在60次试验中，“2朝下”的频率为
并不能说明“2朝下”这一事件发生的概率为．只有当试验的总次数很大时，事件发生的频率才会稳定在相应的事件发生的概率附近.
（3）随机投掷正四面体两次，所有可能出现的结果如下：
11
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次朝下数字之和大于4的结果有10种．
∴P(朝下数字之和大于4)= ．…
2、一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是年平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
“兵”字面朝上频数
14
38
47
52
66
78
88
相应频率
0.7
0.45
0.63
0.59
0.52
0.56
0.55
（1）请将数据补充完整；
（2）画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；
（3）如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？
分析：考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．作图时应先描点，再连线．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．频率=所求情况数与总情况数之比．
（1）（3）根据图中信息，用频数除以实验次数，得到频率，由于试验次数较多，可以用频率估计概率；
（2）将频率作为纵坐标，试验次数作为横坐标，描点连线，可得折线图．
解答：（1）所填数字为：40×0.45=18，66÷120=0.55；
11
（2）折线图：
（3）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，故估计概率的大小为0.55．
11
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