2019高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2抛物线2.2.2抛物线的简单性质精练含解析北师大版选修1_1.doc

‎2.2　抛物线的简单性质 A组 ‎1.抛物线y=x2(a≠0)的焦点坐标为(　　)‎ A.a>0时为(0,a),a0时为,a0时,x2=4ay的焦点为(0,a);a16,即有+4y0-12>0,‎ 解得y0>2或y02,故选C.‎ 答案:C ‎5.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=(　　)‎ A.2 B.2 C.4 D.2‎ 解析:由于抛物线关于x轴对称,顶点在坐标原点且经过点M(2,y0),可设方程为y2=2px,由点M到抛物线焦点的距离为3,则由抛物线定义得2+=3,解得p=2,则y2=4x,又M(2,y0)在抛物线y2=4x上,则=8,|OM|==2.‎ 答案:B ‎6.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=(　　)‎ A.4 B.8 C.8 D.16‎ 解析:设A(-2,y),F(2,0),所以kAF==-,‎ 所以y=4,所以yP=4.‎ 因为点P在抛物线上,所以=8xP,‎ 所以xP==6.‎ 由抛物线定义可得 ‎|PF|=|PA|=xP-xA=6-(-2)=8.‎ 答案:B - 6 -‎ ‎7.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为　　　　　. ‎ 解析:由抛物线的几何性质,从焦点发出的光线经抛物线反射后与x轴平行及直线y=-2平行于x轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.‎ 答案:x=-2‎ ‎8.一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=ax上,另一个顶点在坐标原点,如果这个三角形的面积为36,则a=　　　　　. ‎ 解析:设正三角形边长为x.‎ 由题意得,36x2sin 60°,∴x=12.‎ 当a>0时,将(6,6)代入y2=ax,得a=2.‎ 当a0),‎ 因为点C(5,-5)在抛物线上,‎ - 6 -‎ 所以该抛物线的方程为x2=-5y.‎ ‎(2)设车辆高为h,则|DB|=h+0.5,‎ 故D(3.5,h-6.5),‎ 代入方程x2=-5y,解得h=4.05,‎ 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.‎ B组 ‎1.(2015全国卷Ⅰ高考)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=(　　)‎ A.3 B.6 C.9 D.12‎ 解析:∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),‎ ‎∴E的右焦点的坐标为(2,0).‎ 设椭圆E的方程为=1(a>b>0),∴c=2.‎ ‎∵,∴a=4.‎ ‎∴b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为=1.‎ ‎∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6.‎ 答案:B ‎2.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是(　　)‎ A. B. C. D.3‎ 解析:设(x0,y0)为抛物线y=-x2上任意一点,‎ ‎∴y0=-,‎ ‎∴d=,‎ ‎∴dmin=.‎ 答案:A - 6 -‎ ‎3.如图,已知点Q(2,0)及抛物线y=上的动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是(　　)‎ A.2 B.3‎ C.4 D.2‎ 解析:如图所示,过P作PM垂直准线于点M,‎ 则由抛物线的定义可知y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,‎ 当且仅当P,F,Q三点共线时,|PF|+|PQ|最小,‎ 最小值为|QF|==3.‎ 故y+|PQ|的最小值为3-1=2.‎ 答案:A ‎4.已知顶点与原点O重合,准线为直线x=-的抛物线上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2),若y1·y2=-1,则∠AOB的大小是　　　　　. ‎ 解析:由已知得抛物线方程为y2=x,‎ 因此=x1x2+y1y2=+y1y2=(-1)2+(-1)=0.∴.∴∠AOB=90°.‎ 答案:90°‎ ‎5.导学号01844018对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是　　　　　. ‎ 解析:设点Q的坐标为.‎ 由|PQ|≥|a|,得|PQ|2≥a2,即≥a2,‎ 整理,得+16-8a)≥0.‎ - 6 -‎ ‎∵≥0,∴+16-8a≥0.即a≤2+恒成立.‎ 而2+的最小值为2.∴a≤2.‎ 答案:(-∞,2]‎ ‎6.导学号01844019某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线形,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水线上部中央船体高5米,宽16米,且该货船在现有状况下最多可装1 000吨货物,但每多装150吨货物,船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度,问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么?‎ 解如图所示,以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴,竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系.‎ 因为拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米,‎ 所以A(10,-2).‎ 设桥孔上部抛物线方程是x2=-2py(p>0),‎ 则102=-2p×(-2),所以p=25,‎ 所以抛物线方程为x2=-50y,即y=-x2.‎ 若货船沿正中央航行,船宽16米,而当x=8时,‎ y=-×82=-1.28,‎ 即船体在x=±8之间通过,B(8,-1.28),此时B点距水面6+(-1.28)=4.72(米).‎ 而船体高为5米,所以无法通行.‎ 又因为5-4.72=0.28(米),0.28÷0.04=7,150×7=1 050(吨),‎ 所以若船通过增加货物通过桥孔,则要增加1 050吨,而船最多还能装1 000吨货物,所以货船在现有状况下不能通过桥孔.‎ - 6 -‎