3.2 双曲线的简单性质
课后训练案巩固提升
A组
1.已知双曲线=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
解析:∵c=3,a2+5=9,∴a=2.故e=.
答案:C
2.设双曲线=1(a>0)的渐近线方程3x±2y=0,则a的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:双曲线=1的渐近线方程为3x±ay=0,与已知方程比较系数得a=2.
答案:C
3.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:,∴e=.
答案:D
4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
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解析:圆心的坐标是(3,0),圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bx±ay=0,根据已知得=2,即=2,解得b=2,则a2=5,故所求的双曲线方程是=1.故选A.
答案:A
5.已知双曲线=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则=( )
A.-12 B.-2 C.0 D.4
解析:∵y=x为渐近线方程,则b=2,即双曲线方程为x2-y2=2.当x=时,=1.又双曲线的半焦距为2,∴=(-2-,-y0)·(2-,-y0)=-1+=-1+1=0.故选C.
答案:C
6.导学号90074078设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.3x±4y=0 B.3x±5y=0
C.4x±3y=0 D.5x±4y=0
解析:如图,
由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在△PF2M中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=|PF1|.
又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=2a+2c,
即|PM|=a+c.
∴|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.
又c2=a2+b2,∴,
∴渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.
答案:C
7.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5∶4,则双曲线的标准方程是 .
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解析:双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为5∶4,即c∶b=5∶4.
又c2=a2+b2,解得c=5,b=4,
所以双曲线的标准方程是=1.
答案:=1
8.若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(,0),则双曲线的方程是 .
解析:由题意,得c==3,由此解得b=3,a=1,故所求双曲线的方程是x2-=1.
答案:x2-=1
9.已知双曲线=1的离心率为2,焦点与椭圆=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 .
解析:椭圆=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),
∴双曲线的焦点坐标为(-4,0),(4,0),在双曲线=1中,c=4,e=2,∴a=2.∴b=2.∴渐近线方程为x±y=0.
答案:(±4,0) x±y=0
10.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)虚轴长为12,离心率为;
(2)两顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x;
(3)求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程.
解(1)设双曲线的标准方程为=1或=1(a>0,b>0).
由题意,知2b=12,,且c2=a2+b2,
∴b=6,c=10,a=8.
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∴双曲线的标准方程为=1或=1.
(2)设以y=±x为渐近线的双曲线方程为=λ(λ≠0).
当λ>0时,a2=4λ,∴2a=2=6.∴λ=.
当λ0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.求双曲线C的离心率e的取值范围.
解由C与l相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.
消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.
∴解得a∈(0,1)∪(1,),
双曲线的离心率为e=,
∵a∈(0,1)∪(1,),∴e∈∪(,+∞),即离心率取值范围为∪(,+∞).
5.导学号90074079过双曲线=1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.
(1)求|AB|;
(2)求△AOB的面积;
(3)求证:|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.
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(1)解由双曲线的方程得a=,b=,∴c==3,F1(-3,0),F2(3,0),直线AB的方程为y=(x-3).
设A(x1,y1),B(x2,y2),由得5x2+6x-27=0,
∴x1+x2=-,x1x2=-,
∴|AB|=|x1-x2|
=
=.
(2)解直线AB的方程变形为x-y-3=0.
∴原点O到直线AB的距离为d=.
∴S△AOB=|AB|·d=.
(3)证明由题意知,双曲线的渐近线为y=±x,而直线AB的斜率为,故点A,B不可能同在右支上,假设点A在双曲线左支上,点B在双曲线右支上,由双曲线的定义得
|AF2|-|AF1|=2,|BF1|-|BF2|=2,
∴|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|,即|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.
同理,若点A在双曲线右支上,点B在双曲线左支上,同样成立.
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