浙教版九年级数学上册期中期末检测题及答案

浙教版九年级数学上册期中期末试题及答案 期中检测卷 一、选择题（每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若 ，则 =（　　） A．2 B． C． D． 2．分别写有数字 0，﹣1，﹣2，1，3 的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张， 那么抽到负数的概率是（　　） A． B． C． D． 3．把抛物线 y=3x2 向右平移一个单位，则所得抛物线的解析式为（　　） A．y=3（x+1）2 B．y=3（x﹣1）2 C．y=3x2+1 D．y=3x2﹣1 4．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点 F，则 EF：FC 等于（　　） A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2 5．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC 是⊙O 的直径，∠C=50°，∠ABC 的平分线 BD 交⊙ O 于点 D，则∠BAD 的度数是（　　） A．45° B．85° C．90° D．95°6．根据下列表格的对应值，判断方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c 为常数）一个解的范围是 （　　） x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+ c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26 7．圆中与半径相等的弦所对的圆周角度数是（　　） A．30° B．60° C．150° D．30°或 150° 8．小颖在二次函数 y=2x2+4x+5 的图象上，依横坐标找到三点（﹣1，y1），（ ，y2），（﹣3 ， y3），则你认为 y1，y2，y3 的大小关系应为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1 9．下列命题中： ①长度相等的弧是等弧； ②平分弦的直径垂直于弦； ③直径是弦； ④同弧或等弧所对的圆心角相等； ⑤相等的圆周角所对的弧相等． 其中不正确的命题有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．如图，△ABC 是边长为 12cm 的等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截，AB 被截成三等 分，则图中阴影部分的面积为（　　）A．16cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2 11．如图，小明使一长为 8 厘米，宽为 6 厘米的长方形木板在桌面上作无滑动的滚动（顺时 针方向），木板上的点 A 位置变化为 A→A1→A2，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住， 使木块与桌面成 30°角，则点 A 翻滚到 A2 位置时共走过的路径长为（　　） A．20 厘米 B．8π 厘米 C．7π 厘米 D．5π 厘米 12．抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 D（﹣1，2），与 x 轴的一个交点 A 在点（﹣3，0）和（﹣2， 0）之间，其部分图象如图，则以下结论： ①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程 ax2+bx+c﹣2=0 有两个相等的实数根． 其中正确结论的个数为（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 13．抛物线 y=2x2+1 的顶点坐标是　　． 14．已知线段 a=3，b=27，则 a，b 的比例中项线段长等于　　． 15．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120°，AB 长为 30cm，贴 纸部分的宽为 20cm，则贴纸部分的面积为　　cm2．16．如图，点 A，B 是⊙O 上两点，AB=10，点 P 是⊙O 上的动点（P 与 A，B 不重合），连接 AP，PB，过点 O 分别作 OE⊥AP 于 E，OF⊥PB 于 F，则 EF=　　． 17．当﹣2≤x≤1 时，二次函数 y=﹣（x﹣m） 2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的范围 是　　． 18．已知：如图，矩形 ABCD 中，E，F 是 CD 的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为 G， H，若 AD=2，DE=1，CF=2，且 AG=CH，则 EG+FH=　　． 三、解答题（本大题有 8 小题，共 78 分） 19．点 P 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上异于 A、B 的一点，过 P 点作直线 PE 截△ABC，使截得的三 角形与△ABC 相似，请你在图中画出满足条件的直线，并标出必要的标记．20．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“宁”、“波”的四个小球，除汉字不同 之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“宁”的概率为多少． （2）若从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图的方法，求取出的两个球上 的汉字恰能组成“美丽”或“宁波”的概率． 21．已知：如图，AD∥BC，∠A=∠BDC． （1）求证：△ABD∽△DCB． （2）若 AD=5，BC=8，求 BD 的长．22．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点 P，若 AB=4，AC=2 ， 求：（1）∠A 的度数； （2）弦 CD 的长； （3）弓形 CBD 的面积． 23．如图，已知二次函数 y=a（x﹣h）2+ 的图象经过原点 O（0，0），A（2，0）． （1）写出该函数图象的对称轴； （2）若将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 60°到 OA′，试判断点 A′是否为该函数图象的顶点？24．已知：如图，△ABC 中，BC=12，点 O 是 BC 上的一个动点，连结 AO，点 P 也是 AO 上的 一个动点，过点 P 作 PD∥AB 交 BC 于 D，PE∥AC 交 BC 于 E． （1）若点 O 是 BC 上的中点，点 P 也是 AO 的中点时，求 DE 的长． （2）若 AP=2PO，求 DE 的长．25．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函 数”． （1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数． （2）已知关于 x 的二次函数 y1=2x2﹣4mx+2m2+1 和 y2=ax2+bx+ ，其中 y1 的图象经过点 P （1，1），y2 与 y1 为“同簇二次函数”， ①求 m 的值及函数 y2 的表达式． ②如图点 A 和点 C 是函数 y1 上的点，点 B 和点 D 是函数 y2 上的点，且都在对称轴右侧，若 AB ∥CD∥x 轴，BC⊥AB，求 的值（只需直接答案）． 26．如图，已知抛物线 y=ax2﹣ x+c 与 x 轴相交于 A、B 两点，并与直线 y=x﹣2 交于 B、C 两点，其中点 C 是直线 y= x﹣2 与 y 轴的交点，连接 AC． （1）求 B、C 两点坐标以及抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形 DEFG？（顶点 D、E、F、G 在△ABC 各边上）若能， 求出最大面积；若不能，请说明理由． 　参考答案 一、1．B 【解析】∵ = ，∴设 a=3k，b=4k，∴ = = ，故选 B． 2．B 【解析】∵五张卡片分别标有0，﹣1，﹣2，1，3 五个数，数字为负数的卡片有 2 张，∴ 从中随机抽取一张卡片数字为负数的概率为 ．故选 B．　 3．B 【解析】原抛物线的顶点为（0，0），向右平移 1 个单位，那么新抛物线的顶点为（1， 0）．可设新抛物线的解析式为：y=3（x﹣h）2+k，代入得 y=3（x﹣ 1）2．故选 B． 4． D 【解析】∵▱ABCD，故 AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴ = .∵点 E 是边 AD 的中点，∴ AE=DE= AD，∴ = ．故选 D． 5．B 【解析】∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC=90°.∵∠C=50°，∴∠BAC=40°. ∵∠ABC 的平分线 BD 交⊙O 于点 D，∴∠ABD=∠DBC=45°，∴∠CAD=∠DBC=45°， ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°，故选 B． 6．C 【解析】函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点就是方程 ax2+bx+c=0 的根， 函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点的纵坐标为 0.由表中数据可知：y=0 在 y=﹣0.02 与 y=0.03之间，∴对应的 x 的值在 3.24 与 3.25 之间，即 3.24＜x＜3.25． 故选 C． 7．D 【解析】如图，∵AB=OB=OA，∴△OAB 为等边三角形，∴∠AOB=60°， ∴∠ACB= ∠AOB=30°，∴∠ADB=180°﹣∠ACB=150°，∴弦 AB 所对的圆周角的度数为 30°或 150°．故选 D． 8．D 【解析】∵对称轴为 x=﹣ =﹣1，∴（﹣3 ，y3）的对称点坐标为（1 ，y3）.∵ ﹣1＜ ＜1 ，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大，∴y3＞y2＞y1．故选 D． 　 9．A 【解析】①同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故①错误；②平分弦（不是直径）的直 径垂直于弦，故②错误；③直径是弦，故③正确；④同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心 角相等，故④错误；⑤同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故⑤错误.故选 A． 10．D 【解析】∵AB 被截成三等分，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∴ = ， = ，∴S△ AFG：S△ABC=4：9，S△AEH：S△ABC=1：9，∴S 阴影部分的面积= S△ABC﹣ S△ABC= S△ABC.∵S△ABC= ×12×6 =36 ，∴S 阴影部分的面积=12 ．故选 D． 11．C 【解析】第一次是以 B 为旋转中心，BA 长 10cm 为半径旋转 90°， 此次点 A 走过的路径是 ．第二次是以 C 为旋转中心，6cm 为半径旋转 60°， 此次走过的路径是 ，∴点 A 两次共走过的路径是 7π． 故选 C. 12．C 【解析】∵抛物线与 x 轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误.∵顶点为 D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线 x=﹣1， ∵抛物线与 x 轴的一个交点 A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间， ∴当 x=1 时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确.∵抛物线的顶点为 D（﹣1，2）， ∴a﹣b+c=2.∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即 c﹣a=2，所以③正确.∵当 x=﹣1 时，二次函数有最大值为 2，即只有 x=﹣1 时，ax2+bx+c=2，∴ 方程 ax2+bx+c﹣2=0 有两个相等的实数根，所以④正确．故选 C． 二、13．（0，1） 【解析】∵y=2x2+1，∴顶点坐标为（0，1）. 14．9 【解析】设 a、b 的比例中项为 x.∵a=4，b=8，∴ = ，∴a，b 的比例中项线段长等 于 9. 15． 【解析】S= ﹣ = cm2． 16．5 【解析】点 P 是⊙O 上的动点（P 与 A，B 不重合），但不管点 P 如何动，因为 OE⊥AP 于 E，OF⊥PB 于 F，根据垂径定理，E 为 AP 中点，F 为 PB 中点，EF 为△APB 中位线．根据三 角形中位线定理，EF= AB= ×10=5． 　 17．2 或﹣ 【解析】二次函数对称轴为直线 x=m，①m＜﹣2 时，x=﹣2 取得最大值，﹣ （﹣2﹣m）2+m2+1=4，解得 m=﹣ .∵﹣ ＞﹣2，∴不符合题意. ②﹣2≤m≤1 时，x=m 取得最大值，m2+1=4，解得 m=± ，所以 m=﹣ . ③m＞1 时，x=1 取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得 m=2.综上所述，m=2 或﹣ 时， 二次函数有最大值． 18． 【解析】过点 E 作 EM⊥AB 于 M，延长 EG 交 AB 于 Q，则△EQM 是直角三角形．∵ EG⊥AC，FH⊥AC，∴∠CHF=∠AGQ=90°.∵矩形 ABCD 中，CD∥AB， ∴∠FCH=∠QAG，在△FCH 和△QAG 中， ，∴△FCH≌△QAG（ASA），∴AQ=CF=2，FH=QG.∵∠D=∠DAM=∠AME=90°，∴四边形 ADEM 是矩形， ∴AM=DE=1，EM=AD=2，∴MQ=2﹣1=1，∴Rt△EMQ 中，EQ= = = ，即 EG+QG=EG+FH= ． 三、19．解：如图 1，作 PE⊥AC 交 AC 于 E，则△APE∽△ABC； 如图 2，作 PE⊥BC 交 BC 于 E，则△BPE∽△BAC； 如图 3，作 PE⊥AB 交 AC 于 E，则△APE∽△ACB． 20．解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“宁”的概率= . （2）画树状图为：（用 A、B、C、D 分别表示标有汉字“美”“丽”“宁”“波”的四个小球） 共有 12 种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“宁波”的结果数为 4， 所以取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“宁波”的概率= = ． 21．（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC.又∵∠A=∠BDC， ∴△ABD∽△DCB. （2）解：∵△ABD∽△DCB， ∴AD：BD=BD：BC. ∵AD=5，BC=8， ∴BD= =2 ． 22．解：（1）连接 CB，AC. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°, ∴CB2=AB2﹣AC2=42﹣（2√3）2=16﹣12=4, ∴CB=2= AB, ∴∠A=30°. （2）∵∠A=30°，CD⊥AB， ∴CP= AC= ， CD=2CP=AC=2 . （3）连接 CO，OD. ∵CO=AO， ∴∠A=∠ACO=30°，∠COB=2∠A=60°， ∴∠COD=120°， ∴S 扇形 COD= = π. ∵OP= OC=1，∴S△COD= CD•OP= ， ∴弓形 CBD 的面积=S 扇形 COD﹣S△COD= π﹣ ． 23．解：（1）∵二次函数 y=a（x﹣h）2+ 的图象经过原点 O（0，0），A（2，0）． 解得 h=1，a=﹣ ，∴抛物线的对称轴为直线 x=1. （2）点 A′是该函数图象的顶点．理由如下： 如图，作 A′B⊥x 轴于点 B. ∵线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 60°到 OA′， ∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°. 在 Rt△A′OB 中，∠OA′B=30°， ∴OB= OA′=1， ∴A′B= OB= ， ∴A′点的坐标为（1， ）， ∴点 A′为抛物线 y=﹣ （x﹣1）2+ 的顶点． 24．解：（1）∵点 O 是 BC 上的中点，点 P 也是 AO 的中点，PD∥AB 交 BC 于 D，PE∥AC 交 BC 于 E，∴OD= BO，OE= CO， ∴DE= BC= 12=6. （2）∵PD∥AB 交 BC 于 D，PE∥AC 交 BC 于 E， ∴ ， . ∵AP=2PO， ∴ = ， ∴OD= OB，OE= OC， ∴DE= BC=4． 25．解：（1）∵y=x2 和 y=2x2 的顶点均为（0，0），且开口向上， ∴y=x2 和 y=2x2 为“同簇二次函数”． （2）①把 P（1，1）代入 y1=2x2﹣4mx+2m2+1， 得：1=2﹣4m+2m2+1，解得：m=1， ∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1． ∵y2 与 y1 为“同簇二次函数”， ∴顶点一样为（1，1），即 y2=a（x﹣1）2+1， ∴a+1= ， ∴a= ， ∴函数 y2 的表达式为 y2= （x﹣1）2+1= x2﹣ x+ ． ②设点 B 的坐标为（n， （n﹣1）2+1）（n＞1）， ∵AB∥x 轴，∴点 A 的坐标为（ （n﹣1）+1， （n﹣1）2+1）， ∵AB∥CD∥x 轴，BC⊥AB， ∴点 C 的坐标为（n，2（n﹣1）2+1），点 D 的坐标为（2 （n﹣1）+1，2（n﹣1）2+1）． ∴AB=n﹣[ （n﹣1）+1]=（n﹣1）（1﹣ ），CD=2 （n﹣1）+1﹣n= （n﹣1）（2 ﹣1）， ∴ = = =2 ． 26．（1）解：∵直线 y= x﹣2 交 x 轴、y 轴于 B、C 两点， ∴B（4，0），C（0，﹣2）. ∵y=ax2﹣ x+c 过 B、C 两点， ∴ ， 解得 ， ∴y= x2﹣ x﹣2． （2）证明：如图 1，连接 AC.∵y= x2﹣ x﹣2 与 x 负半轴交于 A 点， ∴A（﹣1，0）. 在 Rt△AOC 中， ∵AO=1，OC=2， ∴AC= . 在 Rt△BOC 中， ∵BO=4，OC=2， ∴BC=2 . ∵AB=AO+BO=1+4=5， ∴AB2=AC2+BC2， ∴△ABC 为直角三角形． （3）解：△ABC 内部可截出面积最大的矩形 DEFG，面积为 .理由如下： ①如图 2 中，当四边形 EFGC 是矩形时，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．设 GC=x，AG= ﹣x， ∵ = ， ∴ = ， ∴GF=2 ﹣2x， ∴S=GC•GF=x•（2 ﹣2x）=﹣2x2+2 x=﹣2（x﹣ ）2+ , 即当 x= 时，S 最大，为 ． ②如图 3，当四边形 EFGD 是矩形时，此时△CDE∽△CAB∽△GAD， 设 GD=x， ∵ = ， ∴ = ，∴AD= x， ∴CD=CA﹣AD= ﹣ x， ∵ = ， ∴ = ， ∴DE=5﹣ x， ∴S=GD•DE=x•（5﹣ x）=﹣ x2+5x=﹣ （x﹣1）2+ ， 即 x=1 时，S 最大，为 ． 综上所述，△ABC 内部可截出面积最大的矩形 DEFG，面积为 ． 　 期末检测卷 一、仔细选一选（本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 1．抛物线 y=（x﹣2）2+3 的对称轴是（　　） A．直线 x=2 B．直线 x=3C．直线 x=﹣2 D．直线 x=﹣3 2．两个相似多边形的面积之比是 1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 3．如图，⊙O 的半径为 5，弦心距 OC=3，则弦 AB 的长是（　　）A．4 B．6 C．8 D．5 4．如图，在△ABC 中，DE∥BC，若 ，DE=4，则 BC=（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 5．如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 分别交 l1，l2，l3 于点 A，B，C，直线 DF 分别交 l1，l2，l3 于点 D，E，F，已知 AB=2，AC=5，DF=6，则 DE 的长是（　　） A．3 B． C． D． 6．分别把下列图形围起来得到的立体图形是圆锥的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC 的大小是（　　）A．80° B．100°C．60° D．40° 8．在同一坐标平面内，图象不可能由函数 y=2x2+1 的图象通过平移变换、轴对称变换得到的 函数是（　　） A．y=2（x+1）2﹣1 B．y=2x2+3 C．y=﹣2x2﹣1 D．y= x2﹣1 9．有四张背面一模一样的卡片，卡片正面分别写着一个函数关系式，分别是 y=2x，y=x2﹣3 （x＞0），y= （x＞0），y=﹣ （x＜0），将卡片顺序打乱后，随意从中抽取一张，取出 的卡片上的函数是 y 随 x 的增大而增大的概率是（　　） A． B． C． D．1 10．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣5，0），B（0，10），C（8，0），⊙A 的半径为 5．若 F 是⊙A 上的一个动点，线段 CF 与 y 轴交于 E 点，则△CBE 面积的最大值是（　　） A． B．40 C．20 D． 　 二、认真填一填（共 6 题，每题 4 分，共 24 分） 11．如图，某登山运动员从营地 A 沿坡度为 1： 的斜坡 AB 到达山顶 B，如果 AB=1000 米， 则他实际上升了　　米．12．如图，抛物线 y1=﹣x2+4x 和直线 y2=2x 在同一直角坐标系中．当 y1＞y2 时，x 的取值范围 是　　． 13．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘 和三角板如图放置于桌面上，并量出 AB=3cm，则此光盘的直径是　　cm． 14．已知 = ，那么 =　　． 15．如图，一块铁片边缘是由抛物线和线段 AB 组成，测得 AB=20cm，抛物线的顶点到 AB 边 的距离为 25cm．现要沿 AB 边向上依次截取宽度均为 4cm 的矩形铁皮，从下往上依次是第一 块，第二块…如图所示．已知截得的铁皮中有一块是正方形，则这块正方形铁皮是第　　 块． 16．如图，边长为 2 的正三角形 ABC 中，P0 是 BC 边的中点，一束光线自 P0 发出射到 AC 上的 点 P1 后，依次反射到 AB、BC 上的点 P2 和 P3（反射角等于入射角）． （1）若∠P2P3B=45°，CP1=　　；（2）若 ＜BP3＜ ，则 P1C 长的取值范围是　　． 　 三、全面解一解：（8 个小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程） 17．（6 分）计算：（﹣ ）﹣1+ tan30°﹣sin245°+（2016﹣cos60°）0． 18．（6 分）一个直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个菱形，求这个直四棱柱的表面 积． 19．（6 分）如图分别是某型号跑步机的实物图和示意图，已知踏板 CD 长为 2 米，支架 AC 长为 0.8 米，CD 与地面的夹角为 12°，∠ACD=80°，（AB‖ED），求手柄的一端 A 离地的高度 h．（精确到 0.1 米，参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48） 20．（8 分）将两张半径均为 10 的半圆形的纸片完全重合叠放一起，上面这张纸片绕着直径 的一端 B 顺时针旋转 30°后得到如图所示的图形， 与直径 AB 交于点 C，连接点 C 与圆心O′． （1）求 的长； （2）求图中下面这张半圆形纸片未被上面这张纸片重叠部分的面积 S 白． 21．（8 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A=60°，过点 C 作⊙O 的切线，交射线 BO 于 点 E． （1）求∠BCE 的度数； （2）若⊙O 半径为 3，求 BE 长． 22．（10 分）如图，抛物线 y=﹣x2+6x 与 x 轴交于点 O，A，顶点为 B，动点 E 在抛物线对称 轴上，点 F 在对称轴右侧抛物线上，点 C 在 x 轴正半轴上，且 EF OC，连接 OE，CF 得四边 形 OCFE． （1）求 B 点坐标； （2）当 tan∠EOC= 时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点 F 的坐标； （3）当 0＜tan∠EOC＜3 时，对于每一个确定的 tan∠EOC 值，满足条件的四边形 OCFE 有两 个，当这两个四边形的面积之比为 1：2 时，求 tan∠EOC．23．（10 分）要利用 28 米长的篱笆和一堵最大可利用长为 12 米的墙围成一个如图 1 的一边 靠墙的矩形养鸡场，在围建的过程中遇到了以下问题，请你帮忙来解决． （1）这个矩形养鸡场要怎样建面积能最大？求出这个矩形的长与宽； （2）在（1）的前提条件下，要在墙上选一个点 P，用不可伸缩的绳子分别连接 BP，CP，点 P 取在何处所用绳子长最短？ （3）仍然是矩形养鸡场面积最大的情况下，若把（2）中的不可伸缩的绳子改为可以伸缩且 有弹性的绳子，点 P 可以在墙上自由滑动，求 sin∠BPC 的最大值．24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 l1 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C， l1的解析式为y= x2﹣2，若将抛物线l1平移，使平移后的抛物线l2经过点A，对称轴为直线x=﹣6， 抛物线 l2 与 x 轴的另一个交点是 E，顶点是 D，连结 OD，AD，ED． （1）求抛物线 l2 的解析式； （2）求证：△ADE∽△DOE； （3）半径为 1 的⊙P 的圆心 P 沿着直线 x=﹣6 从点 D 运动到 F（﹣6，0），运动速度为 1 单 位/秒，运动时间为 t 秒，⊙P 绕着点 C 顺时针旋转 90°得⊙P1，随着⊙P 的运动，求 P1 的运动 路径长以及当⊙P1 与 y 轴相切的时候 t 的值． 　参考答案 一、1.A 【解析】y=﹣（x﹣2）2+3，对称轴是 x=2．故选 A． 2．A【解析】∵两个相似多边形的面积之比是 1：4，∴这两个相似多边形的相似比是 1：2， 则这两个相似多边形的周长之比是 1：2，故选 A．　 3.C 【解析】连接 OA.∵OC⊥AB，OC=3，OA=5，∴AB=2AC. ∵AC= = =4，∴AB=2AC=8．故选 C． 4．D 【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ = .∵DE=4，∴BC=12. 故选 D． 5．B 【解析】∵l1∥l2∥l3，∴ = ，即 = ，解得 DE= ，故选 B．6．C 【解析】因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，选项 C 满足要求， 故选 C． 7．B 【解析】∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∠ADC=130°，∴∠B=180°﹣130°=50°. 由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=100°，故选 B．　 8．D 【解析】由于抛物线的形状由二次项的系数a 决定，所以两个函数表达式中的 a 要相同 或互为相反数才可以通过平移变换、轴对称变换得到．故选 D． 9．C 【解析】函数y=2x，y=x2﹣3（x＞0），y= （x＞0），y=﹣ （x＜0）中，有 y=2x，y=x2﹣3 （x＞0），y=﹣ （x＜0），是 y 随 x 的增大而增大，所以随意从中抽取一张，取出的卡片 上的函数是 y 随 x 的增大而增大的概率是 ．故选 C．　 10．A 【解析】如图所示：当 CF 与⊙A 相切时，△BCE 的面积有最大值． ∵CF 与⊙A 相切，∴AF⊥FC．∴△AFC 为直角三角形．∴FC= =12． ∵∠AFC=∠EOC，∠OCE=∠FCA，∴△OEC∽△FAC．∴ ，即 ，解得 OE= ．∴ BE=OB+OE=10+ = ．∴△CBE 面积的最大值= BE•OC= × ×8= ．故选 A． 二、11. 500 【解析】∵斜坡 AB 坡度为 1： ，∴∠A=30°，∴BC= AB=500， 则他实际上升了 500 米. 12． 0＜x＜2 【解析】将两函数关系式联立可得：2x=﹣x2+4x，解得 x1=0，x2=2. 由图象可得：y1＞y2 时，x 的取值范围是 0＜x＜2． 13． 6 【解析】∵∠CAD=60°，∴∠CAB=120°.∵AB 和 AC 与⊙O 相切，∴∠OAB=∠OAC，∴∠OAB= ∠CAB=60°.∵AB=3cm，∴OA=6cm，∴由勾股定理得 OB=3 cm，∴光盘的直径 6 cm． 14．﹣ 【解析】由 = ，得 b= ． = =﹣ . 15．6 【解析】如图，建立平面直角坐标系．∵AB=20cm，抛物线的顶点到 AB 边的距离为 25cm，∴此抛物线的顶点坐标为：（10，25），图象与 x 轴的交点坐标为：（0，0）， （20，0），∴抛物线的解析式为：y=a（x﹣10）2+25， 解得：0=100a+25，a=﹣ ，∴y=﹣ （x﹣10）2+25，现要沿 AB 边向上依次截取宽度均为 4cm 的矩形铁皮，∴截得的铁皮中有一块是正方形时，正方形边长一定是 4cm．∴当四边形 DEFM 是正方形时，DE=EF=MF=DM=4cm，∴M 点的横坐标为 AN﹣MK=10﹣2=8，即 x=8，代入 y=﹣ （x﹣10）2+25，解得：y=24， ∴KN=24，24÷4=6，∴这块正方形铁皮是第六块， 16．（1） （2） ＜P1C＜ 【解析】（1）过 P0 作 P0H⊥AC 于 H. ∵反射角等于入射角，∴∠P0P1C=∠P2P1A=∠P2P3B.又∵∠C=∠A=∠B=60°， ∴△P0P1C∽△P2P3B，∴∠CP1P0=∠P2P3B=45°，∴P0H=P1H.∵P0 是 BC 边的中点，∴CP0=1，∴CH= ，P0H=P1H= ，∴CP1= + = .（2）∵反射角等于入射角，∴∠P0P1C= ∠P2P1A=∠P2P3B.又∵∠C=∠A=∠B=60°，∴△P0P1C∽△P2P1A∽ △P2P3B，∴ = = .设 P1C=x，P2A=y，则 P1A=2﹣x，P2B=2﹣y． ∴ = ，∴ ，∴x= （2+P3B）.又∵ ＜BP3＜ ， ∴ ＜x＜ ，即 P1C 长的取值范围是： ＜P1C＜ . 三、17．解：原式=﹣2+1﹣ +1=﹣ ． 18．解：∵俯视图是菱形， ∴可求得底面菱形边长为 2.5cm， 上、下底面积和为 6×2=12cm2， 侧面积为 2.5×4×8=80cm2， ∴直棱柱的表面积为 92cm2． 19．解：过 C 点作 FG⊥AB 于 F，交 DE 于 G． ∵CD 与地面 DE 的夹角∠CDE 为 12°，∠ACD 为 80°， ∴∠ACF=∠FCD﹣∠ACD=∠CGD+∠CDE﹣∠ACD=90°+12°﹣80°=22°， ∴∠CAF=68°， 在 Rt△ACF 中，CF=AC•sin∠CAF≈0.744m， 在 Rt△CDG 中，CG=CD•sin∠CDE≈0.42m， ∴h=0.42+0.74=1.156≈1.2（米），答：手柄的一端 A 离地的高度 h 约为 1.2m． 20．解：（1）连结 BC，作 O′D⊥BC 于 D. 由题意得，∠CBA′=30°， 则∠BO′C=120°，O′D= O′B=5， ∴ 的长为： = ； （2）S 白= ×π×102﹣（ ﹣ ×10 ×5） =50π﹣ +25 = π+25 ． 21．解：（1）连接 OC.∵∠A=60°，∴∠BOC=120°， 又∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=30°， ∵EC 切⊙O 于 E，∴∠OCE=90°， ∴∠ECB=120°. （2）过点 O 作 OD⊥BC 于点 D.∵∠A=60°， ∴∠BOC=120°. 又∵∠CBE=∠BOC， ∴△BOC∽△BCE， ∴ = , ∴BC2=BO•BE. ∵BO=3，∠OBD=30°， ∴BD=BO•cos30°= ， ∴BC=3 ， ∴（3 ）2=3BE， ∴BE=9． 22．解：（1）∵y=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9， ∴B（3，9）. （2）抛物线的对称轴为直线 x=3，直线 x=3 交 x 轴于 H，如图. ∵tan∠EOC= ，即 tan∠EOH= ， ∴ = ， ∴EH=4， ∴E 点坐标为（3，4）或（3，﹣4）. 当 y=4 时，﹣（x﹣3）2+9=4，解得 x1=3﹣ （舍去），x2=3+ ;当 y=﹣4 时，﹣（x﹣3）2+9=﹣4，解得 x1=3﹣ （舍去），x2=3+ ， ∴F 点坐标为（3+ ）或（3+ ，﹣4）. （3）如图，∵平行四边形 OEFC 和平行四边形 OE′F′C′等高， ∴这两个四边形的面积之比为 1：2 时，OC′=2OC. 设 OC=t，则 OC′=2t， ∴F 点的横坐标为 3+t，F′点的横坐标为 3+2t， 而点 F 和 F′的纵坐标互为相反数， ∴﹣（3+t﹣3）2+9+[﹣（3+2t﹣3）2+9]=0，解得 t1= ，t2=﹣ （舍去）， ∴F 点坐标为（3+ ， ）， ∴E（3， ）， ∴tan∠EOC= = ． 23．解：（1）设这个矩形的长为 x 米（0＜x≤12），则宽为 米. 根据矩形的面积公式可知 S=x• =﹣ （x﹣14）2+98. ∵0＜x≤12，在此区间内面积 S 关于长 x 的函数单调递增，∴当 x=12 时，S 取最大值，S 最大=96， 此时 =8． 故把整堵墙壁都用起来，矩形长为 12 米，宽为 2 米时矩形养鸡场的面积最大． （2）作点 C 关于 AD 的对称点 C′，连接 BC′交 AD 于点 P，连接 PC，如图一． ∵点 C、C′关于 AD 对称， ∴PC=PC′， ∴PB+PC=PB+PC． 由三角形内两边之和大于第三边可知：当 B、P、C′共线时 PB+PC 最小． ∵AD∥BC， ∴△C′PD∽△C′BC， ∴ = ， ∴PD= BC，即 P 为 AD 的中点． 此时 C′B= =20（米）． 故当点 P 选在 AD 中点处时，需要的绳子最短，最短绳长为 20 米． （3）作一个圆，使该圆经过 B、C 点且和 AD 相切，如图二．任取线段 AD 上一点 P，连接 BP、CP，令 CP 与圆交于点 G，连接 BG． ∵∠BGC=∠BPC+∠PBG， ∴∠BPC≤∠BGC． 当 P、G 两点重合时取等号，此时点 P 为 AD 的中点． ∵AD=12，AB=8， ∴AP=6， 由勾股定理得：BP= =10， ∵△PBC 的面积 S= BP•CP•sin∠BPC= ×10×10sin∠BPC= BC•AB= ×12×8， ∴sin∠BPC= ． 故 sin∠BPC 的最大值为 ． 24．解：（1）设抛物线 l2 的解析式为 y= （x+a）2+c. ∵抛物线 l2 的对称轴为 x=﹣6， ∴a=6． 令 l1 的解析式 y= x2﹣2=0， 解得 x=±2． ∴A 点的坐标为（﹣2，0），B 点的坐标为（2，0）． 将点 A（﹣2，0）代入 l2 的解析式中，得 ×（﹣2+6）2+c=0，解得：c=﹣8． 故抛物线 l2 的解析式为 y= ﹣8． （2）证明：令 l2 的解析式 y= ﹣8=0， 解得 x=﹣10，或 x=﹣2， 故点 E 的坐标为（﹣10，0）． 由抛物线的对称性可知△ADE 为等腰三角形． ∵点 O（0，0），点 E（﹣10，0），点 D（﹣6，﹣8）， ∴OE=0﹣（﹣10）=10，OD= =10， ∴OE=OD， 即△OED 为等腰三角形. 又∵∠DEA=∠OED，且两者均为底角， ∴△ADE∽△DOE． （3）过点 C 作 CN⊥DF 于点 N，根据题意画出图形如图． 点 D 旋转后到达 D′处，点 F 旋转后到达 F′处． 根据旋转的性质可知 D′F′=DF. ∵点 D（﹣6，﹣8），点 F（﹣6，0）， ∴P1 的运动路径长为 DF=8． ∵DF∥y 轴， ∴D′F′∥x 轴， ∴四边形 NCMD′为平行四边， ∴D′M=NC．∵l1 的解析式为 y= x2﹣2， ∴点 C 的坐标为（0，﹣2）， ∴点 N 的坐标为（﹣6，﹣2）， ∴NC=0﹣（﹣6）=6． ∵⊙P1 的半径为 1， ∴当 D′P1=D′M±1 时，⊙P1 与 y 轴相切， 此时 D′P1=5，或 D′P1=7． ∵⊙P 的运动速度为 1 单位/秒， ∴⊙P1 的运动速度为 1 单位/秒， ∴运算时间为 5 秒或 7 秒．