广东实验中学2018-2019学年高二下中段考（学生版）.pdf

1 广东实验中学 2018—2019 学年（下）高二级期中测试 数 学（理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位 置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作 答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。 第一部分选择题（共 60 分） 一、选择题(每题 5 分，共 60 分) 1．已知复数 2z 1 i ，则下列命题中正确的个数为（ ） ① 2=z ② iz −=1 ③ z 的虚部为i ④ 在复平面上对应点在第一象限 A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知命题 p ： 0x ，总有 ( 1) 1xxe+，则 p 为( ) A． 0 0x，使得 0 0( 1) 1xxe+ B． 0 0x，使得 C． ，总有 ( 1) 1xxe+ D． 0x ，总有 3．设， 是两个不同的平面， ,lm是两条不同的直线，且 ,lm( ) A．若l ⊥ ，则⊥ B．若 ，则lm⊥ C．若l  ，则 D．若 ，则lm 4．已知等差数列 na ，且 ( ) ( )1 5 6 9 123 2 48a a a a a+ + + + = ，则数列 na 的前 11 项之和为（ ） A．84 B．68 C．52 D．44 5．实数 30.3a = ， 3log 0.3b = ， 0.33c = 的大小关系是（ ） A． abc B． a c b C．bac D．b c a 6．已知( )( )5 012 2 1x x a a x+ − = + 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6a x a x a x a x a x+ + + + + ，则 024a a a+ + = （ ） A．123 B．91 C． 120− D． 152− 7．某单位要邀请 10 位教师中的 6 位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法 有( ) A．84 种 B．98 种 C．112 种 D．140 种 2 8．若直线 2 0( 0, 0)ax by a b+ − =   始终平分圆 222 2 2x y x y+ − − = 的周长，则 11 2ab+ 的最小值为( ) A．3－2 2 4 B．3－2 2 2 C．3＋2 2 2 D．3＋2 2 4 9．将函数 3sin(2 )3yx=+的图象向右平移 2  个单位长度，所得图象对应的函数( ) A．在区间 7,12 12   上单调递减 B．在区间 上单调递增 C．在区间 ,63 − 上单调递减 D．在区间 上单调递增 10．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图 如图所示.若该几何体的表面积为16+20 ，则 =（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 11．已知双曲线 )0,(12 2 2 2 ＞bab y a x =− 的左、右顶点分别为 BA, ,右焦点 为 F ,过点 F 且垂直于 x 轴的直线l 交双曲线于 NM, 两点, P 为直 线l 上的一点，当 APB 的外接圆面积达到最小值时,点 P 恰好在 M(或 N)处,则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C.2 D. 5 12．已知 ( )fx是定义域为( )0,+ 的单调函数，若对任意的 ( )0,x + ，都有 ( ) 1 3 log 4f f x x+=  ，且 关于 x 的方程 ( ) 323 6 9 4f x x x x a− = − + − + 在区间( 0,3 上有两解，则实数 a 的取值范围是（ ） A．(0，5] B．( )1,3 C． )1,3 D． 70, 2   二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13． 0 ( sin )x x dx + 的值等于 ． 14． 51(2 1)x x−− 展开式中含 2x 项的系数是 ． 15．在体积为 4 3 的三棱锥 S－ABC 中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，SA＝SC，且平面 SAC⊥平面 ABC，若 该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是 ． 3 16．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表 叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623--1662）是在 1654 年发现这一规律的. 我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图 所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图所示，在“杨辉三 角”中，去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3， 4，6，4，5，10， 10，5，… ，则此数列前 135 项的和为 ． 三、解答题：（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本题满分 10 分）已知等差数列 na 的公差不为零，且满足 1 2 6 146,a a a a= 、 、 成等比数列． (1)求数列 na 的通项公式； (2)记 ( ) 2 1n n b na= + ，求数列 nb 的前 n 项和 nS .[来源:Zxxk.Com] 18．（本题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( )sin 0 0 3f x x  = 在区间 ， 上单调递增，在区间 2 33   ， 上单调递减．如图， 在四边形 OACB 中， ,,abc分别为△ABC 的内角 A，B，C 的对边，且满足 4 cos cossin sin 3 sin cos BCBC AA  −−+ = ． (1)证明： 2b c a+= ； (2)若 ( )0 2 2b c AOB OA OB  =  =   = =，设 ， ，求四边形 OACB 面积的最大值． 19．（本题满分 12 分） 如图，在梯形 ABCD中， AB ∥CD , 1AD DC CB= = = , 0120BCD=，四边形 BFED 为矩形，平面 ⊥平面 ABCD, 1BF = . (1)求证： AD ⊥平面 ； (2)点 P 在线段 FE 上运动，设平面 PAB 与平面 ADE 所成锐二面角为 ，试求 的最小值． 4 20．（本题满分 12 分） 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的 分数（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本（样本容量为 n）进行统计．按照[50，60），[60，70）， [70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得 分在[50，60），[90，100]的数据）． （1）求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值； （2）在选取的样本中，从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 3 名同学到市政广场参加环 保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的 3 名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列 及其数学期望． 21．（本题满分 12 分） 对于椭圆 ( ) 22 2210xy abab+ =   ，有如下性质：若点( )00,xy是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线 方程为 00 221x x y y ab+=.利用此结论解答下列问题． 若椭圆C 在点Q 处的切线方程为 22 3 12 xy ab+=，且斜率为 1 2− . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若动点 P 在直线 3xy+=上，经过点 P 的直线 ,mn与椭圆C 相切，切点分别为 ,MN． 求证：直线 MN 必经过一定点． 22．（本题满分 12 分） 已知函数 ( ) )(ln Raxxaxxf += ． (1)若函数 ( )xf 在区间 )+,e 上为增函数，求 a 的取值范围； (2)当 1=a 且 Zk  时，不等式 )()1( xfxk − 在 ),1( +x 上恒成立，求 k 的最大值．