2019年天河区中考数学一模 （含答案）

2019 年广东省广州市天河区中考数学一模试卷 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．9 的平方根是（　　） A．±3 B．﹣3 C．3 D． 2．下列各式计算正确的是（　　） A．3a3+2a2＝5a6 B． C．a4•a2＝a8 D．（ab2）3＝ab6 3．已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（　　） A．x≥﹣1 B．x＞1 C．﹣3＜x≤﹣1 D．x＞﹣3 4．如图，AB∥CD，DE⊥BE，BF、DF 分别为∠ABE、∠CDE 的角平分线，则∠BFD＝（　　） A．110° B．120° C．125° D．135° 5．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 6．某篮球运动员在连续 7 场比赛中的得分（单位：分）依次为 20，18，23，17，20，20，18，则 这组数据的众数与中位数分别是（　　） A．18 分，17 分 B．20 分，17 分 C．20 分，19 分 D．20 分，20 分 7．要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式（每两队之间都需在主客场各赛一场），计划安排 30 场比赛，设邀请 x 个球队参加比赛，根据题意可列方程为（　　）A．x（x﹣1）＝30 B．x（x+1）＝30 C． ＝30 D． ＝30 8．如图，在热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 30°、45°，热气球 C 的高度 CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（　　） A．200 米 B．200 米 C．220 米 D． 米 9．如图，在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点 A 的坐标是（4，0），点 P 为边 AB 上一点，∠ CPB＝60°，沿 CP 折叠正方形，折叠后，点 B 落在平面内点 B′处，则 B′点的坐标为（　　） A．（2，2 ） B．（ ， ） C．（2， ） D．（ ， ） 10．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边 AB 上的点 O 为圆心的圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，与 AB 分别相交于点 G、H，且 EH 的延长线与 CB 的延长线交于点 D，则 CD 的 长为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 11．﹣1 的绝对值是　 　，倒数是　 　． 12．若代数式 有意义，则 m 的取值范围是　 　． 13．如图，△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40°后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，则∠A的度数是　 　． 14．关于 x 的一元二次方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）＝0 的一个根是 0，则 m 的值是　 　． 15．已知⊙O 的半径为 5cm，弦 AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则 AB 和 CD 的距离为　 　． 16．如图，在平面直角坐标中，直线 l 经过原点，且与 y 轴正半轴所夹的锐角为 60°，过点 A（0， 1）作 y 轴的垂线 l 于点 B，过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1，以 A1B．BA 为邻边作▱ABA1C1 ；过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2，以 A2B1．B1A1 为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则∁n 的坐标是　 　． 三．解答题（共 9 小题，满分 102 分） 17．（9 分）解方程组 （1） （2） ． 18．（9 分）已知：如图，矩形 ABCD 中，DE 交 BC 于 E，且 DE＝AD，AF⊥DE 于 F． 求证：AB＝AF． 19．（10 分）如图，在平面直角坐标系中有△ABC，其中 A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1 ）．把△ABC 绕原点顺时针旋转 90°，得到△A1B1C1．再把△A1B1C1 向左平移 2 个单位，向下平移 5 个单位得到△A2B2C2． （1）画出△A1B1C1 和△A2B2C2． （2）直接写出点 B1、B2 坐标． （3）P（a，b）是△ABC 的 AC 边上任意一点，△ABC 经旋转平移后 P 对应的点分别为 P1、P2， 请直接写出点 P1、P2 的坐标． 20．（10 分）已知一个不透明的袋子中装有 7 个只有颜色不同的球，其中 2 个白球，5 个红球． （1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率． （2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰 好颜色不同的概率． （3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个 球，颜色是一白一黄的概率为 ，求袋中有几个红球被换成了黄球． 21．（12 分）2018 年我市的脐橙喜获丰收，脐橙一上市，水果店的陈老板用 2400 元购进一批脐橙， 很快售完；陈老板又用 6000 元购进第二批脐橙，所购件数是第一批的 2 倍，但进价比第一批每 件多了 20 元． （1）第一批脐橙每件进价多少元？ （2）陈老板以每件 120 元的价格销售第二批脐橙，售出 60%后，为了尽快售完，决定打折促销， 要使第二批脐橙的销售总利润不少于 480 元，剩余的脐橙每件售价最低打几折？（利润＝售价﹣ 进价） 22．（12 分）如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 边于点 D，E 是边 BC的中点，连接 DE、OD， （1）求证：直线 DE 是⊙O 的切线； （2）连接 OC 交 DE 于 F，若 OF＝FC，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）若 ，求⊙O 的半径． 23．（12 分）已知反比例函数 y＝ 的图象的一支位于第一象限，点 A（x1，y1），B（x2，y2） 都在该函数的图象上． （1）m 的取值范围是　 　，函数图象的另一支位于第一象限，若 x1＞x2，y1＞y2，则点 B 在 第　 　象限； （2）如图，O 为坐标原点，点 A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 C 与点 A 关于 x 轴 对称，若△OAC 的面积为 6，求 m 的值． 24．（14 分）如图：AD 是正△ABC 的高，O 是 AD 上一点，⊙O 经过点 D，分别交 AB、AC 于 E、 F （1）求∠EDF 的度数； （2）若 AD＝6 ，求△AEF 的周长； （3）设 EF、AD 相较于 N，若 AE＝3，EF＝7，求 DN 的长．25．（14 分）如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+3 交 x 轴于点 A（﹣1，0）和点 B（3，0）． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图 2，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 F，点 D（2，3）在该抛物线上． ①求四边形 ACFD 的面积； ②点 P 是线段 AB 上的动点（点 P 不与点 A、B 重合），过点 P 作 PQ⊥x 轴交该抛物线于点 Q， 连接 AQ、DQ，当△AQD 是直角三角形时，求出所有满足条件的点 Q 的坐标．2019 年广东省广州市天河区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．【分析】利用平方根定义计算即可得到结果． 【解答】解：∵（±3）2＝9， ∴9 的平方根是±3， 故选：A． 【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键． 2．【分析】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法法则及幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐 一判断即可． 【解答】解：A、3a3 与 2a2 不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、2 + ＝3 ，故本选项正确； C、a4•a2＝a6，故本选项错误； D、（ab2）3＝a3b6，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查的是二次根式的加减法，即二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次 根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 3．【分析】根据不等式组解集在数轴上的表示方法可知，不等式组的解集是指它们的公共部分，即﹣ 1 及其右边的部分． 【解答】解：两个不等式的解集的公共部分是：﹣1 及其右边的部分．即大于等于﹣1 的数组成 的集合． 故选：A． 【点评】本题考查了不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来 （＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示 解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示 解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 4．【分析】先过 E 作 EG∥AB，根据平行线的性质即可得到∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，再根 据 DE⊥BE，BF，DF 分别为∠ABE，∠CDE 的角平分线，即可得出∠FBE+∠FDE＝135°，最后根据四边形内角和进行计算即可． 【解答】解：如图所示，过 E 作 EG∥AB， ∵AB∥CD， ∴EG∥CD， ∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°， ∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°， 又∵DE⊥BE，BF，DF 分别为∠ABE，∠CDE 的角平分线， ∴∠FBE+∠FDE＝ （∠ABE+∠CDE）＝ （360°﹣90°）＝135°， ∴四边形 BEDF 中，∠BFD＝360°﹣∠FBE﹣∠FDE﹣∠BED＝360°﹣135°﹣90°＝135°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行， 同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线． 5．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D 符合题意 ， 故选：D． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 6．【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以 不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数 ）为中位数． 【解答】解：将数据重新排列为 17、18、18、20、20、20、23， 所以这组数据的众数为 20 分、中位数为 20 分， 故选：D． 【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概 念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数 个则找中间两个数的平均数． 7．【分析】由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场．等量关系为 ：队的个数×（队的个数﹣1）＝30，把相关数值代入即可． 【解答】解：设邀请 x 个球队参加比赛， 根据题意可列方程为：x（x﹣1）＝30． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数 的等量关系． 8．【分析】在热气球 C 处测得地面 B 点的俯角分别为 45°，BD＝CD＝100 米，再在 Rt△ACD 中 求出 AD 的长，据此即可求出 AB 的长． 【解答】解：∵在热气球 C 处测得地面 B 点的俯角分别为 45°， ∴BD＝CD＝100 米， ∵在热气球 C 处测得地面 A 点的俯角分别为 30°， ∴AC＝2×100＝200 米， ∴AD＝ ＝100 米， ∴AB＝AD+BD＝100+100 ＝100（1+ ）米， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三 角形并解直角三角形． 9．【分析】过点B′作 B′D⊥OC，因为∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4，所以∠B′CD＝30° ，B′D＝2，根据勾股定理得 DC＝2 ，故 OD＝4﹣2 ，即 B′点的坐标为（2， ）． 【解答】解：过点 B′作 B′D⊥OC ∵∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4 ∴∠B′CD＝30°，B′D＝2 根据勾股定理得 DC＝2 ∴OD＝4﹣2 ，即 B′点的坐标为（2， ） 故选：C．【点评】主要考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长 度，灵活运用勾股定理． 10．【分析】连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形 OECF，并且可求出⊙O 的半径为 0.5a，则 BF＝a﹣0.5a＝0.5a，再由切割线定理可得 BF2＝BH•BG，利用方程即可求出 BH ，然后又因 OE∥DB，OE＝OH，利用相似三角形的性质即可求出 BH＝BD，最终由 CD＝BC+BD ，即可求出答案． 【解答】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边 AB 上的点 O 为圆心的圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，与 AB 分别相交于点 G、H，且 EH 的延长线与 CB 的延长线交于点 D ∴连接 OE、OF，由切线的性质可得 OE＝OF＝⊙O 的半径，∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90° ∴OECF 是正方形 ∵由△ABC 的面积可知 ×AC×BC＝ ×AC×OE+ ×BC×OF ∴OE＝OF＝ a＝EC＝CF，BF＝BC﹣CF＝0.5a，GH＝2OE＝a ∵由切割线定理可得 BF2＝BH•BG ∴ a2＝BH（BH+a） ∴BH＝ 或 BH＝ （舍去） ∵OE∥DB，OE＝OH ∴△OEH∽△BDH ∴ ∴BH＝BD，CD＝BC+BD＝a+ ． 故选：B．【点评】本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性质即可解决问题． 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 11．【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，乘积是 1 的两数互为倒数可得 答案． 【解答】解：﹣1 的绝对值是 1 ，倒数是﹣ ， 故答案为：1 ；﹣ ． 【点评】此题主要考查了倒数和绝对值，关键是掌握倒数定义和绝对值定义． 12．【分析】根据二次根式有意义的条件可得m+1≥0，根据分式有意义的条件可得 m﹣1≠0，再解 即可． 【解答】解：由题意得：m+1≥0，且 m﹣1≠0， 解得：m≥﹣1，且 m≠1， 故答案为：m≥﹣1，且 m≠1． 【点评】此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：分式有意义，分母不为0； 二次根式的被开方数是非负数． 13．【分析】先根据旋转的性质得∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC，则根据等腰三角形的性质和 三角形内角和定理可计算出∠A＝ （180°﹣∠A）＝70° 【解答】解：∵△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40°后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上 ， ∴∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∴∠A＝ （180°﹣40°）＝70°， 故答案为：70°． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 14．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的 值．即把 0 代入方程求解可得 m 的值． 【解答】解：把 x＝0 代入方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）＝0， 得 m2﹣9＝0， 解得：m＝±3， ∵m﹣3≠0， ∴m＝﹣3， 故答案是：﹣3． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解，注意方程有意义，其二次项系数不能为0． 15．【分析】根据题意画出图形，由于 AB、CD 的位置不能确定，故应分 AB 与 CD 在圆心 O 的同 侧及 AB 与 CD 在圆心 O 的异侧两种情况讨论，如图（一），当 AB、CD 在圆心 O 的同侧时，连 接 OA、OC，过 O 作 OE⊥CD 于 E，交 AB 于 F，根据垂径定理及勾股定理可求出 OF 及 OE 的 长，再用 OE﹣OF 即可求出答案； 如图（二），当 AB、CD 在圆心 O 的异侧时，连接 OA、OC，过 O 作 OE⊥CD 于 E，交 AB 于 F ，根据垂径定理及勾股定理可求出 OF 及 OE 的长，再用 OE+OF 即可求出答案． 【解答】解：如图所示， 如图（一），当 AB、CD 在圆心 O 的同侧时，连接 OA、OC，过 O 作 OE⊥CD 于 E，交 AB 于 F ， ∵AB∥CD， ∴OE⊥AB， ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AF＝4cm，CE＝3cm， ∴OA＝OC＝5cm， ∴OE＝ ＝ ＝4cm， 同理，OF＝ ＝ ＝3cm， ∴EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1cm； 如图（二），当 AB、CD 在圆心 O 的异侧时，连接 OA、OC，过 O 作 OE⊥CD 于 E，反向延长 OE 交 AB 于 F，∵AB∥CD， ∴OE⊥AB， ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AF＝4cm，CE＝3cm， ∴OA＝OC＝5cm， ∴OE＝ ＝ ＝4cm， 同理，OF＝ ＝ ＝3cm， ∴EF＝OE+OF＝4+3＝7cm． 故答案为：1cm 或 7cm． 【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 16．【分析】先求出直线 l 的解析式为 y＝ x，设 B 点坐标为（x，1），根据直线 l 经过点 B，求 出 B 点坐标为（ ，1），解 Rt△A1AB，得出 AA1＝3，OA1＝4，由平行四边形的性质得出 A1C1 ＝AB＝ ，则 C1 点的坐标为（﹣ ，4），即（﹣ ×40，41）；根据直线 l 经过点 B1，求出 B1 点坐标为（4 ，4），解 Rt△A2A1B1，得出 A1A2＝12，OA2＝16，由平行四边形的性质得出 A2C2 ＝A1B1＝4 ，则 C2 点的坐标为（﹣4 ，16），即（﹣ ×41，42）；同理，可得 C3 点的坐 标为（﹣16 ，64），即（﹣ ×42，43）；进而得出规律，求得∁n 的坐标是（﹣ ×4n﹣1， 4n）． 【解答】解：∵直线 l 经过原点，且与 y 轴正半轴所夹的锐角为 60°， ∴直线 l 的解析式为 y＝ x． ∵AB⊥y 轴，点 A（0，1）， ∴可设 B 点坐标为（x，1）， 将 B（x，1）代入 y＝ x， 得 1＝ x，解得 x＝ ，∴B 点坐标为（ ，1），AB＝ ． 在 Rt△A1AB 中，∠AA1B＝90°﹣60°＝30°，∠A1AB＝90°， ∴AA1＝ AB＝3，OA1＝OA+AA1＝1+3＝4， ∵▱ABA1C1 中，A1C1＝AB＝ ， ∴C1 点的坐标为（﹣ ，4），即（﹣ ×40，41）； 由 x＝4，解得 x＝4 ， ∴B1 点坐标为（4 ，4），A1B1＝4 ． 在 Rt△A2A1B1 中，∠A1A2B1＝30°，∠A2A1B1＝90°， ∴A1A2＝ A1B1＝12，OA2＝OA1+A1A2＝4+12＝16， ∵▱A1B1A2C2 中，A2C2＝A1B1＝4 ， ∴C2 点的坐标为（﹣4 ，16），即（﹣ ×41，42）； 同理，可得 C3 点的坐标为（﹣16 ，64），即（﹣ ×42，43）； 以此类推，则∁n 的坐标是（﹣ ×4n﹣1，4n）． 故答案为（﹣ ×4n﹣1，4n）． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形以及一次函数的综合应用，先分别求出C1 、C2、C3 点的坐标，从而发现规律是解题的关键． 三．解答题（共 9 小题，满分 102 分） 17．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：（1） ， ②﹣①得：8y＝﹣8， 解得：y＝﹣1， 把 y＝﹣1 代入①得：x＝1，则方程组的解为 ； （2）方程组整理得： ， ①﹣②得：4y＝26， 解得：y＝ ， 把 y＝ 代入①得：x＝ ， 则方程组的解为 ． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减 消元法． 18．【分析】根据已知及矩形的性质利用AAS 判定△ADF≌△DEC，从而得到 AF＝DC，因为 DC＝ AB，所以 AF＝AB． 【解答】证明：∵AF⊥DE． ∴∠AFE＝90°． ∵在矩形 ABCD 中，AD∥BC，∠C＝90°． ∴∠ADF＝∠DEC． ∴∠AFE＝∠C＝90°． ∵AD＝DE． ∴△ADF≌△DEC． ∴AF＝DC． ∵DC＝AB． ∴AF＝AB． 【点评】此题考查学生对矩形的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用． 19．【分析】（1）根据△ABC 绕原点顺时针旋转 90°，得到△A1B1C1，△A1B1C1 向左平移 2 个单 位，再向下平移 5 个单位得到△A2B2C2． （2）根据图形得出对应点的坐标即可； （3）根据旋转和平移后的点 P 的位置，即可得出点 P1、P2 的坐标． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 和△A2B2C2 即为所求：（2）点 B1 坐标为（2，4）、B2 坐标为（0，﹣1）； （3）由题意知点 P1 坐标为（b，﹣a），点 P2 的坐标为（b﹣2，﹣a﹣5）． 【点评】本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换进行作图，解题时注意：确定平移后图形的 基本要素有两个：平移方向、平移距离．决定旋转后图形位置的因素为：旋转角度、旋转方向、 旋转中心． 20．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得； （3）设有 x 个红球被换成了黄球，根据颜色是一白一黄的概率为 列出关于 x 的方程，解之可得 ． 【解答】解：（1）∵袋中共有 7 个小球，其中红球有 5 个， ∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为 ； （2）列表如下： 白 白 红 红 红 红 红 白 （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） 白 （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红）红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） 由表知共有 49 种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有 20 种结果， ∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为 ； （3）设有 x 个红球被换成了黄球． 根据题意，得： ， 解得：x＝3， 即袋中有 3 个红球被换成了黄球． 【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 21．【分析】（1）设第一批脐橙每件进价是 x 元，则第二批每件进价是（x+20）元，再根据等量关 系：第二批脐橙所购件数是第一批的 2 倍； （2）设剩余的脐橙每件售价打 y 折，由利润＝售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于 640 元，可列不等式求解． 【解答】解：（1）设第一批脐橙每件进价是 x 元，则第二批每件进价是（x+20）元， 根据题意，得： ×2＝ ， 解得 x＝80． 经检验，x＝80 是原方程的解且符合题意． 答：第一批脐橙每件进价为 80 元． （2）设剩余的脐橙每件售价打 y 折， 根据题意，得：（120﹣100）× ×60%+（120× ﹣100）× ×（1﹣60%）≥480 ， 解得：y≥7.5． 答：剩余的脐橙每件售价最少打 7.5 折．【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程， 根据利润作为不等关系列出不等式求解． 22．【分析】（1）求出∠CDB＝90°，推出 DE＝BE，得到∠EDB＝∠EBD，∠ODB＝∠OBD，推 出∠ODE＝90°即可； （2）连接 OE，证正方形 DEBO，推出 OB＝BE，推出∠EOB＝45°，根据平行线的性质推出∠A ＝45°即可； （3）设 AD＝x，CD＝2x，证△CDB∽△CBA，得到比例式，代入求出 AB 即可． 【解答】解：如右图所示，连接 BD， （1）∵AB 是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵O 是 AB 的中点， ∴OA＝OB＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA，∠ODB＝∠OBD， 同理在 Rt△BDC 中，E 是 BC 的中点， ∴∠EDB＝∠EBD， ∵∠OAD+∠ABD＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°， ∴∠OAD＝∠CBD， ∴∠ODA＝∠EBD， 又∵∠ODA+∠ODB＝90°， ∴∠EBD+∠ODB＝90°， 即∠ODE＝90°， ∴DE 是⊙O 的切线． （2）答：△ABC 的形状是等腰直角三角形． 理由是：∵E、F 分别是 BC、OC 的中点， ∴EF 是三角形 OBC 的中位线， ∴EF∥AB， DE⊥BC， OB＝OD，四边形 OBED 是正方形， 连接 OE，OE 是△ABC 的中位线，OE∥AC， ∠A＝∠EOB＝45 度， ∴∠A＝∠ACB＝45°， ∵∠ABC＝90°， ∴△ACB 是等腰直角三角形． （3）设 AD＝x，CD＝2x， ∵∠CDB＝∠CBA＝90°，∠C＝∠C， ∴△CDB∽△CBA， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， x＝2 ， AC＝6 ， 由勾股定理得：AB＝ ＝6， ∴圆的半径是 3． 答：⊙O 的半径是 3． 【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，切线的判定，相似三角形的性质和判定，平 行线的性质，等腰直角三角形，三角形的内角和定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正 方形的性质和判定的连接和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 23．【分析】（1）根据反比例函数的图象是双曲线．当 k＞0 时，则图象在一、三象限，且双曲线 是关于原点对称的； （2）由对称性得到△OAC 的面积为 5．设 A（x、 ），则利用三角形的面积公式得到关于 m 的方程，借助于方程来求 m 的值．【解答】解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限， 且 m﹣3＞0，则 m＞3； 故答案是：m＞3，三； （2）∵点 A 在第一象限，且与点 C 关于 x 轴对称 ∴AC⊥x 轴，AC＝2y＝2× ， ∴S△OAC＝ AC•x＝ ×2× •x＝m﹣3， ∵△OAC 的面积为 6， ∴m﹣3＝6， 解得 m＝9． 【点评】本题考查了反比例函数的性质、图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．根据 题意得到△OAC 的面积是解题的关键． 24．【分析】（1）如图 1 中，作 OI⊥AB 于 I，OJ⊥AC 于 J，连接 OE，OF．想办法求出∠EOF 的 度数即可解决问题； （2）如图 1 中，作 OI⊥AB 于 I，OJ⊥AC 于 J，连接 OE，OF．利用全等三角形的性质证明 EK＝ EM，FM＝FL，即可推出△AEF 的周长＝2AL．即可解决问题； （3）如图 3 中，作 FP⊥AB 于 P，作 EM⊥AC 于 M，作 NQ⊥AB 于 Q，DL⊥AC 于 L．想办法求 出 AD，AN 即可解决问题； 【解答】解：（1）如图 1 中，作 OI⊥AB 于 I，OJ⊥AC 于 J，连接 OE，OF． ∵AD 是正△ABC 的高， ∴∠BAC＝60°，AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∵OI⊥AB 于 I，OJ⊥AC 于 J， ∴∠AIO＝∠AJO＝90°，∴∠IOJ＝360°﹣90°﹣90°＝60°＝120°，OI＝OJ， ∵OE＝OF， ∴Rt△OIE≌△Rt△OJF（HL）， ∴∠IOE＝∠JOF， ∴∠EOF＝∠EOJ+∠FOJ＝∠EOJ+∠IOE＝∠IOJ＝120°， ∴∠EDF＝ ∠EOF＝60°． （2）如图 1 中，作 DK⊥AB 于 K，DL⊥AC 于 L，DM⊥EF 于 M，连接 FG． ∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC， ∴∠B＝60°，BD＝CD， ∵∠EDF＝60°， ∴∠EDF＝∠B， ∵∠EDC＝∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED， ∴∠BED＝∠CDF， ∵GD 是圆 O 的直径， ∴∠ADC＝90°，∠GFD＝90°， ∴∠FGD+∠FDG＝90°，∠FDC+∠FDG＝90°， ∴∠FDC＝∠FGD＝∠DEF， ∵DK⊥EB，DM⊥EF， ∴∠EKD＝∠EMD＝90°，DK＝DM， ∴Rt△DEK≌Rt△DEM（HL）， ∴∴EK＝EM， 同法可证：DK＝DL， ∴DM＝CL，∵DM⊥FE，DL⊥FC， ∴∠FMD＝∠FLD＝90°， ∴Rt△DFM≌Rt△DFL（HL）， ∴FM＝FL， ∵AD＝AD，DK＝DF， ∴Rt△ADK≌Rt△ADL（HL）， ∴AK＝AL， ∴△AEF 的周长＝AE+EF+AF＝AE+EK+AF+FL＝2AL， ∵AD＝6 ， ∴AL＝AD•cos30°＝9， ∴△AEF 的周长＝18． （3）如图 3 中，作 FP⊥AB 于 P，作 EM⊥AC 于 M，作 NQ⊥AB 于 Q，DL⊥AC 于 L． 在 Rt△AEM 中，∵AE＝3，∠EAM＝60°， ∴AM＝ AE＝ ，EM＝ ， 在 Rt△EFM 中，EF＝ ＝ ＝ ， ∴AF＝AM+MF＝8， ∵△AEF 的周长＝18， 由（2）可知 2AL＝18， ∴AJ＝9，AD＝ ＝6 ， ∴AP＝ AF＝4，FP＝4 ， ∵NQ∥FP， ∵△EQN∽△EPF，∴ ＝ ＝ ， ∵∠BAD＝30°， ∴AQ＝√3NQ，设 EQ＝x，则 QN＝4 x，AQ＝12x， ∴AE＝11x＝3， ∴x＝ ， ∴AN＝2NQ＝ ， ∴DN＝AD﹣AN＝ ． 【点评】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性 质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加 常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 25．【分析】（1）由 A、B 两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）①连接 CD，则可知 CD∥x 轴，由 A、F 的坐标可知 F、A 到 CD 的距离，利用三角形面积 公式可求得△ACD 和△FCD 的面积，则可求得四边形 ACFD 的面积；②由题意可知点 A 处不可 能是直角，则有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°，当∠ADQ＝90°时，可先求得直线 AD 解析式， 则可求出直线 DQ 解析式，联立直线 DQ 和抛物线解析式则可求得 Q 点坐标；当∠AQD＝90°时 ，设 Q（t，﹣t2+2t+3），设直线 AQ 的解析式为 y＝k1x+b1，则可用 t 表示出 k′，设直线 DQ 解 析式为 y＝k2x+b2，同理可表示出 k2，由 AQ⊥DQ 则可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值，即可求 得 Q 点坐标． 【解答】解： （1）由题意可得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+2x+3； （2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴F（1，4）， ∵C（0，3），D（2，3）， ∴CD＝2，且 CD∥x 轴， ∵A（﹣1，0）， ∴S 四边形 ACFD＝S△ACD+S△FCD＝ ×2×3+ ×2×（4﹣3）＝4； ②∵点 P 在线段 AB 上，∴∠DAQ 不可能为直角， ∴当△AQD 为直角三角形时，有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°， i．当∠ADQ＝90°时，则 DQ⊥AD， ∵A（﹣1，0），D（2，3）， ∴直线 AD 解析式为 y＝x+1， ∴可设直线 DQ 解析式为 y＝﹣x+b′， 把 D（2，3）代入可求得 b′＝5， ∴直线 DQ 解析式为 y＝﹣x+5， 联立直线 DQ 和抛物线解析式可得 ，解得 或 ， ∴Q（1，4）； ii．当∠AQD＝90°时，设 Q（t，﹣t2+2t+3）， 设直线 AQ 的解析式为 y＝k1x+b1， 把 A、Q 坐标代入可得 ，解得 k1＝﹣（t﹣3）， 设直线 DQ 解析式为 y＝k2x+b2，同理可求得 k2＝﹣t， ∵AQ⊥DQ， ∴k1k2＝﹣1，即 t（t﹣3）＝﹣1，解得 t＝ ， 当 t＝ 时，﹣t2+2t+3＝ ， 当 t＝ 时，﹣t2+2t+3＝ ， ∴Q 点坐标为（ ， ）或（ ， ）； 综上可知 Q 点坐标为（1，4）或（ ， ）或（ ， ）． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角 三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中注意把四 边形转化为两个三角形，在②利用互相垂直直线的性质是解题的关键．本题考查知识点较多，综 合性较强，难度适中．